IX. — Le groupe des W

Nous avons trouvé (Païenne, p. 33r) (') quelle esl la forme des opérateurs fondamentaux du groupe paramétrique. Celte forme est la suivante :

L'intégrale doit être prise le long d'un contour quelconque enveloppant toutes les racines de l'équation F(;) =o. Ce contour peut être décomposé en contours partiels, enveloppant chacun une des racines, ce qui permet d'écrire

XK/)=£X,(<o,/},

( ' I Œuvres de H. Poincaré. ic tome, p. 233.

NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS. 3o5

X,(fjj,y) élanl la même intégrale prise le long d'un contour enveloppant seulement la racine ? ^ tu.

Examinons séparément chacun de ces termes, et d'abord X,(o, /). Si E = o est racine d'ordre p., on peut poser F(t) = ^i^F, (Q et développer ensuite suivant les puissances de ^

= Ao+ A, Ç -;-...,

Nous remarquerons que Aq, Ai, . . . sont des nombres; que -j^ étant une

fonction rationnelle homogène dordre y. — i par rappoit aux r et à ;. B, sera homogène d'ordie p. — i — i . On trouve d'ailleurs

(?.) X,Co./) = 2-^( A„B^.,-- A, B„.,--. ..+ A|,,Bo).

On voit que X,(o,y') est une fonction rationnelle des r.

Un cas particulier intéressant est celui où les [j. racines qui sont égales à zéro se comportent comme des racines simples. On a alors

Passons maintenant à X,('jj, /). Si u est racine simple, on a simplement

I 3 ) \,( <•>. / I = - Th-, 7^ •

I — e~'^ r ( w ) rfc,

Si (o est racine multiple, d'ordre' p., nous pouvons écrire

•/=v-- ' ('i/>is) X.,.((.j.y)= 7 l.l,,i o) it!,/.

où Ry est une fonction rationnelle des r et de oi (algél)ri(|ue |)ar conséquent par rapport airx t) et où l'on a posé

On remarquera fjue Onf',.), \),j(r,)) et enfin X,(fj), /) tendent vers zéro pour tiJ = — ce.

On voit en outre que X,(/') est le quotient de deux fonctions entières par rapport aux r; au contraire, chacun des termes \,(w,/') n'est plus une fonction H. P. — 111. 39

3o6 NOUVELLES HEMARQUES Sl'R LES GROUPES CONTINUS.

uniforme des c; c'esl une fonclion rallunnelle des c, de oi cl de la transcendante e"'".

Maintenant X,(/') doit satisfaire aux relations de structure

et nous dcviins reclierehcr quelle est la forme du premier membre: on aura évidemment

la sommation devant être étendue à tous les couples de racines oi^. '.ly. Quelle est la forme de (X^X^')? On aura

Oi' si l'on se rep(U'tc à la lormule (3 liis) ou voit que l'on aura encore

V=iJ.~l

R et R" étant comme R,^ rationnels en c et o)/,.

Dans le cas (u'i oj^,= o. les dérivées de \(' sont rationnelles par rapport aux f.

On conclut de là

(5) (Xf X'i) = SR^s DJco,,) l);ii <o,/ ,).

l(;s ï{y,ifi étant rationnels par rapjiorl aux r, à ',ip et rj:>q\ quant à c. et (3 ils varient de o à [ji. et de o à p.', /a étant l'ordre de multiplicité de is)/, et p.' celui de co^; la combinaison a ^ p, p = p.' étant d'ailleurs exclue.

J'ajoute que R^ est homogène de degré '/ + i pai' rapport aux r et auxw; que par conséquent R' est de degré q -h i , Pv" de degré ij et H^i de degré a -(- (3 + I . J'observe encore que les équations [?> bis) et ( .j ) peuvent se mettre

NOl'VELI.ES KEMAROIKS SIR LES GROUPES CONTINUS. 307

SOUS la forme suivante :

(.5 6(-.0 (X?XX) = SSafi.

les S étant des fondions rationnelles, non lidniogènes cette fois, des r et des w. L'équation (4) peut encore s'écrire

(,\bis) s(xr\n = sc,7,,,x';,

les sommations portant sur les indices ji, q, s. Elle doit devenir une identité quand on j remplace \f et (X^'X'/) par leurs valeurs (3 trr) et (5 bis). Parmi les termes des seconds membres de (3 ter) et (5 6i'.s), nous distinguerons trois catégories :

i" Ceux qui ne dépendent d'aucune transcendante; ce sont ceux ([ue l'on obtient dans (3 ter) si w^ = o, ou dans (5 bis) si 00^= 01^= o.

