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et celte équation sujjsisto (juand on \ reniphice m }>ar un coefficient (pielconque de l'adjointe.

Soit alors C la variété foruK'e pai- les divers points e,, t\,, . . ., v,. qui correspondent aux diverses transformations r^ admettant une même adjointe singulière A,,. Cette variété satisfera, d'après ce qui précède, à une équation difl'érentitdle

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Jo4 NOUVEI.LtS HKMARQIIS MH LKS (;IIU11PKS COMINI S

loiit à fait analogue à l'équation (i i) du paragraphe VII. Soil C, l'une des varii-iés définies par celte équation diflérenlielle ; elle |)eut ne pas être identique à C: il peut se faire que le nombre des dimensions soit plus petit pour les variétés C, que pour la variété C; que par chaque point de C passe une variété C^, de telle façon que C soit engendrée par une infinité de variétés C,- de la même façon qu'une surface l'est par une courbe mobile. Les p opérateurs

Sm/X,-, 2m?X, SwfXi

sont les divers opérateurs conjugués du premier ordre de \ correspondant à celles des racines de l'équation de Killing qui deviennent simultanément multiples de 2 4 7;. Le nombre p est donc égal au nombre de ces r.icines sans tenir compte de leur degré de multiplicité.

Il resterait à montrer que cette variété C, a précisément p dimensions; et pour cela il faul démontrer que si l'on forme les p opérateurs

les différentes transformations infinitésimales

(111 ti> esl une fonclion arbitraire des c, engendrcronl un groupe continu d'ordre infini.

C'est ce que l'on verrait par un raisonnemeiil analogue à celui du paragraphe VU.