SUR L4 RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES
reparaître quelques-uns des coefficients qui avaient disparu dans les simplifications précédentes. Il faut s'arranger pour que les coefficients an, qui reparaîtront ainsi aient tous l'indice / impair. Pour cela, il faut que les périodes ^ aient été choisies convenablement, comme ou va le voir.
Le choix des périodes^ est resté jusqu'ici entièrement arbitraire. Mais il esi clair que nous aurions pu remplacer les l par tout autre système équivalent, rien de ce qui précède n'en aurait été changé. Nous pouvons donc supposer que le choix des périodes ^ ait été fait avant la réduction, de la façon la plus convenable pour notre objet.
Voici comment nous pouvons supposer que ce ciioix a été fait.
Considérons les ' ''^ formes bilinéaires
*/>(,= '^k{.'^-2k-\,p^ïk,,,— '^ih,!,^ik~\,r,] (/> =1, 2, ..., p).
Les substitutions (i i) et (12) changent ces formes en elles-mêmes. Il reste à voir ce qui arrive quand on remplace le système des ^ par un système équivalent.
Posons
pr
il viendra
Nos formes «t seront devenues
OU
''';■.<= '^{v'pr'^qs — P/JS [^7r)'I'/>7-
Supposons, en particulier, que la substitution qui fait passer des ï aux t' ne porte que sur les 2fi — i derniers \, de telle sorte (|ue
Pi,i = i, P),/.-= fS;;-,i = o (A- = 2, 3, . . ., -ifi).
Il viendra
4'',,,= 2 ri,,,,*,,,,.
On pourra donc toujours choisir les (3 de telle façon que <l>'i ,j = o ( i = 2, 3 2 [j. — I ).
En conséquence, on peut toujours supposer que les E aient été choisis de telle sorte que tous les $,,y soient nuls, excepté •t|,2[i- De plus, cette propriété
SUR LA nÉDirTION DES INTÉGRALES ABÉLIENIN'ES. 349
ne sera pas altérée par une substitution linéaire ne portant que sur
En raisonnant de la même façon, ou verrait qu'on peut trouver une substitution linéaire ne portant que sur 'c.3. ii. .... ;jti i ,. et telle que
On peut donc toujours supposer que tous les $i,y et les ^2,q sont nuls, sauf 'ï'i.aiji. *ï*2,2u.î •••• 'ï*2,2u.-i- I^e plus, cette propriété n'est pas altérée par une substitution linéaire ne portant que sur
ni 1
En continuant le même raisonnement, on verrait que l'on peut supposer que ^p,q est nul toutes les fois que
J) -i- q < lix-r-l.
J'aurais même pu, si cela avait été utile pour mon olijet, montrer que l'on
peut choisir les ; de telle façon que les ^— formes ^p,q s'annulent, à
l'exception de p. d'entre elles.
En effet, soient ;, , ;2, .... ^^j. les périodes d'une de nos p. intégrales, à l'aide desquelles s'expriment les périodes normales .Ti, 5?o, . . ., x-^n de cette même intégrale; soient, pour une seconde intégrale, vii, yjj, . • ., jLiau.; J't, J'^î • • • i J'ap les périodes correspondant aux i et aux x. Ou aura
S(^,/,,J-2/,— a72A.X2A-,) = ^'i>,,q(.?.,,-riq—l,r„,).
Or on aura pu toujours choisir les ^ de telle façon que la forme bilinéaire du second membre soit réduite, et n'ait par conséquent (jue p. termes. Je supposerai que les p. termes qui ne s'annulent pas sont ceux qui ont pour coefficients
*|.2IJL, *2,»ii-i, 'i'a.îp.-; t'u.,a+i-
De plus, aucun de ces termes ne s'annulera, sans quoi l'invariant de notre forme bilinéaire serait nul : ce qui est impossible (cf. Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences, t. \C\ II; Picard et Poincaré, Note du 3 décembre i883).
On aura donc
si /> + y = 2 ix -f- I .
Les substiiulions (11) et (12) n'altérant pas les formes <ï*p^, ces conditions
350 SUR LA BEDUCTIOM DES INTEGRALES ABELIENNKS.
subsisteront quand j'aurai annulé, à l'aide de ces substitutions, tous les a,*, où /> 2A' — I. Mais les conditions (i3) et (]i 4) entraînent les suivantes :
Nous avons donc fait disparaître tous les 3:,^ lorsque l'indice (' est plus grand que 2Â — I, ou lorsque, étant pair, il est plus petit que 4[-i + 2 — k\ Cela posé, nous allons faire disparaître le coefficient a2a+2.(i 2, en appliquant la substitution (i2)aux(;j-f-i)''°° et(;j. - i)'*'"' paires, puis le coefficient a..,u o,;i^3 en appliquant la substitution (12) aux (f/+ i)'"""'et (',a. — 2)''""'' paires, puis le coefficient 3!2u.+2,[i^4 en opérant de même sur les (p. 4- iV''"''et(|n — ^y^mv paires, ..., puis enfin le coefficient a^a^Oj^u.- en opérant sur les (ij. + i)"""" et première paires.
On aura alors
quel que soit /. .
On opérera de la même façon sur les (,u — 2)"™"' et (jjt — a)'""'" paires pour faire disparaître «2;j.+4.u.+3, puis sur les (fjt + 2 )'*''"'• et {p. — y)'""" paires |)Our annuler «2,i.H»,(i+4, ••■; P"is sur les (p -}- ;i )'^""' et première paires pour annuler «2g.^4,2u.. On aura alors
3i:iji-t-v.-t = 1,
quel que soit k.