2° Ceux qui ne dépendent (|ue d'une seule transcendante exponentielle; ce sont : a. les termes de (3 ter) où w^, o ; b. les termes de (5 bis) où l'une des racines o),,, oi^ est nulle et l'autre dill'érente de zéro ; c. les termes de (.) bis) où le rap[)ort des deux racines oj,, et w^ est une constante commensurable.

3" Ceux qui dépendent de deux transcendantes exponentielles. On les rencontre dans (5 bis) ipiand le rapport — n'est pas une constante commensurable.

Ciimme quelques-uns de ces lermes ne soni pas susceptibles de se réduire avec ceux des autres catégories, on est conduit à certaines relations (pie nous allons examiner.

Pour cela, nous répartirons les racines co en groupes, en réunissant les racines dont le rapport est constant et commensurable.

Soient

les diverses racines d'un même groupe, les k étant des constantes commensurables et oj^ une fonction des r. En général, nous supposerons que /. , -= 1 et (|ue 'itp est elle-même une racine. Soit

\''i^ \l\Ml,.f ) = \,(Â-,(0,,./) — . . .-I- X,( /.-/, w,,./).

Nous devons encoi-e faire une autre distinction : les rapports /. , , /.j, . . ., /./, sont par lijpothèse tous réels et commensurables, mais quelques-uns d'entre

3o8 xouveli.es remarques sur les groupes continus.

eus peuvent être négalifs. Supposons par exemple A' <i o. Nous avons vu que, quand u tend vers — oc, les expressions D^((,j) tendent vers zéro. Considérons maintenant

et faisons tendre oj^ vers — co. Alors D^ tendra encore vers zéro si ij > o, mais Do tendra vns i. Soit alors, d'après la formule (3 6;*),

nous poserons

avec

Si /, est positif, je conserverai la formule (6), mais je poserai

x;\At.)/,./) = o.

On voit que dans lous les cas X" est alj;éljrique. *t que \ • tend vers zéro pour 'j)p= — 00. Je poser.ii ensuite

zf= z,(to,,. /) = S x;i /,,.,,,./).

vr= Zf-i-Tf

(les sommations pnrlant sur les diverses valeurs attrlbuahles au nombre /■), de sorte que Zf lende vers zéro pour ru^, = — oo et que T'/ soit algébrique. On observeia que cette décomposition peut se faire de deux manières. Et en effet, nous pouvons faire jouer le rôle de ',)/, à la quantité — tjip, ce qui revient à changer les signe> de toules les conslanles /, . On trouve alors

\i( kt.,,,./ ) = x,i (— /.-) (— (.)/, I. / j = \;i I— A- ) (— <o/, ). / 1 ^ x';[ (— /. I (— Mf, ). f].

X';( koy. f) + X:[(- k) (- .>,,), /] = K„.

T/(— CO/,. /) = i; \"i\(- k ) (- to/, I. ./• 1. Vf = Z, (- w/,.. /• I + T,i -<.,/,. /..

Adoptons une fois poui' toutes l'une ou l'autre de ces deux décompositions; et jiosons encore

z,"=x,.(o./)-!-i:Tr.

d'où

NOUVELLES IIEMARQIJES SIR LES GROUPES CONTINUS. ■:ioi)

les sommations s'étendant aux divers groupes de racines, caractérisés par la quantité '.i,, (qui ne diffère des racines du groupe envisagé que par un facteur constant) ou plus simplement par l'indice j».

