UNE GÉNÉRALISATION DU THÉORÈME D'ABEL

Comptes rcinliis i/e l'Acadcmie des Sciences, l. lOl), p. 40-4^ ( ' janvier iS8)).

Le ihéorènie d'Abel, appliqué à une courbe algé]irii|ue ./== o de degré m, peut s'énoncer ainsi :

Soient (x^, y,), {x^, y-,), ..., (.fy, )-y) fes points cV intersection de f ^ o cnec une autre courbe algébrique -y = o; soient {Xi + dxi, J'i + c()'i), {X'^-\-dx-,, y2+ dy-i)^ ..., {xj-{- dxq, Vg-r- d)-,/) fes points d'intersection de la courbe f avec une courbe algébrique ç/ + ê'| = o infiniment peu différente de o; on aura

■I ■^ Pi ./•.,. y., ) d.r-,

P désignant un polynôme quelconque d'ardre m — 3, qui dei'ra s'annuler aux points doubles de f, si les courbes o et o + e']) vont passer par ces points doubles.

Considérons niaintenant une courbe gauche, intersection complète du deux surfaces /= o, f, ^ o de degrés ni et n. Soit (x.,, y.„ z-,) un quelconque des q points d'intersection de cette courbe a\ec une surface 9 = o, et (x.,-\-dx.,, y-i-\-dy.,, z.,-\-d:.,) un des ]>oints d'intersection de cette même courbe, avec une surface o 4- £'^ = o infiniment voisine de la première. On aura

^ Pi j-v. y-,, z., \il.r^

flW dz-, rly., dz;

P désignant un j)olvnonie quelconque d'ordre m -\- n — 4-

Après avoir mis le théorème d'Abel sous cette forme, qui ne diffère pas essentiellement de la forme habituelle, il est aisé de l'étendre aux surfaces.

358 SUR UNK GÉNÉRALISATION DU THÉORÈME d'aBEL.

Soit y'^ o une surface de degré m. Suit {x,,, y,j, z.,) un de ses points d'intersection avec une courbe gauche, (x.,-\- dx.,, J'v+ <(,''■/, Z'j+dz.^) un de ses points d'interseciion avec une courbe gauche infiniment voisine. On peut se demander quelles relations il y a entre les différentielles dx.„ dy,„ dz.,.

Je me bornerai pour le moment aux courbes gauches qui sont l'intersection complète de deui suifaces o = o, 91 = o, de degrés n et p.

On trouve alors

Dans ces forinules I\ et Q^ désignent des polynômes de degré tn + p — 4 et m + n — 4 en r, j', z, où l'on a remplacé ces variables par x~,. y-j. z.,. Quant à A.„ c'est le déterminant fonctionnel de f, » et o, par rapport à x, y, z, où ces variables sont remplacées par x.,, yv, z^.

Un cas particulier assez intéressant est celui où la surface / se réduit à un plan.

Soient alors cp = o, », = o deux courbes de degré m et (x.,^ y.,) un de leurs points d'intersection. Soit (Xv+ dx.,, y.,+ dy,,) ce que devient ce point d'intersection, quand ces deux courbes varient infiniment peu. 11 vient

- r./ [d(z--Xç,) , diz^Xo,) j "]

y ■ L ^'-r-. dy., -^ J ^ ^^

^ do do, d^i do

~ dx^ dy., dx., dy.,

P étant un polynôme quelconque d'ordre m — 3, et À une constante quelconque.

Le théorème s'applique même si la surface / n'a pas de point singulier, auquel cas il est aisé de voir qu'il ne peut y avoir d'intégrale de première espèce. Mais il contient, comme cas parliculier, le résultat que j'ai énoncé dernièrement au sujet de ces intégrales. Si donc du est une diflerentielle totale de première espèce et si o et oi sont deux polynômes quelconques d'ordre n et /;, on devra avoir

du — — 7— i — - 1

P et Q étant deux polynômes d'ordre m -h p — 4 et m + « — 4i et A éti'.nt le déterminant fonctionnel de/, 9 et 9, par rapport à .r, y el 3.

Le problème est beaucoup plus compliqué quind la courbe gauche dont il

SLR INE GKNÉRAI.ISATION Ul THÉOHÉME d'aIIKL. 3D9

s'agit n'est pas une intersection complète. Pour faire voir de quelle manière il devrait être traité dans ce cas, envisageons le cas p^irliciilicr d'une cubique gauche.

Supposons d'abord que Ion fasse varier cette cubique, de telle façon que deux de ses 3m points d'intersection a\ec la surface / restent lises. On pourra alors trouver deux surfaces du second ordre o ^ o, ç/, = o qui passent parla cubique donnée et par la droite qui joint ces deux points fixes. La formule (i) reste vraie, si on l'applique à ces deux surfaces et aux points vdviables d'intersection de la surface /' avec la cubique.

Si, ensuite, on fait varier la cubique d une manière quelconque, on |)ourra toujours regarder cette variation comme la somme d'une variation où deux points A et B, communs à la cubique et à /', restent fixes, et d'une autre varialion où deux points C et D, communs à la cubique et à /', restent fixes.

SUR LA RÉDUCTION

DES

INTÉGRALES ABÉLIENNES

Comptes rendus de l' Académie des Sciences, t. 102, p. giâ-giG (19 avril 1886).

Le |)robIénin de la réduction des intégrales abéliennes de genre p à un genre inférieur ;j. a été, dans ces derniers temps, l'objet de nombreux travaux parmi lesquels nous citerons un grand nombre de Notes de M. Picard, insérées dans divers volumes des Comptes rendus et réunies ensuite dans le tome XI du Bulletin de la Société mathétnatiquc de Fiance. J'ai moi-même donné, dans le même Bulletin, une généralisation d'un théorème de M. Weierstrass, relatif au cas de /ji = i . M. Picard ayant montré que la simplitication peut être poussée plus loin encore dans le cas de p = a, fx = i , j'ai voulu voir s'il n'en était pas de même dans le cas général. Il en est elfectivement ainsi.

Faisons fj. = 3, p = 6, pour fixer les idées; on peut amener le Tableau des périodes à la forme suivante :

li"

abc

al]C

II'

a, 6, ... sont des nombres entiers.

SUR l-A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉI.IENNES. 36l

Il y a des cas pariiculiers où la simplificalioii peut encore être poussée plus loin.

Faisons, par exemple, p. == 3, p r=r 5; on aura, en général,

o o o o I 0 0 H' H Cl".

Mais, si a = I , on pourra ramem-r le Tableau des périodes à la forme suivante :

o o I o o o - (i H" ir,

n o o I o o (I II" G' 11,

o o o o I o o II H G".

SUR LA REDUCTION

INTÉGRALES ARÉLIENNES

LES FONCTIONS FUCHSIENNES

liendiconli del Circolo Matematico di Palermo, t. 27, p. 28i-336 (1909).