II. — L'invariant de la réduction

Soient y.i^ les ayo périodes de nos intégrales abéliennes et reprenons la relation (i) du paragraphe précédent :

Je ne suppose nullement ici que les périodes choisies soient les pèiiodes normales. Nous devons d'abord définir la forme bilinèairr F(ic,j)') caractéristique de ce système de périodes. Pour cela soient

L' — [J.| «1 -r [J.,, It.,-h.. . \1.,, llp,

\^ ' ~ \x\ l( f -k- \X'., Il ., ... \Xi,lli,

deux combinaisons linéaires quelconques de nos j) intégrales abéliennes. Soient

fi: Vi, .... .Vi,,

les Ajt périodes de U et de Li', de telle sorte que;

Ou aura entre les x et les v une ceilaine relation bilin(aire

qui subsistera quels que soient les coeflicients [j. et /j.' ; et c'est le premier membre de cette relation qui sera \a forme bilinéaire caractéristique. Dans le cas des périodes normales, cette forme se réduit à

-(■'■■2/- -\yik— ■■'■■iky-ik-i ) ■

Si la relation (i) a lieu de façon (ju'il y ait réduction et que U soit une ct)mbinaison des intégrales réductibles, de telle sorte que

[j-k^'j. (,/. (/) II. 1'. - III. 1,

->yo suit LA IIEDUCIION DES INTEURXLES AllELlENNKS ET LES FONCTIONS l'I'CllSIEN.NES.

on pourra écrire OU bien encore

Ci) .r/--: lyWi^.^OJ^. (.);= i:,[JL, 3,;.

Si nous subsliluons dans (2) à la place des x leurs valeurs tirées de la première écjuation (3), celle relation bilinéaire prend la f(jrme

où

esL une combinaison linéaire des)'.

Nous pouvons assujettir les coeflicients ;j.'. restés jusqu'ici arbitraires, aux ■2(j conditions

qui Sont des relations linéaires entre les jj.', puisque les y sont des fonctions linéaires des r^.'. Si ces relations ( T) ) étaient distinctes, elles admettraient y; — 2q solutions linéairement indépendantes, puisque nous aurions jj inconnues '/ entre lesquelles nous auiioiis 2(/ relations distinctes. Mais ces relations (5) ne sont pas distinctes, puisque les lij sont liés par les identités (4). Ces identités (4) sont au nombre de cj, puisque L désigne une quelconque des intégrales abéliennes réductibles, de sorte que nous pouvons |)rendre indifféremment

r — II,, Il = II,. .... u = II,/.

Les équations (5) admettront donc ji — </ solutions linéairement indépendantes.

Si ces équations sont satisfaites, l'intégrale abélienne U' sera réductible au genre /> — ■(/. En effet, ses 2p périodes )• seront liées par les ay relations linéaires (5) qui sont à coeflicients entiers, de sorte que ces périodes pourront s'exprimer linéairement à l'aide de 2/> — 2Cj périodes distinctes que nous appellerons Ç et que nous pourrons écrire (les n étant des entiers )

(■ iVi r, = ï /lij t/ ( i — i,-2; . . .. ■^j>; / = 1 . 2, .... ■2/1 — ■>(/).

En résumé, nous aurons d'une part cj intégrales \J réductibles au genre r/ et d'autre paît p — 1/ intégrales U' réductibles au genre // - </.

SUU LA UBDUCTION DES INTÉGBALES AUÉLIENNES liT l-ES l'ONCTIONS l'UCIlSlKNMiS. 3;l

Rapprochons les égalités {'■>) et ( (3), (|ue nous écrirons

,/■, il/;/,/, (0/,, ji='^/i,iZj.

el formons le délerniinant des entiers iti el n ; il aura ■>./> lignes et 2/j colonnes, puisque les indices /, k cXj varient respectivement de i à :'./), de \ à 2q, de i à 2p — 217. Je remarque ([ue ce déterminant sera un imariant, je veux dire qu'il ne cliangera pas : 1° si l'on remplace le système des périodes a par un autre système équi\alent ; 2" si l'on remplace les périodes w, ou encore les périodes 'Ç par un système équi\ aient.

Je suppose, bien entendu, que le système des w, de même que celui des Ç, a été choisi de la façon la plus simple possible ; c'est-à-dire que : 1" si l'on forme le tableau des coefficients m, tous les déterminants formés en prenant 2(/ colonnes do co tableau sont des entiers premiers entre eux ; 2" que le tableau des coefficients /( jouit de la mémo propriété.

l'osons maintenant

(7) Fl,= ïA„,r,;

les coefficients

'"-jL,/.,-,, ,ly,

seront des entiers. Piap[)rochons mainlenanl 1rs équations (3) et {-), (|uc nous écrirons

el formons d'une part le tableau lics /// et d'autre part celui des h. Dans le premier tableau, mij occupera la j' ligne et la /' colonne ; dans le deuxième tableau /i,, occupera la /'" ligne et la /' colonne.

Soit D l'un quelconque Jes déterminants formés à l'aide du premier tableau et qui, d'après ce que nous venons de supposer, sont tous premiers enire eux. Soit D' le déterminant correspondant du deuxième lableau. (Considérons la somme iDD' cl com|)aiiins-la au délerniinant A des m et des /;, ipii, nous l'avons vu, est un invariant.

IjCS n seront définies par les équalions

Ou a en eflét

el celte relation doit être une identité par rapport aux Ç/.

i'I Sun LA RÉDlcnON DES I.NTKGRAl.liS ABÉLIKNNES KT LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

Forniiins le déterminant M des /; et des n ; il aura ip ligues et 2/? colonnes. Soit D' l'un des déterminants formés avec ■icj colonnes du tableau des // ; ce sera un mineur de M ; nous continuons à désigner par D le déterminant formé avec les mêmes colonnes du tableau des m. Je désignerai de même par Die déterminant du tableau de> n correspondant à D' ; je veux dire par là celui (pic Ion obtient en supprimant dans le tableau des n les colonnes que Ion conserve dans le tableau des // quand on veut obtenir D'. Il résulte de là que D" est aussi un mineur de M, et (pie l'on a, en développant le déterminant M,