TRAVAUX SUR LES INTEGRALES

Faite par H. POINCARÉ.

Acla mathematica, t. 38, p. 73-77 (igii).

VIII. Intégrales multiples. [52, o3. 60, 103, 168, 172. 181. 190, 200.]

La théorie qui a le plus contril)ué à facililer l'étude des fonctions d'une variable est certainement celle dos intégrales prises entre des limites imaginaires. Elle conduit, comme on le sait, à envisager les périodes de ces intégrales et à distinguer les périodes polaires (correspondant aux résidus) des périodes cycliques. Un des points les plus importants est d'ailleurs l'étude des intégrales abéliennes, c'est-à-dire des intégrales de différentielles algébriques ; cette théorie est ordinairement présentée sous une forme géométrique, ce qui a amené à dire, pour abréger, que ces intégrales « appartiennent à une courbe algébrique ».

Quand on passe aux fonctions de deux variables, la notion de ces intégrales et de leurs périodes peut se généraliser à deux points de vue différents : par les intégrales de différentielles totales et par les intégrales doubles. Je ne m'étendrai pas beaucoup sur le premier de ces modes de généralisation. 11 ne m'appartient pas, en effet : c'est M. Picard qui en a tiré les premiers et les plus beaux résultais. Je n'ai fait qu'appeler l'attention [52], à la suite de la Note de M. Picard, sur quelques points de détail. Ainsi ce géomètre avait démontré qu'une surface algébrique ne possède d'intégrales abéliennes de différentielles totales de première espèce que dans des cas particuliers.

Je veux dire que, si

est l'équation d'une surface algébrique définissant ; en fonction de x et de y,

3?6 VNALYSK DE SES IKAV.VUX SUR LES INTÉGRALES.

il n'y :iur;i pas, en général, de différeulielle exaclu

OÙ V et Q soient rationnels en .r, )', ^, de telle façon que l'intégrale

P d.v - Q dy

reste toujours finie.

Partant de là. j'ai trouvé les conditions pour qu'une surface du quatrième ordre possède de pareilles intégrales. Il faut et il suffit qu'elle soit une surface réglée ou qu'elle se ramène à une surface de révolution par une transformation linéaire. J'ai indiqué également un certain nombre de cas où il n'v a jamais, et d'autres où il y a toujours, des intégrales de première espèce.

J'ai reconnu que le théorème d'Abel s'étendait immédiatement aux intégrales de différentielles totales de première espèce ; mais il semblait au premier abord qu'il ne serait plus applicable aux surfaces qui ne possèdent pas de pareilles intégrales, c'est-à-dire à la grande majorité des surfaces algébriques.

Il n'en était rien. J'ai démontré |53] le théorème suivant :

Si (j^i. 11, z,), (.^.j, V.!, ;j). •.., {-T,/. y,j, c^) sont les y points d'intersection d'une surface algébrique S et d'une courbe algébrique C; si ( .r, + d.r,, y, H-c/),, :, 'rd:,. ...) sont les t/ points d'intersection de cette même surface S av(!C une courbe C infiniment peu différente de C, ou aura un certain nombre de relations de la forme

\i dj'\ \> d.i:., -'.-... \,y d.r,f ii.

où X, est une fonction rationnelle de .r,, )•,, ;,. Ces relations peuvent être regardées comme la généralisation du théorème ir.\bel.

Les iliflicultés (|iii s'attachent a l'élude des intégrales d()ul)le> et multiples étendues à un domaine imaginaire sont d'une nature différente. Il semble que la théorie des intégrales simples prises entre des limites imaginaires serait d'une exposition beaucoup plus laborieuse si l'on n'avait pour s'y guider une représentation géométrique. On perd ce guide (juand on passe aux intégrales doubles ; il faudrait alors recourir à la Géométrie à quatre dimensions, ce qui serait une complication plutôt qu'une simplification.

Cet obstable ne paraît pas d'abord très sérieux ; cependant il arrêta longtemps les géomètres. M. Picard, à propos des fonctions hyperfuchsiennes, avait traité

ANAUjlK 1)E SK» TKA\Al\ SLK I.KS I.NTKGRAl.ES. il'

iiiit' ijueïlioii qui présente quelque analogie avec celle qui nous occupe, mais ((ui n'est pourtant pas la même ; les quantités qu'il a ainsi introduites ne peuvent être en aucune façon regardées comme la généralisation des périodes des intégrales simples. 11 importe de ne pas les confondre avec les périodes cycliques que ce même savant a étudiées peu de temps après la publication de ma première Note à ce >ujet, et qui se rattache, au contraire, très directement à la théorie que j'ai cherché à fonder.

Je fus donc le premier à étudier méthodiquement cette importaule question dans une Note [60] que j "ai eu l'honneur de présenter à l'Académie le 23 janvier i886 et dont j'ai développé les résultats dans un Mémoire plus étendu [ 181 ].

Le premier point était d'imaginer un mode de représentation géométrique sans employer l'espace à quatre dimensions. On peut y arriver par diverses méthodes que je n'exposerai pas ici et dont j m! fait tour à lour usage. Il faut ensuite donner une définition dos intégrales doubles jjrises dans un domain<' imaginaire, (^ràce aux modes de représentation dont je viens de parler, on peut donner cette définition sans qu'il subsiste aucune équivoque. Il faut ensuite démontrer le théorème fondamental, analogue à celui de Cauchy, et d'après lequel une intégrale double prise le long d'un contour fermé est nulle en général. Celte démonstration ne présente aucune diflicullé. On peut trouver, sous une forme simple, les conditions d'intégrabilité de difTérentielles doubles

A f/y dz — B </; -/,<■ C -//■ </i ....

qu'il faut d'abord définir sans ambiguïté. Ces conditions présentent presque la même forme que celles qui e.vprinient l'intégrabilité d'une différentielle ordinaire. Seulement certains signes ([ui sont tous positifs pour les intégrales d'ordre pair et, en particulier, pour les intégrales doubles sont, au contraire, alternativement positifs et négatifs quand il s'agit d'intégrales d'ordre impair et. en particulier, d'intégrales simples. Ces conditions une fois trouvées, le théorème fondamental s'ensuit immédiatement.

Il admet cependant des exceptions, comme la proposition correspondante de la théorie de Cauchy, et ce sont ces exceptions qui sont l'origine des périodes des intégrales doubles. Ces périodes se distinguent, comme dans le ras d'une seule variable, en périodes cycliques et en périodes polaires. .le me suis occupé, en particulier, des périodes polaires ou, si l'on veut, des résidus des intégrales doubles. M. Picard a étudié ensuite les périodes cycliques.

J ai envisagé l'intégrale d'une fonction rationnelle que j'ai écrite sOus la