ANALYSE DE SES TRAVAUX SUR LES INTÉGRALES

forme suivante :

f(x,y)dxdy o(x, y)'h{x, y)'

en décomposant le dénominateur en fadeurs irréductibles, et j'ai reconnu que celle intégrale présente trois sortes de périodes :

1° Celles de la première sorte sont égales à 2/77 multiplié par l'une des périodes de [première espèce de l'intégrale abélienne

fdx

(rapportée à la courbe algébrique ij' = o).

2° Celles de la seconde sorte se rapportent aux divers points d'intersection des deux courljes o = ']> ^ o et sont égales à

-t- /. TT- ■-

\(x„, Ko)

^{x, y) étant le déterminant de o et de '| par rapport à a: et à )• et x^ et yç, étant les coordonnées du point d'intersection.

.'V' Enfin celles de la troisième sorte se rapportent aux divers points doubles de ces deux courbes et ont une expression analogue.

Mais la théorie serait incomplète si l'on se bornait à ces trois sortes de périodes. Il peut arriver que la fonction sous le signe intégral devienne infinie en divers points du contour d'intégration sans que l'intégrale elle-même cesse d'être finie. Cette circonstance ne pouvait pas se produire dans le cas des intégrales simples, lorsque la fonction à intégrer était rationnelle; il n'en est plus de même ici. D'un autre côté, on ne saurait exclure de parti ])ris les intégrales de cette sorte ; car, autant qu'on en peut juger aujourd'hui, elles doivent jouer un rôle important dans les applications.

Or les intéerales de cette nouvelle sorte ont un caractère bien différent de

celui des intégrales à périodes. Celles-ci, en effet, ou bien restent constantes quand on fait varier le chemin d'intégration d'une manière continue, ou bien s'accroissent par sauts brusques ; celles-là, au contraire, varient d'une façon continue comme le chemin d'intégration lui-même. C'est là la principale différence entre la théorie nouvelle et celle de Cauchj.

Ces résultats s'appliquent, mutalis mulandis, aux transcendantes et, en particulier, aux fonctions uniformes.

ANALYSE DE SES TRAVAtX SIR LES INTÉGRALES. 320

Celte théorie nouvelle sera-t-olle aussi féconde que l'ont été les découvertes de Cauchj? Elle est encore trop jeune pour qu'on puisse se prononcer sur ce point. Certainement quelques-uns des résultats qu'on peut obtenir ainsi, et par une généralisation immédiate des méthodes de Cauchy, auraient pu èirc atteints plus aisément par d'autres voies. Mais on peut espérer qu'il n'en sera pas toujours de même, et déjà je suis sur la voie de propositions réellement nouvelles dans la théorie des fonctions abéliennes.

Les périodes dont il a été question jusqu'ici sont analogues à celles qui se rapportent aux singularités polaires des intégrales simples. !Mais lorsque la fonction sous le signe / ji'est pas uniforme, les intégrales multiples peuvent, outre ces périodes polaires, présenter des périodes cycliques.

C'est une question de Mécanique Céleste, celle du développement de la fonction j)erturbatrice, qui ma amené à m'en occuper.

Si la fonction sous le signe / dépend d'un paramètre (comme par exemjjle les intégrales elliptitjues du module) les périodes cycliques seront des fonctions de ce paramètre. De même que dans le cas des intégrales simples, ces fonctions seront définies par des équations linéaires à coefficients algébriques. J'ai étudié ces équations linéaires et leurs groupes [I72J. J'ai montré qu'il y a un lien intime entre l'équation linéaire qui définit les périodes des intégrales doubles dépendant du radical yF{x, y) et celle qui définit les périodes des intégrales abéliennes simples engendrées par la courbe algébrique F(x, )•)=.- o. J'ai fait voir |)ar quelle transform.ition on peut passer de l'une à l'autre.

Cette dernière recherche se rattache à mes travaux sur l'Analysis Situs.

D'un autre côté, étant données plusieurs intégrales multiples dépendant du radical \/F{x, y), on peut se proposer de faire une théorie de la réduction de ces intégrales, analogue à la théorie classique de la réduction des intégrales elliptiques (ou hyperelliptiques), à un petit nombre d'intégrales types (dites de première, seconde et troisième espèces). J'ai résolu ce problème qui m'était utile pour le développement de la fonction perturbatrice [168, 196, 206].

La réduction des intégrales doubles et celle des intégrales de diflerentielles totales se présentent d'ailleurs ici comme deux questions intimement liées.