Envisageons le second membre de (7); nous voyons que Z" est une fimclion algébrique des r, et (jue chaque terme Zf dépend d'une transcendante unique e~"(' el tend vers zéro pour '.1^ = — 00. Il est clair tpie \, ne [teut être décomposé ifitc fT une seule manière en une somme de termes Siitistaisant à ces conditions. Il vient l'usuite

(Xi\i) = i;(z?zi'j,

les indices p et >/ |iouvanl prendre sous le signe — toutes les valeurs possibles, y compris la valeur zéro. Les divers ternu^s du second membre de (S) peuvent être algébriques (si yo = ry^o), ou dépendre d'une transcendante unique (si /) = o, ou (j = o, ou p =^ (/). ou dépendre de deux transcendantes r^"V, e~'"'K Geux qui dépendent d'une ou de deux transcendantes tendent vers zéro, quand l'une ou l'autre de ces transcendantes tend vers -|-co. Ici encore celte décomposition n'est possible que d'une seule manière.

Si alors dans l'équation (4) nous remplaçons (X,\/,) et X, par leurs valeurs

(8) et (7), les deux memljres de cette équation se trouvent décomposés en termes satisfaisant aux conditions que nous venons d'énoncer.

En faisant dans cette équation (9) toutes les transcendantes e^'"i' infinies, il vient

L'équation (9) nous apprend que les opérateurs

définissent un groupe isomorphe au groupe donné. Etudions le groupe des 'L"{f): nous axons

X,(o,y") nous est donné par la formule (2), et nous en concluons que c'est une somme de termes rationnels el homogènes de degré

par rapport aux e [y. est le degré de multiplicité de la racine o); le terme de degré o subsiste seul si les diverses racines nulles se comportent comme des

3lO NOrVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.

racines simples. Quant aux Tf , ce sont des sommes de termes de la forme Ro ; ils sont donc algébriques et homogènes de degré i par rapjiort auï i-. Je puis écrire alors

llf étant homogène de degré A'.

De là les identités

(iiruif)^(u;ur')-...^(urui-)-(L'n)°,) = so/,-.at-' <>-. ^ i), ' ( Vf uï) - (u; Lir) +. . .- (ur' ui) -^ (ur-Li",) = .. , .x - , > x».

En |iartiriiliei', si les racines nulles se comportent comme des racines simples (ou tout au plus comme des racines doubles), on a ), = i , d'où

( (u;ui) = 2:c,uj;

ce qui montre que les opérateurs U] définissent un groupe isomorphe au groupe donné.

Pour aller plus loin, reprenons les relations de structure, lu'i figurent, comme nous rav(in> vu, à côté de fonctions algébricjues des r, un certain nombre de transcendantes indépendantes c~"i'. Dans ces relations, remi)laçons chacune des transcendantes ('~"'i' par lpe~'^p; Ip étant une constante quelconque, ces relations ne cesseront pas d'être satisfaites.

Soient donc

ces relations. Soit \V, ce que devient X, q\iand on y change f^'V par '/.pi:'^'''r. J'observe :

I* Que le crochet (W,W/i) n'est autre chose que ce que devient le crochet (\,X/,) quand on y remplace e"^"/' par lpe^"'r. En effet, on a par définition

. -. .. , ^. rfX, r/X/. d\, d\,, ( A; A/, ) = -/i -j j j j )

«'•/, (fp/i dph dvu

di-h dpi, dpi, dvi,

en écrivant |ionr abréger pi, au heu de -f- •

Cela posé, observons que X, dépend des c de deux manières; d'abord algé-

NOIVELI.ES REMARQIES Sl'll IKS GROl l'ES CONTINUS. iu

hriqueineul, eu>uite par l'iuteinifcliaire dus exponentielles /'-'"/■; c'est ce que

j'exprimerai en écrivant

F, devant être une fonction alj^tibrique de> p/,^ des 17, et des .1,, =:r^"V. On a

alors

Il vii'nl alors

en représenlaiit par des () les dérivées prises en regardant les c^ et les J^, comme des variables indépendantes. On a de même

d'où

■ ' '''^^{di',, dp,, ,hi, dp,,) ^'"'' d^-,\di,, dp,, ,)},. dp,,)'

' '' "\ài',, dp,, di,, dp,,/ ''dv,,\d};, dp,, di,, dp,,)

On voit que la seule dillerence entre les deux crochets (X,X/,) et (^^ ,^^ a), c'est que dans le premier on doit tairi' Jp = r^''V et dans le second J/,= ).pe~'^p.

