XI. — Extension au cas général

Je me propose maintenant d'étendre au cas général les résultats obtenus dans le paragraphe précédent relativement au groupe des rotations. Considérons donc un groupe jiaraniétrKpie (1 <|uelciinqiie, dérisé des /• opéiateurs

et la substitution la plus générale <■'' de ce groupe. Considérons également son groupe adjoint G», et dans ce groupe l'adjointe de e^ . Nous savons que cette adjointe est une substitution linéaire qui transforme les /• coefficients u de

L — », \| - (/, \, — ... — ((,\,dans les /• coefficients u' de

■JlS NOUVELLES REMARQUES SLR LES GROUPES CONTINUS.

OÙ Fou pose

Nous savons également coiiiment les coefficients de cette substitution linéaire dépendent des v. Ce sont des fonctions algébriques des f el d'un certain nombre de transcendantes indépendantes, de la forme e'''"r.

Le nombre des coefficients de l'adjointe est r-, et ils se trouvent exprimés en fonctions de /■ variables indéjiendantes. Il y a donc entre eux au moins /- — /• relations. Il v en a exactement /- — /■ si le groupe G e>l de la première catégorie.

Il \ eu a davantage, s'il est de la seconde catégorie, parce qu'alors le groupe adjoint est d'ordre inférieur à /■.

Dans le cas particulier du groupe des rotations, ces /- — /■ relations ne simt autre cliose que les relations bien connues ([iii hciil les neuf cosinus directeurs de trois directions rectangulaires.

Quelle est la nature de ces /■-' — /■ relations (je me suppose ici placé dans le cas des groupes de première catégorie, mais si l'on voulait passer à celui des groupes de seconde catégorie, il n'y aurait rien à clianger (|ue le nombre des relations)? et d'abord sont-elles (oujoiirs algébriques'.'

Ne voulant pas aborder la (|iiestiou tlans toute sa généralité, je me bornerai à l'aire observer (|u'il en est ainsi dans un très grand nombre de cas. comme le montre un tliéorème de Gartan [loc. cit., p. i33 ). Ge théorème nous apprend (|ue pour tout groupe linéaire serni-sini/ili', on peut choisir les paramètres de façon (|iie les coelTicienls des é(piations Unies du groupe soient des fonctions nilioniielles de ces paramétres. Les lel, liions entre ces coefficients sont donc algébii(|iies.

Si ces /■- — /■ relations sont algébriques, elles ne cesseront pas d'être satisfaites si dans l'expression des coefficients de l'adjointe en fonction des r, expression où ligurciit d'une part des fonctions algébri([ues r et d'autre part des exponentielles e^'", on considère ces exponentielles comme des variables indépendantes. Elles ne cesseront donc |)as de l'i'tre si l'on y remplace r '■' par !(''•', les 1 étant des constantes aibitraiies.

Soient alors

les coefficients de l'adjointe, et écrivons

(l) rti= a;(c. e-"),

<p,- étant une fonction algébrique des r et des exponentielles e^'"'.

NOL'VEI.LES REMARQUES SIR r.ES GROIPES CONTIM'S. ilc)

Si nous regardons les a.; comniL' donnés, ces équations (i) nous donneront les r, et elles seront compatibles, pourvu que les valeurs des c/, satisfassent aux /•- — /■ relations algébriques précitées.

Posons maintenant

Les À sont des constantes quelconques, choisies une fois pour toutes; les c' sont des variables nouvelles, les ai' sont formés avec les v' comme les m l'étaient avec les r.

Ces rquritioiis (2) sont loni/iatihles, car les relations algébriques enire les «, obtenues en éliminant le> r' entre les étjuations (:>) scint les niâmes que celles que l'on avait obtenues en éliminant les (^ entre les écpiations (i), ou bien encore en regardant les i- et les c '•' comme des variables indépendantes et éliminant à la fois toutes ces variables indépendantes entre les éijuatious (1).

Nous pouvons donc écrire

ce qui définit les relations entre les anciennes variables e et les nouvelles variables e'.

Considérons maintenant une autre transformation du groupe paraniéli ique

gy (.B\t~ gVt-./v (; éliiiil très peiii I. Nous aurons, comme nous le savons,

les 5,- étant des fonctions algébri{|U(!s des r et des exponentielles r '". Ce sont là les équations diB'érentielles du groupe paramétrique engendré jiar les \,.

Pour obtenir ces équations (4), nous aurions pu opérer de la f içon suivante :

Les deux transformations

ont respectivement pour adjointes les substitutions linéaires A' et A iiui changent U en

Soient «;; l'un des coefticients de l'adjointe A'; a^-irda, le coefficient correspondant lie l'adjointe A'. On aura

«a^ raf''- '""'")

et

puisi|ue cpï dépend des diverses variabk's c,, d'une part directement et d'autre part par l'intermédiaire des diverses exponentielles r~^''.

D'autre part, on passe de U' à U " par une substitution linéaire inliiiitésinmle, celle qui change U' en

Gela veut dire (|ue <Ui:^ est une fonction linéaire à coetlicients eonstants des «3, ce que j'écrirai

(Ida. V , ■

Cela nous conduit aux relations

(5 ) 32 Cyi ;^:il e. <-'■') = i -^ .A,- lï -j^ ^-»— r/r,.

De ces relations, on pourrait tirer les — -' et l'on de\ rail retrouver les équations (4)-

Cliangeoiis de vari.diles en passant aux variables r . Observons pour cela que la dérivée totale de V^i,'', c '") par rapport à i, est

'-t V i± ^— ro

et de même que la dérivée totale de 9,(^1', 'le '" Vpar rajiport à rj est

(h'] fl'). f—w i/r'i

En (iitîéientianl les é(|ualions ( j) nous trouverons donc

'/s, , „„ th, (loi , „ f/ï-a , , ^., '/oa . ,'ho' , ,

' ilr, 1/ e-'» clii dv[ ilh c^" dv]

El alors, en tenant compte des équations (':>) el (6), les éipialioiis (5) deviennent

(7) ^^Ç.^,,,^i^.Xo-^■)='L'^,W,-^^^Xe-'^^■''^,K.

Si nous comparons leséqualions (5) el (7), nous voyons (jue les deux membres de (5) sont algébri(|ues par rapport aux r et aux expoiienlielles e '". l'our passer de (5) à (7), il suffit de diangei- lU-, en <U-\, r, en deliors des signes exponentiels

en r'., et t' '■' en /<-"'"'.

La résolution des écjuations (5) nous ayant donné

celle des équations (- ) nous donnera donc

(8) rft';= £ Oi(v'. X e-'"').

On reconnaît les équations différentielles du };roupe des ^\ ; défini au paragraphe IX.

Ainsi, au moins dans les cas très généraux où le théorème cité de Cartan s'applique, on obtiendra ce grou[)e des W, par le changement de variables (3).

C'est là la généralisation du résultat obtenu au paragraj)he jtrécédent.

H. p. - III. 4,

DElXIÈMi: PARTIE

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