SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNB

Nous pourrons alors écrire

F| ne conlenaiil que les ap. premières périodes, Fj ne contenant que les 2p — 2fx dernières et F3 représentant l'ensemble des termes qui dépendent à la fois d'une des 2 y. premières et d'une des 2p — 2p. dernières.

Nous allons chercher par une suite de substitutions linéaires à faire disparaître successivement tous les termes de F3.

Soit, par exemple, à faire disparaître un lerme

a(-r,ri—xtyt ), x, étant une des 2p — sjjl dernières périodes; nous poserons

x^ = x'., — a x'i, Xi = /»! x'i ;

de même, si l'on veut faire disparaître un terme

on posera

x, = x\-hbx'i, Xi= kix'j,

et ainsi de suite.

Toutes ces substitutions satisfont aux conditions (5) et l'on obtiendra finalement une forme F' transformée de F qui s'écrira

F| ne dépendant que des 2|jl premières et F., des 2p — 2|ji dernières périodes du nouveau système : les deux catégories de périodes sont séparées. La forme F',, ne différant d'ailleurs de F| qu'en ce que les anciennes variables sont remplacées par les nouvelles, sera réduite. On réduira ensuite la forme FI, par une substitution linéaire de déterminant i ne portant que sur les 2p — 2/jl dernières périodes; la forme F' transformée se réduira alors à une expression telle que (4)j d'où il est aisé de passer à l'expression

o. Mais on peut craindre, en suivant la marche qui précède, d'être conduit à employer une transformation d'ordre trop élevé. C'est ce qui nous amène à nous poser le problème suivant :

Trouier toutes les substitutions satisfaisant aux conditions (5) et qui ramènent la transformée F' de F à la forme (6), où les deux calégorics de périodes sont séparées.

34o SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

Ce problème se ramène au suivant :

Trouver toutes les substitutions linéaires portant sur les 20 — 2|-(. dernières périodes et telles qu^ après la transformation, tous les coefficients des termes qui contiennent à la fois Xi ou x^ et une des 2.0 — 2fi dernières périodes soient divisibles par A', ; que tous les coef ficienls des termes qui contiennent à la fois x^ ou X:, et une des 2p — 2^1 dernières périodes soient divisibles par A' 3, etc.

Soit

{i = I, 2, .... 2[i.; A- = 2[J. — I, 2[JL -i- 2, .... 2p).

Posons maintenant

{k = liX -rl, 2(1-1-2. .... 2,0; A = 2fJl -H I, 2[J. + 2, .... 2p),

d'où

F3= ZlfaCihixiy)^— .r)j'i).

Les conditions énoncées se réduisent à

(7; Zthuc/ci,=^o (moàk/)

(en supposant t =12/ ou 2/ — i).

Le nombre total des congruences (-) est 2^.(20 — 2,u). Il est aisé de voir de quelle forme en est la solution générale; on trouve

Dans celle expression, k'S d ont des valeurs déterminées; les a peuvent pnmdre toutes les valeurs entières positives ou négatives; enfin l'indice »t varie, comme les indices A et /* eux-mêmes, depuis 2jLi + i jusqu'à 20. Il résulte de là que la substitution

Xk=~ Ckli X

peut être regardée comme la résultante des deux suhslitulions suivantes

(8) Xk='^dltmX"n

(9) a;m= Sa„,/,a-^.

La substitution (8) est la plus simple de toutes les substitutions linéaires qui satisfont aux congruences (7), pendant que (9) est une substitution linéaire quelconque à coefficients entiers.

Ainsi l'on obtiendra toutes les substitutions qui satisfont auxdites congruences en faisant suivre la plus simple d'entre elles d'une substitution quel-