2° La relation (\) a ses deux membres algébriques par rapport mm j),,, aux {/, et aux transcendantes S p =1 ,'^'''i' . Elle doit donc être une identité cpiand on y reganle les fi,,, les c/, et les ,1/, comme des variables indépendantes.

Elle doit donc subsister tjuand on y fait J^, = /.^e""/', c'est-à-dire ([ue l'on a

(WiW,,) = i:c,7,,,W,,.

En d'autres termes, les npi-ratcurs \Y ,■ engeiiflrcrnul un i;r<iupe isamni-phc au groupe des Z,.

Pour bien préciser le résultat obtenu, supposons par exemple qu'une racine W3 soit égale à la somme de deux autres oj, -4- 'jj. Alors les trois transcendantes

Ji = e-"s J. = e-™'. J;i = e-'»"

ne scuit plus indépendantes. Si l'on veut les remplacer par

les constantes À, et ?.. peuvent être choisies d'une manière quelconque; mais il n'en est pas de même de 1 %, qui est assujettie à la condition

3r2 NOUVELLES REMARQLES SLR LES GROUPES CONTINUS.

Le groupe des A\ ; contient des cas particuliers remarquables. Si, par exemple, on suppose que toutes les constantes >. sont nulles, on tombe sur le groupe engendré par les Z" ; si on les suppose toutes nulles, sauf /.^ que l'on fait égal à i, on tombe sur le groupe engendré par les opérateurs Z" + Zf .

On a vu aussi que la définition de Z|^ peut être modifiée si l'on fait jouer le rôle de Wy, à — Wp. Si Z," est ce que devient Z" par suite de cette modification, le groupe des Z}" est encore isomorphe au groupe donné. Mais il rentre encore comme cas particulier dans le groupe des ^\ ,■; il suffit de faire tous les ). nuls, à l'exception de t./, que l'on suppose iiilini.

Le groupe des W, contient donc nimme cas particulier, non seulement le groupe donné, celui des X,, mais encore les autres groupes que nous avons envisagés successivement dan> ce paragraphe. Remarquons que l'isomorphisme du groupe des AN , à celui des X, est m grin'-rnl holoédrique; en elfel les ^^ , dépendent de certaines constantes À -que l'on peut faire varier d'une manière continue.

Pour certaines valeurs des À, à savoir pour A ^ i , l'isomorphisme est cert;iinement holoédrique, puisque les deux groupes sont identiques. L'isomorphisme ne pourrait donc cesser d'être holoédrique que pour certaines valeurs particulières des A.

On verrait de même que les deux groupes sont en général semblables, au sens de Lie, de sorte qu'on peut passer de l'un à l'autre par un simple changement de variables.

Quel est ce changement de variables? C'est ce que nous allons voir plus loin.

Quelques exjjlications sont ici nécessaires; le groupe des X,. c'est-à-dire le groupe paramétrique, est sim/)lemeitl tninsilif. de telle sorte qu'étant donnés deux systèmes quelconques de valeurs des variables c", r", .... ("et r| , i.', , ..., t'I il V a une transformation du groupe et une seule qui tr.insforme le premier système dans le second. Le groupe des W ,, dont celui des X, n'est ((u'un cas particulier, correspondant à certaines valeurs particulières des À, devra être encore aussi, en général, simplement transitif et par conséquent semblable à celui des ;,. Appelons i\ les variables indépendantes relatives au groupe des W , pour ne pas les confondre avec les variables c, relatives au groupe des X/. Soit l'j" un système quelconque de valeurs des i',, que j'appellerai le système initial. Jl y aura une transformation e^ (où \ = ii-,X,), et une seule, qui changera ce système initial <■•'" en un système quelconque i). Les v\ sont alors des fonctions des valeurs initiales rj" et des paramètres r, qui définissent cette transforma-

lion <''■', et c'est là la relation entre les r, et les f„ le changement de variables (|ui fait passer du groupe des Z, à celui des W,. Pour certaines valeurs priiUicuUcres des >.. le groupe des W, peut cesser d'être simplement tninsitif et semblable à celui des X,; nous verrons plus loin que cela [leut arriver en particulier pour le groupe des Z".