ID'D

On aura de même en développant le déterminant A

A - ilDH".

Et enlin nous nous proposons d'éludier l'expression

.1 = illU»'.

Quelle est alors la signilicalion des égalités (H) ; elles signilienl cpie les déterminants D' et D" sont proportionnels, c'est-à-dire que l'on a

I*ar une livpolbèse faite plus haut, les J)" sont des entiers premiers entre eux ; les D' sont des entiers. Donc "/. n'est pas autre chose que le plus grand commun diviseur de ces entiers.

Pour déterminer ce plus grand commun diviseur, iiou> remarquerons cpi il ne doit pas changer quand on remplace les périodes y. par un système de périodes équivalent. Soit en effet un nouveau système de périodes a'; les a' sont liés aux y. par 1111 système de relations linéaires à coefficients entiers et de déterminant I ; les X et les j)'' sont liés respectivement aux x et aux j' par les mêmes relations linéaires. I.a relation F (x, j') = o devient

(2 bis) V'{j-\)' ) — 11.

F' (oc', y' ) étant ce (jue d('vieiit F (a;, v) quand on j remplace les .r et les y par leurs valeurs en fonctions des ./' et des )■ . Les relations (3), (1), (<>), (7) deviennent

(3 bis) 3:' -— ï /«'(').

(tibis) i:H(.j = o.

(G///.V1 ,) ^-li'l.

(■; bis) H = !/,•) •= l/i.i.

SLH LA REDL'CTION DES INTElillALES AIlKLIENNEs ET LES ('ONCTIONS FICHSIENNES. 373

On voit que les m el les ni' sont liés entre eux par les mêmes relations linéaires que les 7. et les y.' : el que les li et les li' , à cause de l'idenlité

"^hr ^/i y'.

sont liés par les relations conlraLçrédientes, c'est-à-dire par des relations qui sont comme les premières à coeflicienls entiers et de déterminant 1 . Il résulte de là que ces transformations n'altéreront ni le plus grand commun diviseur des D, ni celui des D'. Nous pouvons donc supposer qu'on a choisi les périodes normales.

On a alors

/ii/..i — m-ik-y;. /i-ii—i.i = — "';/.■./.

ce qui montre que dans ce cas les h ne sont autre chose que les m au signe et à l'ordre près ; de sorte que les D ne sont autre chose que les D' an signe et à l'ordre près.

Or les D sont premiers entre eux, il en est donc de même des D' ; donc on a

Nous pouvons supposer "/. =r^ 1 . quitte à permuter deux des w. Il vient ainsi

Ce qui montre que l'cx/>rcssioii J est rimai irinC clierc/ic.

Appliquons cela aux deux exemples du paragraphe I ; pour le piemier il vient

(•). = J Cl., = /(,

Le tableau des m est donc

(coi) y. i> Il 'I I i>

et, comme les périodes sont normales, celui des /i est

Tous les D sont nuls sauf deux d'entre eux, tpii sont respectivement égaux à I et à y. ; de même, tous les D' sont nuls sauf deux d'entre eux, qui sont respectivement égaux à 1 et à 3!. Seulement le D qui est égal à a correspond au D' qui est égal à x, tandis que le D qui est égal à i correspond à un D' qui est

374 SUR LA HÉDUCTION DES INTÉGRALES AllÉLIEN.NES KT LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

ogal à zéro cl Ir D' (lui est égal à i à nii I) qui est égal à zéro. Donc tous les DD' sont égaux à zéro excepté un d'eux qui est égal à y.- et l'on a

Passons au deuxième exemple

l = ;j., u^ ^ rjt-, /r,, (.), = , ('); — r — )

tOj = ;ji| (7 -H ;j^; A. (■)., = \i.\ b -H ;x.2C-

I^es périodes ./• sont respecli\ ement ;

:>/n;Jii, li-^i.... n. o. ;xi ^( -i- ;xj 6. ;j.i /< -1- UjC. ;|^) J

ce qui donne pour le tableau des m

(tOo) o a[j o o o 1) 1 o

(lO.i) Il II II II I II 11 1)

et pour le tableau des h. les périodes étant normales,

1 o II o I» (1 (I (1

n — I 11 on o . o o

Le seul des produits DD' qui ne s'annule ])a.s est celui où les déleruiinants D et D' sont formés avec les colonnes i , a, 5 et 6 ; et dans ce produit on a

On aura donc

Ainsi, si Ton clioisit le sv?lème de périodes de fa^on à mellrr le tableau de> périodes réductibles sous la forme canonique, l'invariant J est un carré parfait. Car la démonstration (jiie nous avons développée dans les deux exemples précédents s'applique évidemmont à tous les cas. Or, cet invariant ne dé|)end pas du cboix des périodes. Donc V invariant J est toujours un carré parfait .

Jusqu'ici nous avons supposé que les périodes x et y étaient distinctes. Ne faisons plus celte hj-pothèse ; les périodes x peuvent n'être pas distinctes et par conséquent leur nombre peut être plus grand que a p.

