SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 34 I
conque à coefficients entiers. Nous pourrons donc nous borner à envisager la substitution (8) elle-même.
Appliquons donc à notre forme F la substitution (8); tous les coeflicicnts de F3 satisferont aux congruences (7). Par exemple, le coefficient du terme X\ n — y\Xi, Xi étant une des 2p — ly. dernières périodes, sera divisible par A',, et ce terme s'écrira
de sorte qu'on pourra le faire disparaître en posant simplement
X "2 — jO ij G, OC j j
c'est-à-dire par une substitution de déterminant i .
Ce sera là la manière la plus simple défaire disparaître tous les termes de F3. Si, après avoir séparé, comme nous venons de le dire, les deux catégories de périodes, on applique à la forme F une substitution linéaire quelconque ne portant que sur les 2]:/ premières périodes, puis une substitution linéaire quelconque ne portant que sur les 2p — 2;jl dernières périodes, il est clair que, dans la forme ainsi transformée, les deux catégories de périodes seront encore séparées. On est ainsi conduit à une infinité de manières de faire disparaître tous les termes de F3, et il est aisé de voir qu'«7 n'y en a pas d'autres.
0. Occupons-nous maintenant de démontrer le second théorème de M. Weierstrass. Nous supposons qu'une intégrale est réductible aux intégrales elliptiques, et par conséquent jli ^ i . Dans le système primitif d'où nous partons, les 20 — 2 dernières périodes sont nulles. Il s'agit de ramener ce système à un système normal^ mais celte fois par une transformation de déterminant I. Nous devons de plus supposer que dans le nouveau système les 2p — 3 dernières périodes ne dépendent que des 10 — 2 dernières périodes de l'ancien système (de façon qu'elles soient nulles dans l'intégrale réductible), et que la deuxième et la troisième nouvelle période ne dépendent que des 20 — I dernières périodes de l'ancien système (de façon qu'elles soient commensurables entre elles dans l'intégrale réductible).
Quand la possibilité d'une pareille réduction sera établie, le théorème de M. Weierstrass sera démontré.
Nous avons encore notre forme
342 SUR LA RÉDICTION DBS INTÉGRALES ABÉLIENNES.
qu'il s'agil de réduire. Ici
F,= «oC^iXa— .ro^i ).
Nous poserons d'abord
C'est là une subslitulion linéaire satisfaisant aux conditions énoncées, pourvu que son déterminant soit égal à i. Or, les coefficients «21 «3- ••■> «2p devant être premiers entre eux, puisque l'invariant de F' est égal à i , on pourra toujours choisir les a et les (3 de telle façon que ce déterminant soit égal à i. Après cette substilulion la forme F se changera en
F'=F', + f,-(- F3, où
^"'i = -^'i y'-i — ■r'ii/i > F3 = 2 f; ( x\ y\ — x\y., ).
Il suffira pour faire disparaître F.j de poser
Après cette nouvelle transformation, la forme F deviendra
Il reste à réduire F!,, mais de telle façon que les ap — 3 dernières périodes du nouveau système ne dépendent que des 2p — 3 dernières périodes de l'ancien. Cela peut se faire absolument de la même manière.
Nous pouvons écrire, en effet, en supprimant les accents,
F;; = J:(i,(x,yi—X!y;,)-i- l.ei(Xiyi—Xiyi)-i- F';,
OÙ / est plus grand (jue 3 et où Fj ne dépend que des 2p — 4 dernières périodes. Nous poserons alors
x'i, = «/i ^4 H- di a-r, -+-... H- rfop ^2ç>, x'i = S,-,iJ-i-t- S,-,5 j:-3 + . ..-h o,-,2p.r2p,
en choisissant les d de façon que le déterminant de cette substitution linéaire soit égal à i .
II viendra après transformation
F'^=-r'.,r:-y.y'3+^/d-^\y:-x'iy\)^P7;
SUR LA RKDUCTIOIS DRS INTÉGRALKS ABÉLIBNNES. 343
F"" ne dépend que des 20 — i dernières périodes, Nous poserons d'où, après la lran^formalion,
11 reste enfui à réduire F^', mais celte fois par une substitution quelconque de déterminant j . ce qui se fera aisément.
Le second théorème de M. Welerstrass est donc démontré.
