X. — Application au groupe des rotations
Prenons d'abord pour exemple le groupe des rotalions et renvoyons pour les notations à (Palerme. p. .33:i et 33:)) ('). Nous avons désigné par m9 l'angle de rotation et par a, j3, y les cosinus directeurs de l'axe de rotation; et nous avons posé
(i) (■, = 20. f,= ;iO. r;..= -.-0 (0'= cj-i- (•H+ i'5 ),
de lelle façon rpie le vecteur r,, r., r.i a pour direetion celle de l'axe de rotation el pour longueur la moitié de l'angle de rotnti(ui. Dans ces conditions, nous avons formé les opérateurs Z,, Z^, Z;, et trouvé p.ir exemple
(■X) Z, = ^^. [DcolOu — :(M-.-^.-l
^ EL r ,. + -jju , fl col 0 ) I -:- 4^ I— .■,+ y.-(i — 0 (■"! 0 i].
Piiur former le^ W d'npres le paragraphe précédent, il suffil de changer cot9 en cot(6i + /;), h élanl une constante quelconque. Je puis donc écrire l'expression de W,. mais il sera préférable de ne pas confondre les variables qui figurent dans Z, avec celles qui (igurenl dans W, ; et pour éviter celle confusion, j'accentuerai les lettres. Je poserai donc
(/, = x'o', e';,= [5'0', p3 = y'o' ( e'î= c','-'-- c:^- iv)
el j'aurai
(3) \Vi= ^[e'c<)t(6'^/M(i — a'"-}^3t'=| «(■|
+ 4C ] .''3 ^ «■ :i'[ 1 — 0' col( 0'- /i )] i - vt ! - <•', ^ ^'-('[i- fl' <•"' K^'-r-h)]',.
D'après le paragraphe précédeni, le groupe des Z et celui des W doivent être isomorphes et même semblables, de sorte que l'on peut passer de l'un à
(') Œuvres de H. I^oincart-, ce Uinie, p. 324 el 'iii.
3l4 >OUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.
l'autre par un changement de variables. 11 s'agit de déterminer ce changement de variables, c'esl-à-dire de voir quelles relations il doit y avoir entre les r' et les c.
Pour cela reprenons le calcul de la lin de la page 332 et du commencement de la page 333 (Palerme), mais en posant
Nous trouverons par exemple
, , „, , ,„, 0'(/'Ji O'acosflf/X a rfÀ
MiiO bin-O siiiO
et linalenKiiil nous arrixerons à la même foiinule délinitive, sauf que '; sera remplacé par 0' quand il est en dehors des signes trigonomélriques, ou. ce (jui revient au même, que les lettres y seront accentuées et cotO remplacé par rot(6''4- h).
Le vecteur i|, r.,, i'. a donc même direction que le M'Cleui- r,, i.;, e, (celle de l'axe de rotation), nuiis la longucui- du vecteur n est j>as la même; la différence des longueurs est égale à la conslanle /i . li/isi se Innuf définie la rrlalion cherchcc entre les v et les r'.
Mais cette solution n'est pas unique. .Soit en ellet
un système cjuelconque de valeurs des r (pu^ n^u^ appellerons le système initial.
Appliquons à ce système une rotation quelconque du groupe t'^, caractérisée par les valeurs
r, = aO, C; =: [jO, <'3 ^ yO
des variables e. Après cette rotation, les variables r' auront pris les vahnirs et nous aurons
Si l'on se donne les valeurs initiales r'-", les relations (o) délinissent le changement de variables qui, en passant des variables c aux variables r', nous fait passer du groupe des Zj- à celui des W/. On voit que ce changenu'nt de variables n'est [)as unique, puisqu'il dépend des trois paramètres arbitraires i'',".
La solution (pie nou> xenons d'étudier correspond à un choix particulier de
NOlVELr.ES HEMARQIES SLR LES GROIPES CONTINIS. 3l5
ces paramètres; une rotation nulle v correspondra à un vecteur de longueur h de dlreclion d'ailluurs quelconque : or cette rotation nulle doit correspondre au système inilial c " ; notre solution particulière suppose donc
La solution la plus générale s'obtiendrait de la façon suivante. Elle dépendrait de la constante // et de la rotation constante c^, où
A = «iXi-T- a;X.-7- «3X3.
Construisons avec les variables l'i, l'j, i'3 la rotation c^ ; combinons les deux rotations l'une constante ('\ l'autre variable e" et soit
Construisons le vecteur f^,. 112-1 1I31 prolongeons-le d'une longueur égale à /(, et nous aurons le vecteur r,, c.,, c., ; ce qui nous donne les i' en fonctions des ('.
Voyons maintenant ce qui se passe en ce (]ui concerne le groupe des Z'/ ; pour le former, il faut prendre ',)p = id, ou bien f.jp= — iô ; cela revient à remplacer cotô par -\-i, ou par — i. En effet, nous passons des groupes des Z, à celui des W,- en changeant cotS en col{0 -i- h) ou c'^ en e''^+^) = Xe'^, où l = <-'''.
