I G II <) I H C
le tableau des périodes normales de ces intégrales. Pour que ce svslèmo contienne des intégrales réductibles, il faut et il suffit qu'il jait entre les périodes G, H et G' une relation de la forme
( GG'— H!| — ÀG'— u'G ^^(7.'^|ji)H + ÀiJi'— X'|ji = o.
les coefficients À, /jl, à', p.' étant commensurables.
D'où cette conclusion qu'un système quelconque d'intégrales abéliennes diffère toujours injinininnl peu d'un système réductible.
SUR
LES LMÉGR\LES DE niFFÉRENTIELLES TOTALES
Comptes renUus de l' icadcinie des Sciences, I. 9'J, p. ' i4S-i '^7 (sq décembre iS84).
La découverte récente de M. Picard sur les différentielles totales de première espèce a ouvert aux analjsles une voie toute noLivelle où ils rencontreront sans aucun doute bien des propositions import ;ntes. Aussi ne sera-l-il peut-être pas sans intérêt de signaler ici certains résultats partiels qui, bien que très faciles à démontrer, pourront être utiles aux géoniéties qui s'occuperont de celte question.
J'ai cherciic d'a])ord à déterminer quelles sont les surfaces du quatrième ordre qui possèdent des intégrales de première espèce. J'ai trouvé que toutes ces surfaces peuvent se ramener, par un changement linéaire de variables, soit à la surface réglée
.r-{ (t Z-— zbz — f ■ I — 1 xy ( a' z- -^- aô's H- c') — y-(a' z''- — lO" ; — c" ) = o, qui admet l'intégrale
J j-( az--^ -ibz-i- c) -i-y{a' z--i- -ib' z-^ c' )^ soit à la surface de révolution
1 J- — y- )--+-■>( .rî — r- ) Z., ^ Zi = o
(Z-, et Zj désignant deux polvnomes de degré 2 et 4 en ;;), qui admet l'intégrale
dz
Il est ailleurs aisé de voir que toutes les surfaces réglées et toutes les surfaces de révolution admettent des intégrales de première espèce, à moins bien entendu qu'elles ne soient unicursales.
Si une surface admet une intégrale de première espèce u, réductible aux intégrales elliptiques, les courbes u = consl. sont algébriques.
356 SUR LES INTEGRALES DE DIFFERENTIELLES TOTALES.
Si l'on peut tracer sur une surface une courbe unicursale, et si u est une intégrale de première espèce quelconque de cette surface, la valeur de a sera la même tout le long de la courhe.
De même, si la surface admet un point conique de second ordre, dont le cône tangent soit indécomposable, la valeur de u en ce jioint conique sera déterminée.
Si l'on peut tracer sur une surface deux séries de courbes unicursales, elle n'aura pas d'intégrales de première espèce; si, sur une surface non unicursale, on peut tracer une série de courbes unicursales, de telle façon que par cliaque point de la surface passe, en général, une seule de ces courbes, elle aura des intégrales de première espèce.
Supposons que l'équation d'une surface soit obtenue par l'élimination de deux paramètres a et b. entre les trois équations
Çi(.r, Y. 3- a. b) = o.
•lu a. i) = o.
Si les trois polynômes o, cp,, et i]^ sont tes plus i;énéraux de leurs degrés, la relation 'i = o est de genre plus grand que u; à un point de la surface correspond un seul système de valeurs des paramètres et. par conséquent, la surface admet des intégrales de |Memière espèce.
Enfin le théorème d'Abel s'applique aux intégrales de différentielles totales.
Soient M|, M2, . . ., M^ les points d'intersection de la surface avec la courbe
a, (3, y étant des polynômes entiers en x, y, :■ et 'k, [j.. v des constantes. Soient u,, U'i, . . ., u,/ les valeurs d'une certaine intégrale de première espèce f/ en ces ditl'érents points.
Soient de même M,, M.,, ..., M]^ les points d'intersection de la surface avec la courbe
V, i^' et v' étant de nouvelles constantes: soient «', , u'.,, .... u]^ les valeurs de l'intégrale u aux points M,, M!,, . . ., M,^. On aura
(/| -H »o-h. . . -r- ",/= «'1 -+- Il'j -h ■ ■ ■ II',,-
SUR
