I. — Généralités sur la réduction

11 est à peine nécessaire de rappeler ici les principes de la lliéorie de la réduction des intégrales abélieiines. Considérons une courbe algébrique C de genre yj admettant/; intégrales de première espèce 2p fois périodiques. Dans certains cas, il arrive que les périodes de y de ces intégrales [q </>) ne sont que des combinaisons linéaires à coefficients entiers de 2<jr périodes seulement. On dit alors que les intégrales abélienncs relatives à cette courbe sont susceptibles de réduction.

Soient

»i, ('•>, ..., u,, ces p intégrales. Soient

Ci , C^, ... 1 Co^

■2p cycles distincts tracés sur la surface de Riemann correspondant à notre courbe. Quand on décrira le cycle Ca, l'intégrale «<; augmentera dune constante y-iii, de sorte que chacune de nos p intégrales admettra 2p périodes

Il y a réduction .si l'on a

(i) x,i.= S/mA-yP,-/ (j = I, 2, .. ..q; k = 1,2, . ..,2p; j = 1,2, ...,29),

les m/tj étant 4/>'/ nombres entiers et les {3,y étant 4?" constantes quelconques.

Sun LA RKUICTION DKS INTKGRALES AllKl.IENNES ET LES EONCTIONS l'CTlISIENNES. 3Sj

L'un des cas les plus intéressants est celui où (7=1, c'est-à-dire où l'une des intégrales u, par exemple, ;^,, esl rédiicliljli' aux intégrales elliptiques. Les relations (i) se réduisent alors à

(I bis) ïl/,= "Ul ;i]l — »lkl'i>i-:-

Soient alors x ei y les coordonnées d'un point quelconque M de la courbe C. Soient x' et y' deux fonctions doublement périodiques de ii^ admettant |)Our périodes |3|, et [îi^. Si nous regardons x' Ql y' comme les coordonnées d'un point M', ce point M' va décrire une courbe algébrique C de genre i. A chaque point de la courbe C correspond une valeur cie (z, intérieure au parallélogramme des périodes et une seule, et inversement. Or à chaque point Al de C correspond une vah'ur de u^ déterminée à une période près et une seule, et par conséquent un seul point M', d'où il suit que x' et y' sont des fondions rationnelles de .r et )-; au coutraire x et >• ne sont pas des fonctions rationnelles de x' el y' sans quoi les deux courbes C et C seraient de même genre. Les deux courbes C et C sont donc liées par une transformation unirai ionnelle.

Réciproquement, envisageons deux courbes C el C de genre /> et i et telle que l'on passe de la première à la deuxième par une transformation unirationnelle. Je dis qu'une des intégrales de C est réductible aux intégrales elliptiques ; en effet, la courbe C étant de genre 1 admet une intégrale elliptique de première espèce

R étant rationnel en x' et ) '. Or x' et y' sont eux-mêmes, par hypothèse, des fonctions rationnelles de x et )', de sorte que

u,=Jn,i.,-.y)d.,-

Ri étant rationnelle en x el y. Donc 11, est l'une des intégrales abéliennes de première espèce de C ; et u, n'a que deux périodes distinctes. c. q. f. d.

Cette dernière proposition peut s'étendre au cas de q ^ i. Supposons deux courbes C et G 'de genre p et q {(/ <. p) et telles que l'on puisse passer de C à C par une transformation unirationnelle. La courbe C (-lant de genre q admettra q intégrales abéliennes de première espèce

M, = / R(a:'. y )cix' {i = i,a ç).

qui auront 2/) périodes distinctes. Comme x' et y' sont rationnels en x et )■,

364 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES AUÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

nous pourrons écrire

de sorte que les q intégrales H| qui ont 2q périodes distinctes seront des intégrales abéliennes de proniiére espèce de G. Les intégrales de C sont donc susceptibles de réduction.

La réciproque n'est pas vraie. D'abord s'il y a réduction, il peut se (aire que les constantes p ne soient pas les périodes des intégrales abéliennes relatives à une courbe C On verrait assez aisément que ces constantes p doivent satisfaire aux conditions nécessaires pour être les périodes d'une fonction abélienne. Mais il peut très bien arriver que les périodes d'une fonction abélienne ne soient pas les périodes d'un système d'intégrales abéliennes relatives à une courbe algébrique. Lin système de fonctions abéliennes de genre /> dépend de ~^

constantes ; une courbe algébrique de genre /} dépend de 3/> — o constantes seulement. Les deux nombres ne sont égaux que pour j» = 2 et pour y? = 3. Donc, pour /' C> -^ 1^ fonction abélienne engendrée par une courije algébrique n'est pas la fonction abélienne la plus générale. Elle peut s'appeler une fonction abélienne spéciale.

Eh bien, les constantes ,3 seront toujours les périodes d'une fonction abélienne, mais pas toujours celles d'une fonction abélienne spéciale. Mais ce n'est pas tout. Supposons que les [3 soient les périodes d'une fonction abélienne spéciale, c'est-à-dire qu'il existe une courbe C dont les intégrales abéliennes de première espèce aient précisément pour périodes les constantes (5. 11 ne s'ensuivra pas nécessairement que l'on puisse passer de C à C par une transformation uniralionnelle ; ou tout au moins le raisonnement précédent ne permet pas de l'affirmer.

Reprenons en elFet ce raisonnement et considérons q points

de la courbe C. Soient d'autre part

«1, "j llq

les q intégrales de première esjièee de C. Soit u]/^ la valeur de l'intégrale «/,- au point M^, et posons

Nous savons (pie les valeurs de i',, r.,, ..., u]^ suffisent pour déterminer (à l'ordre près) l'ensemble des </ points M' et que, inversement, (piand cet ensemble des q points M' nous est donné, on connaît les v) à une période près.

SIR LA RKDIXTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FLCHSIENNES. 365

Maintenant ces q intégrales (/, sûiit aussi des intégrales abéliennes relatives à C, à savoir celles qui, par hypothèse, sont susceplibles de réilmtion ; .si donc nous envisageons (j points

sur C et ([ue nous désignions par ///^ la valeur de l'intégrale w, en M/;, si nous posons

à chaque système de points M,. Mj, ..., M^ correspondra un système de valeurs des c, déterminé à une période près. Supposons qu'on lasse

celte égalité fera correspondre à un système M|. Mj. . . . , M^ de points de la courbe C un système de valeurs des c, déterminé à une période près, et par conséquent un système M,, M.,, . . ., M\^ de points de la courbe C entièrement déterminé.

.Soient X;, -)', les coordonnées de M, ; x) , y) celles de M, . Il résulte de ce qui précède que toute fonction rationnelle symétrique de

sera une fonction rationnelle et symétrique de

{Xi, yx; Xj, )',; ...; x„ )>).

Mais il ne s'ensuit pas, sauf dans des cas exceptionnels (et c'est sur ce point que je veux insister), que x\ , ) ', soient fonctions rationnelles de .;, , )', ; x.,, y'., étant les mêmes fonctions de x^, y 2 ; etc.

D'autre part, il est presque inutile de rappeler que la transformation est unirationnelle et non birationnelic ; et que, par conséquent, toute fonction rationnelle et symétrique des X;, y, n'est pas une fonction rationnelle et svmérique des x) , y]- .

Les cas de réduction peuvent être r.imenés à certaines formes canoniques simples par un choix convenable des périodes et dés intégrales. Pour le faire bien comprendre, je vais montrer quel est, dans deux cas de réduction, le tableau des périodes normales ramené à sa forme canonique :

366 SIR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.