INIais le groupe des Z" s'obtient cuninn' mius l'avons vu quand on fait ), = o ou l=:cc. Il faut donc faire /i = 00, la partie imaginaire de h étant égale soit à H- 00, soit à — 00, ce (jui donne cot(9 + A) =±: /.
Il V a donc deux groupes des ZJ'. Nous considérerons l'un d'eux, par exemple celui où cot(5 -!-/() = +/.
Prenons donc les formules de la page 333 de l'alerme ('). et remplaçons-y col9 par i.
Il viendra
(6) dt>, = /,[;■ 6(1 — :(=) — ^î] + /,[ c,-^ «[^(i /B)] -r- /jLi';^ x-fd — (9)];
les valeurs de (h\ et df3 s'en déduiraient par permutation circulaire. On en déduit aisément (en tenant compte de ia-= i)
(') Œuvres de H. Poincaré, ce tome, p. 23.5.
Jl6 NOUVELLES REMARQUES SUR LES GROUPES CONTINUS.
et
1 doc = (V|(,3=T- ■]'-) — ^( Y -t- ioi'fi) -4- ':i(|i— (ï-;,).
(8) . (/[! = /,( Y — (7.|3) + (75(a=+Y=) — ;3{;a-(-/;iY)'
et l'un reniar(|iiera ([ur les accroissements des cosinus directeurs a, (3, y, |iroduils par une transformai Ion Infinitésimale quelconque, dépendent uniquement de CCS cosinus directeurs eux-mêmes et sont indépendants de B. De plus on a, comme il convient,
3C rfx -T- [i r/[j -^ Y </y = o,
piiisqui^ a^ + P' + y^ doit rester constant et égal à i . On a d'ailleurs
dx- -r d'fi- -r d-;'- = ().
Ce n'est pas tout. Si l'on regarde a, p, y comme les coordonnées rectangulaires d'un point, on a
c'est-à-dire cjue le point a, |3, y esl sur une spliére. Cette sphère, comme loules
les surfaces du second degré, possède deux systèmes de génératrices reclilignes.
Je dis que les i^'riirralricrs de l'un des sysli-incs iw sonl pas allérres par les
transformations dit L^rinipe. 11 suffira de faire la vérldcation pour l'une de
ces généralriees
a = i, ii=(Y-
.le vais vérifier (|ui' si l'on a a = i , [î = iy , on aura également
rfa = n, ^/3 = i d-{.
Il vient en efTet
( r/v = — af'Y^-)- ^(I-f■ Y"-)-^ ''.1" — Y')
et la vérification esl immédiale.
On volt ainsi que le iirtnijte des 7" n'est pas transi/ if. puiscju'il ne permet pas de jjasser d'un système- de valeurs des variables à un antre système quelrontpie^ mais seulement à un système correspondant à une même génératrice rectUigne de la sphère. Le groujje des 'U\ n'est donc |>as semiilaiile à celui des Z,-, et il n'est pas possible de passer d'un groupe à l'autre par un simple changement de variables.
Nous avons vu qu'il y a deux groupes des Z", que l'on obtient en prenant
NOUVELLES REMARQUES SIR LES GROUPES CONTINUS. 3l7
!,>p=i'j OU (i)/, = — 15, OU bien en prenant A ^ o ou K=:cc. Ces deux groupes correspondent aux deux systèmes de génératrices rectiligues de la sphère.
La dernière des équations (9) montre que les transformations du groupe se réduisent à des transformations homographiques sur chacune des génératrices rectilignes de la sphère du [ircniier système. Quels sont les [)oints doubles de ces transformations?
Si nous considéions par exemple une rotation autour de l'axe des x, c'est-àdire si nous faisons /j= ^3 ^ o, nous voyons que l'on a
pour
2 = 1. [j = — î'v ou Qi — — I. '■j = !'-;;
c'esl-à-dire que le lieu des points doubles se compose de deux génératrices rectilignes du second système, qui rencontrent l'axe de rotation.
Remarquons cju'à r, = ( .j = cj = o, c'rsl-à-dire à une rotation nulle, correspondent des valeurs indéterminées des r', puisque la longueur du vecteur' r, , i'.,, \\j est égale à h, mais sa dneclion inditerminée. Le point c,, r'.,. v'.^ est donc un [loint indéterminé d'une sphère. Lue transformation infinitésimale pourra alors transformer un point très voisin d'un point de cette sphère en un point très voisin d'un autre point de cette sphère et pouvant être 1res distant du premier point. Donc les rfc, deviennent infinies.
C'est en effet ce qui arrive. Avec le groupe des Z,, nous rencontrions ^ cotÔ; cot5 devenait infini pour 0 = n, mais ^ii colh restait fini. Avec le groupe des \\ ,, 5 cot9 est remplacé pai- 6 cot(0 -4- // ), qui devient infini pour 9 = — //.
