L4 RÉDUCTION DES INTÉGRALES ARÉLIENNES

Bulletin de la Société mathématique de France, l. 12, p. i24-i43 (i884).

I. Tous les lecteurs de ce Bulletin connaissent les remarquables travaux de M. Picard Sur la r<''duction des intégrales abèliennes, qui, après avoir paru dans divers numéros des Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, ont été réunis ici-même en un Mémoire unique. La même question a été l'objet des recherches des géomètres étrangers, et en particulier des géomètres allemands.

En 18741 '^I""' Kowalevski a envoyé à l'Université de Gôttingen un Mémoire qui va paraître dans les Acla matliemalica. Dans ce Mémoire {Lcber die Réduction einer bestimmlen Klasse AbeCschen Intégrale S""* lianges auf elliptische Intégrale)^ elle cite les deux théorèmes suivants, dus à Weierstrass :

Si l'on envisage un système de 0 intégrales abèliennes de rang p, parmi lesquelles il y en a une qui est susceptible d'être réduite aux intégrales elliptiques, et si l'on considère également la fonction 0 correspondante :

i" Cette fonction 0 à p variables peut être changée, par une transformation d'ordre k, en un produit d'une fonction 0 à une variable et d'une fonction 0 ô p — i variables.

2" Elle peut également par une transformation linéaire, c'est-à-dire du premier ordre, être amenée à une forme lellc que, le tableau des périodes s' écrivant comme il suit :

avec les conditions habiluelles

ta3 = "3a,

334 SUR I.A RÉDUCTION l>KS INTÉGRAI.IÎS ABKLIENNES.

la prriode T|2 snil rointnensurable cl (/ue 1rs périodes

soient /m //es.

Le premier de ces ihéorèmes a été communique à M. K.onigsberger el le second à M"" Kowalcviki par des lettres de AI. \^ eierstrass. Mais ils ne paraissent pas avoir été publiés.

Le premier de ces théorèmes peui se généraliser comme il suit ;

Si l'on eiivisage un sjstéme de p intégrales abéliennes de première espèce et de rang o, parmi lesquelles il y en a ij. qui sont susceptibles d'être réduites au rang fjt, la fonction 0 correspondante à p variables peut être changée par une transformation d'ordre /.', en un produit d'une fonction 0 à tj. variables et d'une fonction 0 à (p — fx) variables.

Le second théorème est également susceptible d'une généralisation, ainsi qu'on le verra pins loin.

11 n'est pas douteux que ces généralisations ne soient connues de- M. Weierstrass; mais, comme il serait diflicile en l''rance de s'en procuier la démonstration, je crois qu'il ne sera pas inutile de la développer' ici, ignorant d'ailleurs si la marche que je vais suivre est la même (lu'a employée l'illustre anaivste allemand.

"2. Soit un s\slème quelconque de ■> o périodes. Posons

KZH I

x\, j?.,, . . ., x\ç, désignant un nouveau système de 2p périodes, et les coefficients fiik liant entiers, il est clair (|ue toute fonction qui admettra les nouvelles périodes x' admettra également les anciennes périodes x.

Si, de plus, le déterminant des «,*• est égal à -+- i , les nouvelles périodes x' pourront réciproquement s'exprimer linéairement à l'aide des anciennes par des expressions à coefficients entiers. Les deux systèmes de périodes seront alors équivalents.

Soit une fonction de p variables admettant ap périodes linéairement indépendantes. Ces ■.>.p périodes formeront un système primitif, si toute autre

srn I.A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. Vi'i

période s'exprime à l'aide des ap périodes considérées, par une expression linéaire à coeflicienls entiers. Tous les systèmes primitifs sont équivalents.

Un système de jjt périodes (fji < 20) sera un système incomplet; il sera primitif si l'on peut lo compléter en lui adjoignant 2p -^ ,u nouvelles périodes convenablement choisies, de telle façon que le système ainsi complété soit luimême primitif.

Soit

un s\ slème complel iniinitif. l-'orruoiis un système incomplet

(ij

^1 X\ — a-Il Xt -

. . — ûE^^so X-2p^ X,,,

iiù les coefficients sont entiers. Pour que ce s\>tème soll primitif, il faut et il suffit que les détermiiuint^ compiis dans la matrice

aient pour plus grand commun diviseur l'unité.

Envisageons l'ensemble des périodes qui peuvent s'écrire

les « étant comme n s arables et les x' étant toujours les périodes du système incomplet (2). Toutes ces périodes pourront .s'exprimer linéairement à l'aide de [X d'entre elles x'\, xl, . . ., a^^ par une expression à coefticients entiers. Si le système des x' est primitif, il est équivalent au système des x". Si le système des x' n'est pas primitif, le système 'des x", i/ni est toujours primitif, pourra s'appeler la base du système (2).

Dire que, dans un système de p intégrales abéliennes de première espèce et de rang p, il y en a ;jt linéairement indépendantes, qui sont susceptibles d'être réduites au rang ,a, c'est dire que l'on peut trouver un système de 10 — ap. périodes qui sont nulles à la fois dans ces [j. intégrales.

On peut toujours supposer que ce système incomplet est primitif: car, s'il existe un système incomplet non primitif de -lo — I'j. périodes qui soient