( )ii n"a qu'ti continuer de la sorte pour avoir enfin
a.,/,,* =0 ( /i = a ^ 1 . tj. -f- i s ; A" = i .>..... i [:i ).
Il est clair en elTet qu'en opérant dans l'ordre que je viens d'indiquer, on pourra faire reparaître des coefficients a,^ que l'on aura fait disparaître antérieurement, mais seulement si rindice (est ini/>air; ou n'aura pas à craindre de faire reparaître des coefficients a,A dont le premier indice sera pair.
11 résuite de là qu'après toutes ces transformations les périodes paires des p — fjL dernières paires seront nulles dans nos <j. intégrales réductibles. Mais ces (jt intégrales ont été jusqu'ici choisies arbitrairement. On peut toujours les remplacer par ;jt quelconques de leurs combinaisons linéaires. Or le choix de ces combinaisons linéaires peut être fait de telle façon que, dans la première d'entre elles, la période de rang 2 soit égale à i, et les périodes de rang 4- 6.
8 2|JL égales à zéro; que dans la deuxième d'entre elles la période de
rang 4 soit égale à i et les périodes de rang 2, 6, 8 2/ji égales à zéro, ... ;
qu'enfin dans la /ji''"" d'entre elles la période de rang 2jji soit égale à i . et les périodes de rang 2,4.6, ...,2fjL — 2 égales à zéro.
SIR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES. 35l
Par conséquenl, si nos p. intégrales sont choisies de la sorte, toutes les périodes de rang pair seront nulles dans chacune d'elles, excepté une qui sera égale à i. Ce seront donc des intégrales normales. c. y. y. d.
Ainsi se trouve démontré, par des méthodes purement aritlimétiquos, ce théorème si utile dans la théorie des fonctions abéliennes, ce qui prouve une fois de plus que l'analyste ne saurait se passer du secours de la Théorie des nombres.
SUR LA REDUCTION
INTÉGRALES ABÉLIENNES
Comptes rendus de (Académie des Sciences, l. 99, p. 853-855 (17 novembre iS.S4).
Si un système d'intégrales abéliennes de première espèce et de genre n contient plus de n intégrales réductibles aux intégrales elliptiques, il en contient une infinité.
Pour démontrer ce résultat, que les récentes découvertes de M. Picard laissaient prévoir, je supposerai /! = 3, afin de fixer les idées.
Soient ^'1, j'2, J'3 trois intégrales abéliennes, la première réductible aux intégrales elliptiques. M'appuyant sur un théorème de M. Weierstrass, je supposerai que le tableau des périodes normales de ces intégrales s'écrit :
1 pour )-,),
(pour fi),
1 pour 73),
h étant commensurable.
Je dis que si l'intégrale «J'i + Pjs+zJ's est ^réductible, il en sera de même de va Vi + (3 r^ + yi's (v étant un nombre commensurable quelconque).
En effet les périodes de l'intégrale o.y, + (3 Ja +>'.»'.i s'écrivent
ro,
= a, CT2= p,
"iS
TO3 = /î, X -r- G' p -1
-Hy,
r^,= Gx-i~h?j, TO5=/î,a-r-G'|3-+-HY, ^e = H 3 4- G"-,-.
Pour que l'intégrale soit réductible, il faut el il suffit que ces périodes se réduisent à deux, c'est-à-dire qu'il j ait entre elles quatre relations linéaires à coefficients commensurables de la forme
(1) A,ra|-(- BiTTjo-!- C,TO3-h A';ra4+ B;t;î5H- C;rac= o (j = i,2, 3, 4)-
Sun LV RKDUCTION DES INTÉGRALES AllÉLIENNES. 353
L'intégrale 'jy-ji + '^y-i 4-7J'3 a pour périodes
ro'j = vGx ^ /i[l, ro'- = v/ja -)- G'p -i- H"/. nr',., = " / -" '' Y-
Or les relations (i) peuvent s'écrire
( I l)ix )
-i- C,cî|, + - — ro', — B^rCj h- CJra'g =.o.
Il j a donc, entre les six périodes w', quatre relations linéaires à coefficients commensurables. Donc l'intégrale va )•, +[3) ;■ H- '/J's eslréduclible. c.q. f. d.
On déduit aisément de là que, si le système d'intégrales du troisième genre considéré contient plus de trois intégrales réductibles, il en contient une infinité. Si les quatre intégrales y, , )\., y^ et a )■, + ^^y^ + •/)':! sont réductibles, il en est de même de 7a ri + \>-^y-i. + '•'■/. ':! Q-, i^ et v étant des coefficients commensurables quelconques ).
D'après le tbéorème de M. Weierstrass, cité plus haut, on peut toujours choisir les périodes normales telles que le Tableau des périodes d'une intégrale réductible s'écrive (pour n = 3, par exemple)
où le nombre entier D est l'entier caractéristique de la réduction.
Il est toujours facile de déterminer cet entier. Supposons en effet, que 7i = 2 et qu'on ait trouvé pour les périodes normales d'une intégrale réductible
"k, fji, 1' et p.' étant commensurables. L'entier caractéristique sera égal à jji — }. divisé parla plus grande commune mesure des six quantités i, ),, p., V, y! et 7,jjl' — V IX.
M"" Kovvalevski, étudiant un système d'intégrales abéliennes du troisième genre, a rencontré quatre intégrales réductibles sans que sa méthode lui en ait fait découvrir d'autres. Ce fait, en apparence contraire à ce qui précède, s'explique aisément, car elle ne s'est occupée que des intégrales pour lesquelles l'entier caractéristique D est égal à 2.
Je terminerai par la remarque suivante :
