DEUXIÈME EXEMPLE

CNcles I.,. C,. C,. C.. Cj. C,;. C. C,.

■ii- Inlégrale «1 '(~ " <> » " '' "

II (1 ■> t~ Il o h r

■il- , ,,

» II- «1 '» i l ~ <> '> — i— 'I f>

Xj

„ II. IJ (1 (I HZ Il '' '■

(a. j enliers).

Ces deux exemples siifllronl pour faire comprendre quel est le sens du théorème général, et la façon de ramener à la forme canonique. Je renverrai pour plus de détails à un df mes .Mémoires (').

Quoi qu'il en soit, rappelons ce que c'est qu'une fonction 6 d'ordre /:. .Xous aurons/) variables k,, «-2, . . ., "p et 2/> périodes, p de la première sorte, p de la deuxième sorte ; la /.'''"" période de la première sorte est égale à 2 /tt pour «a et à zéro pour les autres variables ; la /r"""' période de la deuxième sorte est égale à o*/, pour U/,. On a d'ailleurs

Soient alors, les m étant des entiers,

P = Sj-^i;/,-, tQ = 'S.ijna iiiiin j.

(') Sur les fonctions abéliennes i American Journal of Mathematics, vol. A III, i886, p. 289-342).

SUR L\ KÉDICTION DtS INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FO^•CTI0^•S FUCHSIENNES. 36^

La fonction 0 proprcmeni dite est la fonction ,

e = Sef-O.

Une fonction 9 d'ordre /.' sera de la forme

où l'on aura P,, = i(m,ft,, les /tétant des consiantes et où les A seront des coefficients dépendant des entiers m, mais assujettis à reprendre les mêmes valeurs quand les m augmentent de multiples de /.■.

Deux fonctions 0 d'ordre k appartiennent au même faisceau, quand elles ont mêmes multiplicateurs, c'est-à-dire quand la forme P„ esl la même pour l'une et pour l'autre. Les fonctions 5 d'un même faisceau s'expriment linéairement à l'aide de A'' d'entre elles, puisque c'est là le nombre des valeurs distinctes que peut prendre le coeflicient A.

Supposons maintenant qu'il y ait réduction ; nous distinguerons alors les (j premières variables que nous appellerons les u. et les p — q dernières que nous appellerons les (/'. Ainsi, dans le premier exemple ci-dessus nous aurons une variable u qui sera u, et deux variables ii' qui seront

dans le deuxième exemple nous aurons deux variables u qui seront u, et u^ et deux variables u' qui seront

(/', = 1/3. u'., = II;.

De même, nous désignerons par //;, et m] les coefficients entiers qui correspondent à Ui et U; .

Nous pouvons alors poser

P, représente la partie de P qui dépend seulement des m et Pj celle qui dépend seulement des m', de telle sorte que

P.i= :Lm'ii'.

De même, Q, représente la partie de Q qui dépend seulement des ni, Q.^ celle qui dépend seulement des lu', et Q, celle qui dépend à la fois des m et des m'. Tous les termes de Q, sont du second degré par rapport aux m, tous ceux de Qs sont du second degré par rapport aux m' : ceux de Q, sont du premier degré, d'une part par rapport ;iux m. d'autre part par rapport aux ru'. Dnns le

368 SUR LA RÉDUCTIOX DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

premier exemple ci-dessus on a donc

et dans le deuxième exemple

-iir. , li- Q3 = «h m., H jj- m., m , .

a " xp

Nous observerons ensuite que e^**' ne peut jjrendre qu'un ilombre fini de valeurs distinctes. Cela tient à ce que les m et les m', de même que a. et (3, sont des entiers. Dans le premier exemple, e""' ne change pas si //(, ou m\ augmente de a, et comme il ne dépend d'ailleurs que de «i, et in\, il ne change pas quand les m et les m' augmentent de multiples de x ; dans le deuxième exemple, il ne change pas si »j, ou «i., augmentent d'un multiple de x. ou si iiu ou /«, augmentent de ajâ. Il ne change donc pas si les m et les m' augmentent de multiples

de «(3. Dans tous les cas il existe un nombre /■ tel que e^*^' ne change pas

quand les m et les m' augmentent de multiples de / . Cela posé, nous aurons

La sommation doit se faire par rapport aux m et aux /»'. Regardons pour un instant les u comme donnés ; posons alors

A = i;fi".-u.-U..

où la sommation se fait par rapport aux m seulement ; A dépendra donc

des u et des m' ; l'essentiel est de remarquer que A ne change pas quand les

m' augmentent de multiples de A.

Posons