Il existera alors un système de 2p périodes distinctes ./■'. et nous aurons entre

SUR l.A BEDUCTION DES INTEGRALES ABÉLIGNNES ET LES l'DNCTIONS ITCHSrliNXKS. i" '>

les deux systèmes de périodes les rulntions

(9) Xi=z ^kXik^'n.

les >. étant entiers ; et enlre les périodes correspondantes y et 1' les relations

11 existera encorr une forme liilinéaire J''(./-, )) telle i[u'on aura pour deux intégrales abéliennes quelconques de première espèce

Quand on remplacera, dans cette forme, les ./' el les )■ par leurs valeurs (<)) et (gl)is), elle deviendra une l'orme bilinéaire en ./' et )' que j'appellerai F'(x'. y'), de sorte qu'on aura l'identité

Nous conserverons les mêmes périodes w et nous aurons la relation

pt de même avec les périodes x'

Les I» et les m' sont entiers. Le tableau des m' a 2j> colonnes et g lignes ; celui des //; a q lignes, mais peut avoir plus de a/J colonnes. On aura d'ailleurs

(10) '",;■= Sa-X,7,- m'ij.

Nous avons d'autre part

et avec les périodes y' d'où l'identité

d'où

(il) lti,j=~i'>'ikhii. .

Les relations (10) el (11) sont les relations linéaires qui lient les nombres m et // avec les nombres m' et /t' qui jouent le même rôle par rapport aux périodes .r' et >-'. On voit que ces relations linéaires soni contragrédienles.

Considérons le tableau des m et désignons par

ni/,, /.;. . . ., iq)

076 SUll LA RÉDUCTION DES INTÉGBAl-ES ABÉLIEN.NES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

le déterminant formé en prenant dans ce tableau les colonnes de rang i,, «2, . . . , iq. Désignons par D'(/|. i-,. .... iq) le déterminant formé de la même manière avec le tableau des /( ; par D, (/,. /'o, . . . , /^) et D, (/| , Z^. .... ?,;) les déterminants formés de la même manière avec les tableaux des ;»' et des h'. Soit ensuite

le déterminant obtenu de la façon suivante : on considère le tableau des À, en |)larant lu dans la {''"" ligne et la /,"'"" colonne : on supprime ensuite dans re

tableau toutes les lignes sauf celles de rang /,, i-2 /,/ (que l'on range dans

l'ordre indiqué ) et toutes les colonnes sauf celles de rang /c^ , /\2, ■ ■ ■ , f^'q- On aura alors, en vertu des relations ( 10) et ( 1 1 ),

his

I"'ornions l"in\ nriiinl T d'après la règle énoncée plus hiiut )n. ni vertu de 1 1 o his),

A, /., i>ii. en \ cri II (If ( I 1 />is ),

n.i /,,. /.-, /,,, iD'(;i, i..

Nous \ iivDiis (iiii- l;i Irausfornialinn 11 allcie |ims la (dimic dr 1 ('X|>rcssion .1. Or dans le en-- ilo |H'riodcs .r' et ) , .1 rcprésenle un iiivarumt. 11 sera donc encore un invariant dans le cas des pt'riodi's x cl i'. Dailleuis dans le cas des périodes distinctes, le même calcul aurait pu servir piuir démontrer les propriétés invariantes de l'expression iDl)'.

Donc, /(I ri'gle pou i- former l iiHiirinnl reste lu iiirine ijudixl h x périodes ne sont pas distinctes.

11 importe toutefois de faire attention au choix de la forme F(x, y).

Nous ne devons pas prendre pour cette forme bilinàaire caractéristiejiie toute forme qui s'annule en \erlu des relations entre les périodes: sans quoi la définition s'applif|iierail tout aussi l)ien. non seulement à la forme F(ar, r),

SLK LA REDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. 577

mais ù la forme a F(x, j-), quel (|iie soit le coefficient a. Il faut choisir la forme F de telle façon ([ue, si les x' et les )■' sont les périodes normales, on ait

Si les périodes ,27 et )/• sont distinctes, cela veut dire que le (liscrimiuanl de la forme F doit être é^al à i .

Ou bien encore, supposons que les périodes x et )• n'étant pas distinctes, les périodes x' et k' soient distinctes, sans être forcément normales; nous devrons nous imposer la i-ouilition que, si l'on a

le discriminant de F' soit égal à i .

Si les périodes x el y sont distinctes, les coefficients de F(,r, v) sont entiers. .Si ces périodes ne sont pas distinctes, ils peuvent être fractionnaires, mais rien n'est d'ailleurs à modifier dans l'analyse qui précède.

Si les |)érioJes x et y sont distinctes, la forme Vix.y) se trouve entièrement

déterminée par les conditions précédenles. 11 n'en est jdus de mT^me si ces

périodes ne sont pins distincles. ( )n a eu eU'et entre les j- cerlaines relalions

linéaires

et les relations correspondantes entre les y

Vi = Vo = ...=-: V„, = o;

et alors nous pourrons reuiplacer F par

l'(./-.,i-i + ii li, \,— \, \,i,

les A, étant des fonctions linéaires quelconques des r, et les B, des fonctions linéaires quelconques des )■.

Il y a toutefois une condition complémentaire que nous devons imposer à la forme ¥(^x,y); celle forme doit s'annuler identiquement quand on y fait Xi=yi. Si nous tenons compte tic celte condition, nous ne pouvons plus choisir les fonctions linéaires A, et B, dune façon tout à fait arbitraire; mais le> B, doivent être formi'-i avec les )• coiume les A,- a\ec les x.