SUR UN THÉORÈME DE M. FUCHS

2° Qu'il n'y ait en général qu'une seule surface réduite équivalente à une surface de Riemann donnée et qu'il n'v en ait jamais qu'un nombre fini.

Alors on réduira les deux surfaces S„ et S, ([ue l'on veut transformer l'une dans l'antre; si les deux surfaces sont équivalentes, on devra parvenir à l;i même réduite et, comme on connaîtra la façon de transformer S„ en la réduite et la réduite en S,, on connaîtra aussi la transformation qui change S„ en S,.

Il est évidemment possible de trouver de pareilles conditions de réduction, ce qui rendrait complète l'analogie avec la théorie des formes arithmétiques. Mais cela n'est pas nécessaire; on peut se contenter de conditions de réduction telles que la surface réduite ne dépende plus que d'un nombre fini de paramètres.

Par exf^mple, Clebscii démontre qu'une courbe de genre p

peut toujours être ramenée au degré /> + • {AbeVsche Fiinclionen, p. ùh). Après cette réduction, elle dépend encore àe p — i paramètres.

Soient donc

deux courbes de genre p cju'il s'agit de ramener l'une à l'autre par une transformation birationnelle. Je ramènerai la première au degré p + i par une transformation convenablement choisie; elle deviendra

Je pourrai trouver ensuite, par la mélliode de Glebsch, une infinité de transformations birationnelJes dé[)endant de p — i paramètres arbitraires a,, «o, . . ., c.p-i, qui ramèneront la seconde courbe au degré p-\-\. Après l'application d'une de ces transformations, l'équaiion de cette courbe deviendra

où j'ai mis en évidence les paramétres y.. Si les deux surfaces de Riemann sont équivalentes, on pourra disposer des a de façon à identifier les équations (17) et (18) et l'on connaîtra du même coup la transformation qui fait passer d'une surface à l'autre.

On peut ainsi ramener la recherche des transformations biralionnelles qui changent Sa en S, à l'étude de l'équivalence des formes algébriques, c'est-àdire de la liansformation d'une telle foi'me en une autre par une substitution linéaire.