SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉHENNES

nulles à la fois dans [ji intégrales, la base de ce système non primitif jouira de la même propriété. D'où la conséquence suivante :

On peut toujours trouver, pour nos p intégrales abéliennes, un système primitif de 2p périodes, de telle façon que les 2p — 2p. dernières périodes soient nulles dans ^ des 0 intégrales considérées.

3. Mais ce système primitif ne sera pas en général un système de pcriodes normales.

A chaque système primitif de périodes de p intégrales abéliennes est attachée une forme bilinéaire à deux séries de 2p variables

Si dans cette forme on remplace .r,, J"2, . . . , x^p par les périodes (formant le système primitif considéré) d'une de nos p intégrales abéliennes et )i,j)'2î • • •? y-ip par les périodes correspondantes d'une seconde intégrale, la forme s'annule.

Si l'on y remplace les .r par les parties réelles des périodes d'une des intégrales et les }' par les |)ariies imaginaires de ces mêmes périodes, le résultat de cette substitution sera posilif.

La forme P est une forme bilinéaire if/rnti//r/c, c'est-à-dire que l'on a identiquement

FfX|, x-2, . . ., Jr-2p: X,, iv-, j-.ip) = o.

On SMil que les (ormes bilinéaires identicjues ont un >eul invariant qui est le déterminani où le m"''"" terme de la n"""' colonne est le coefficient de .r,,, )■„. Cet invariant, qui est toujours un carré parfait, est égal à 1 dans le cas qui nous occupe.

Une forme bilinéaire d'invariant 1 est rcduilc lorsqu'elle s'écrit

(3) ■^^y-i—^^.y^ -H ■i-?.y^— .i\y^^...^ ■'■•jp^i.r-jp— ^--jpj'-'p-i-

Le système primilif considéré est alors un système de périoilcs unriitales. Qu'arrive-t-il maintenant lorsque 1 on passe d'un système primilif à un autre système primitif équivalent? Posons, comme plus haut.

(i) -rj = 2j cik-^'l.-

les Uiii étant des entiers dont le déterminant sera égal à i. Les ./' formeront comme les x un système primilif, et si l'on désigne par y\ la période de la

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seconde intégrale qui correspond à x]., on aura

(ibis) Vi^'^an-//,.

En remplaçant dans F les .r et les y par leurs valeurs (i) et (i bis), on obtiendra une forme bilinéaire en x' et en )'', arithmétiquement équivalente à F et d'invariant i. Ce sera la forme bilinéaire correspondant au système primitif des x'.

On pourra toujours choisir la substitution linéaire (i), de telle façon que la forme F ainsi transformée soit réduite, et par conséquent que le système primitif des x' soit un système de périodes normales {cf. Clebsch et Gordan, Abelsche Functionen., p. io6). 11 existe également des substitutions linéaires qui changent la forme (3) en elle-même et qui, par conséquent, changent un système de périodes normales en un autre svstème de périodes normales [loc. cit., p. 3ooV C'est ce qu'on a|)pelle le> I ransformatioiis Um'alres ou du premier ordre.

Imaginons maintenant que dans les relations (i) et (i bis) les «,< soient encore entiers, mais que leur déterminant soit égal à A(A>. i). Alors le système des x' ne sera plus un système de périodes de nos intégrales abéliennes. mais ce sera un système de périodes, primitif ou non, d'autres intégrales abéliennes.

Si Ion remplace dans F les x et les y par leurs valeurs (i) et (i bis), on obtiendra une forme bilinéaire identique en x' ely', d'invariant A-.

Je dirai qu'une pareille forme est réduite lorsqu'elle s'écrira

(4) ki{x,y.— .c.,yi)-r^ /;,( j:.^y ^— x^y-j) -^ . . . ^ A-p(x,p, j'.,p— j-.,p K,p i),

el il est aisé de voir que l'on peut toujours réduire une forme bilinéaire identique par une substitution linéaire à coefficients entiers et de déterminant i. Supposons en particulier que la forme F soil réduite, de telle façon que les x soient les périodes normales des intégrales abéliennes données. Supposons, de plus, qu'après la transformation noire forme soit encore réduite, c'est-à-dire qu'elle se réduise à une expression telle que (4), ei de telle sorte que

Alors les x' seront les périodes normales d'un nouveau système d'intégrales abéliennes; par conséquent la substitution (i) aura changé un svstème de H. P. - III. /|3

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périodes normales en un autre système de périodes normales, mais appartenant à de «oui'e//e.s intégrales. Elle s'appellera alors une transforviation d ordre k.

4f. Ces préliminaires posés, passons à la démonstration du premier théorème de M. Welerstrass, généralisé.

Nous avons supposé que, les x formant un système primitif de périodes et F étant la forme correspondante, les 20 — 21J. dernières périodes étaient nulles pour p. de nos p intégrales. Posons encore

(l) J-/= 2a,i.r',,., r,= Sa,j.y,,.

les a/,;- étant entiers, mais leur déterminant étant en général plus grand que i . Si les 2p — 2 |j. dernières périodes du nouveau système ne dépendent que des 2p — 2f/ dernières périodes de l'ancien système, si, en d'antres termes, on a

( 5 ) CTiA- =0 ( (' = 2 ,a + 1 , 2 fl -I- 2. . . . , 2 3 — 1 , 2 p ; A- = 1 , 2, .... 2 pi — I , 2 [0. ),

les 2 G — 2 p. dernières périodes du nouveau svstème seront nulles comme celles

de l'ancien pour les ij. intégrales dont il vient d'être question.

Si l'on peut trouver une substitution linéaire de la forme (i) satisfaisant aux

conditions (5), et réduisant le système de périodes à un système de périodes

normales des intégrales transformées; si, en d'autres termes, on peut trouver

une pareille substitution qui réduise la forme F à une expression, telle que (4),

avec les conditions

A-, = A., = . . . = Ap = A.

le théorème énoncé sera démontré.

Remarquons même qu'il le sera encore, si nous arrivons au même résultat en appliquant siicci^ssùenti'/il à notre forme F plusieurs substitutions assujetties aux conditions que nous venons d'énoncer; car la résultante de deux pareilles substitutions satisfait également à ces mêmes conditions.

Quand dans la forme F ou annule les 2p — 2/jt derniers x et les ap — 2p. derniers j, il reste une forme bilinéaire F, admettant deux séries de ap variables, X, , X3, . . . , XjM ; yi , )-2, . . . , J'sji- Je puis toujours su|)|)oser qu'elle est réduite et s'écrit

F, = k,( .r, y..— x^y,) -^ fc«{Xiyi— a:^yi) -- . . . ^ A-a(.roji, jk-j[j.— .ï2ii..X2(j.-i );

car, si cela n'était pas, on ferait subir aux variables une substitution linéaire de déterminant 1, ne portant (/ue sur les 2 iJ. premières périodes, et qui réduirait la forme F, .