SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ARÉLIENNES
II reste à faire disparaître b^. Pour cela nous appliquerons la substitution (12) à la deuxième et à la troisième paire, de façon à faire disparaître la sixième période de la deuxième intégrale; le tableau des périodes s'écrit alors, après cette dernière transformation,
A I B| o (). H-|j.B,) o o ... o A' o B'i I (À'+jiB'|) o V ... o
OÙ /., [j. et V sont conimensurables et il est aisé de voir que A'=: B,.
Le résultat ainsi obtenu se généralise aisément pour le cas de ;j. >-2, la démonstration étant absolument la même. Pour énoncer ce théorème, je supposerai, pour fixer les idées, |j.::= 3, p ^ j, et j'imaginerai que le tableau des périodes ait été écrit sous sa forme habituelle (V).
On aura
~i" ^ ~-n = "37 = "ic = "sii = o,
"36 = ''3j "^U = ^'1 -H '■2"l2+ '-s'iSi
"2V = l-'-l "t~ '■2"-22 ^" '-3~23i "Sl = '' 1 "r^ '■2'^23 + /-S'aS-
■^1.5 = '■l'^Ur "2Ô = l-'2 -*"'■! '-23; '^SS = "'2 "i" ''i'^aS;
les }., les ,u. et les v étant cominensitrables. Ce qu'il faut surtout retenir, c'est qu'on peut choisir le système normal des périodes, de telle façon que les ^ premières intégrales normales [cf. Glebsch et Gordan, Abeische Functionen, p. K17), qui correspondent à ce système soient précisément jjt des intégrales réductibles.
Dans ces p. intégrales normales, les périodes de rang 2^.4-2, 2|h + 4î 2^4-6, .... 20 — 2, 2p sont nulles; de ])lus il y a des relations linéaires à coefficients entiers :
i" Entre les périodes de rang r^^u + i, 2, /i- 6 2/ji, 3, 5, 7, . . . , 2/j. — i ;
2" Entre les périodes de rang 2/j. -f- 3, 4, 6, . . . , 2fj., 5, 7, ...,2p. — i ; 3" Entre les périodes de rang 2p.-f-5,6,8, ...,3juL,n,9, ...,2p. — i;
jjL — 1° Entre les périodes de rang 4p- — 3, ap — 2, 2p. et 2p. — 1; |i.° Entre les périodes de rang 4p- — i et a p.
J'ai conservé pour les rangs des périodes le même mode de désignation que j'ai employé dans tout ce travail, de telle façon que la période de rang 2 À occupe la X'"™" colonne dans le tableau (A), pendant que la période de rang 2À — 1 y occupe la (p +/.)""" colonne.
SUR LA HÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 3^7
Ainsi se trouve généralisé le second ihéorème de M. Weier.strass, dont il est inutile de faire ressortiri'analogie avec l'un des plus beaux résultats de M. Picard.
8. La démonstration qui fait l'objet du paragraphe précédent peut se présenter sous une forme un peu différente.
Soient a;,, x^^ . . ., x...p un système de périodes normales de nos p intégrales abéliennes, et^,, çaj ■ ■ ■ ■, i;2[jL mi sjstème primilif quelconque de périodes des ;j. intégrales réduites.
On aura, pour une quelconque des intégrales réductibles,
les a étant des coefficients entiers.
Appliquons à nos périodes les substitutions (i i) et (12), de façon que le nouveau système soit encore normal.
1" Appliquons à toutes les paires de périodes la substitution (11), de façon à faire disparaître «2,1, oc, ,, . . ., a.jp^.
2" Appli(juons ensuite aux deux dernières paires la substitution (la). de façon à faire disparaître oCip^i,!, puis aux paires de rang p — 2 et p — 1, cette même substitution, de façon à faire disparaître «2p-3,( , et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les ot, , aient disparu, excepté «,,(.
3° Appliquons ensuite à toutes les paires de périodes, excepté à la première, la substitution (1 1), pour faire disparaître «4,;., 9.^,^, .... «ap,'.)-
4° Appliquons ensuite la substitution {12) aux deux dernières paires pour annuler 3t2p^2. pn's aux paires de rang p — 2 et p — 1 pour annuler a!2p 3,), et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les «,,2 aient disparu, excepté «i,,., a^^j et «3,2-
5" Appliquons la substitution (11) à toutes les paires, sauf aux deux premières, de façon à annuler a,;, 3, 0^8,3, • • — c<2p,3-
6° Faisons ensuite disparaître à l'aide de la substitution (12), tous les «,^3, excepté et, ,3, «2,3, «3,3, a^,, et «5,3.
En continuant de la sorte, on arrivera à avoir
Cela fait, nous allons chercher à faire disparaître les coefficients a,^/, où
l'indice i est pair et plus grand que aj-i; il reste ^^ISL 1 coefficients qui ne sont
pas encore nuls et qu'il faut annuler; mais cela ne pourra se faire qu'en faisant