7. Occupons-nous maintenant de généraliser ce résultat en supposant que, au lieu d'une intégrale réductible aux fonctions elliptiques, nous ayons pt intégrales réductibles au genre ,u. Supposons, pour fixer les idées, p. = 2, de telle façon que les 2p — 4 dernières périodes de notre système primitif soient nulles pour nos [j. intégrales. Notre forme F s'écrira encore
F = F,+ F2^-F, et nous pourrons supposer que F| est réduit de telle sorte que
F, = a.,{a:,yi — J:,yi » -H 6v( J-j Ji— ^1^3), Fa = ^"i(-i'ij'i — -i-ijt ) — -biijCsVi — j-iy^) — Se, (x..yi — d-iyi)-^ I.di(x;yi — Xiyi)
Posons
L'invariant de la forme F étant égal à +1, les déterminants contenus dans la
matrice
a, I) «5 ar, ... «20
o bi b:, b,; . . . bop
sont premiers entre eux. Il eu résulte que l'on peut choisir les a, de telle sorte que le déterminant de la substitution linéaire (10) soit égal à i. Après cette transformation, la forme F deviendra
où
F's = tc\(x'.,y\— x'i/.^ ) ^ ^d\{x\y\—x\y\ ).
«0 Xe — .
64X4— br,X-,—
bi j-6 — •
344 SUR LA BÉDUCTION DES INTÉGBALES ABHLIENNES.
On posera alors
x\ = a;" H- s c-.r',', x'^ = ^3 -f- S d'jx'-
et la forme F se réduira à
F" = ( x'\ y':, — xlf\-^ œly"„ — x\ yl ) + F'^ ,
F!^ ne dépendant que des 2p — 4 dernières périodes. Il reste à réduire ¥"^. Cette réduction une fois opérée, le sjstème des périodes sera ramené à un système normal, et, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer, lune quelconque des ap — 4 dernières périodes s'exprimera linéairement à l'aide de la deuxième et de la quatrième par une expression à coefficients commensurables.
Or nous pouvons toujours supposer que la deuxième période est égale à 1 dans la première de nos deux intégrales réductibles et à zéro dans la deuxième, et que la quatrième période est égale à zéro dans la première de ces deux intégrales et à I dans la deuxième. Voici quel sera alors le tableau des périodes de ces deux intégrales
A' o B' I &:, ho ... /^«p
les a et les b étant commensurables .
Il s'agit maintenant de simplifier ce tableau en transformant les périodes, mais de façon qu'elles ne cessent pas d'être des périodes normales.
Or : 1" les périodes ne cesseront pas d'être normales si l'on applique à une période de rang impair et à la période de rang pair qui la suit une substitution linéaire à deux variables et de déterminant 1 .
Ainsi l'on peut poser, par exemple,
(11) a'; = a(a!5+ (Bac, a\ = "^d-^—- oOf,. xS — [jy = i.
et remplacer dans le tableau 05 et a^ para,, et «,, ; le système de périodes ainsi défini sera encore normal.
On choisira les coefficients de cette substitution de telle façon que a^ soit nul; on opérera de la même manière sur chacune des p — 3 dernières paires de périodes, de façon à faire disparaître dans chacune d'elles les périodes de rang pair de la première intégrale; par conséquent on peut toujours supposer
«6 = ag = ajo = . . . = «2p = o-
SUR LA HÉDICTION DES INTÉGBALES ABÉLIENNES. 345
2° Posons
1 «i{l l= «Ojpi— 1-^- i^f'2V— i> flt2V l = ".'«'IJ.— 1 -i- Sa,.,— 1j
(1-2) < a',^,. = Saoji T<Ï2Vj <^21 = ;J«21J. +a<z,v,
Si, dans le système des périodes, on remplace
<^2a— Ij '^îti) ÛÎ2V— 1, 0Î2V
par
fltja— 1: Cfîii, CÎ2V— II "^«v,
ce système restera normal.
Appliquons la substitution (12) en faisant
JJL = p . '' = P 1 •
En choisissant les coefticienls de la substitution, nous pourrons faire dispa- • raître «ap.i, sans que ajp et a^p-i cessent d'être nuls.
On appliquera ensuite la même substitution, en faisant
ji = p — I , V = p — 2,
et l'on fera disparaître rtop:i.
Et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les a, excepté «5, soient nuls; on aura
Oc = «7 = «8 = ■ • • = a2p = o.
Opérons maintenant sur les h. Appliquons la substitution (11) aux p — 3 dernières paires de périodes, de façon à faire disparaître dans chacune d'elles les périodes de rang pair, ce qui s'écrft
.bi= bi„ = ...= b,a= o.
Nous ne pouvons opérer de même sur la paire 656,!, sans quoi an cesserait d'être nul.
Appliquons maintenant la substitution (12) aux deux dernières paires, de façon à faire disparaître b-ia-it puis aux paires de rang p — 2 et p — 1 , de façon à faire disparaître b-2o-3, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait
On ne peut opérer sur les troisième et quatrième paires, de façon à faire disparaître i-, sans quoi a^ cesserait d'être nul.
Toutes ces réductions faites, le tableau des périodes s'écrit
A iB 0(/5 o o 00... o
A' o B' 1 b^ bf, 67 o o ... o
