III. — Introduction des fonctions fuchsiennes

Reprenons les deux courbes C et G' du paragraphe I. ayant respectivement pour genre yo et q. Nous désignerons également pai- les lettres C et C les surlaces de Rieniann correspondantes. Nous supposerons que ces courbes sont liées par une transformation unii'atioiini'Ue, de telle façon qu'à un point de C correspond un point de C et un seul, tandis qu ù un point de C correspondent Il points de C. Ce nombre n joue un rôle important dans la suite, et nous devons tout d'abord chercher quelle relation le lie à l'invariant de la réduction ; ce sera là l'objet des premiers paragraphes qui vont suivre.

Nous avons vu au paragraphe I que la délinilion de la réduction peut être élargie, mais nous nous bornerons à l'étude des cas où il y a une transformation unirationnelle analogue à celle dont nous venons de parler.

Soient M un point mobile de C, et AI' le point correspondant de C. Supposons que M' décrive un contour fermé infiniment petit autour d'un point fixe A' de la surface de Rieniann C; il peut arriver que M revienne à sa valeur initiale et décrive aussi un contour fermé; mais il j)eut arriver également que M ne revienne pas à sa valeur initiale, et que les n déterminations de M s'échangent entre elles. Dans ce cas A' est un point de ramification.

Imaginons par exemple que les n valeurs de M subissent une permutation se décomposant en y. permutations circulaires permutant respectivement

valeurs de M, de telle façon que

Alors au point A', correspondront sur C seulement y points A,, Aj. .... A, correspondant à ces permutations circulaires.

Soit par exemple n = 6, et supposons que, quand M' tourne autour de A',

se changent respectivement en

M,. •Nln. Ml. M,. M,. Mr..

La permutation se décomposera en trois permutations circulaires

(M,M.,M.-,)(M., M,iM„

SLll LA HEDUC110.N DES INTÉGRALES ABÉLIENXES ET LES FONCTIONS FLCUSIENNES. 0^9

el l'on aura

•'1 = 3, . Vs= 2, 73= I.

Quand le point M' tendra vers A', M,, AL et M3 tendront vers A, ; Mi et M, tendront vers Ao ; el M,, vers A:,.

Cela posé, nous allons ronstruire un système de (onctions luclisienues de la façon suivante :

Soient X, y les coordonnées de M. yt x\ y' celles de M' : >oit ^ une variable auxiliaire. Je veux que x,y, x', y' soient fonctions fuchsiennes de z ; que quand M décrit un contour fermé sur.C. la variable ; revienne à sa valeur primitive ou subisse une substitution linéaire: que quand M' décrit uncontour fermé sur C, la variable ; revienne à sa valeur primitive ou subisse une substitution linéaire; que j soit d'ailleurs choisi de la façon la plus simple possible.

Supposons que M' déciive sur la surface de Riemann C un contour fermé infiniment petit enveloppant un point de ramification A'; il n'est pas possible que ; revienne à sa valeur primitive, sans quoi x et j' qui sont des fonctions fuchsiennes el par conséquent uniformes de z reviendraient à leurs valeurs initiales et A' ne serait pas un point de ramification.

11 faut donc que ; subisse une substitution linéaire elliptique; quelle est la période de cette substitution, ou, en d'autres termes, au bout de combien de tours décrits sur le contour fermé, notre variable z reviendra-t-elle à sa valeur primitive? Il faut pour cela que toutes les déterminations de M soient revenues à leurs valeurs primitives. 11 faudra donc v tours, v étant le plus petil commun multiple de

Vl. V-, V,..

Qu'arrivera-t-il alors si lu point M décrit sur C un contour fermé très petit

autour de l'un des points.

\.. \. Aa?

11 arrivera que la variable ; suliira une substitution linéaire elliptique ayant respectivement pour période

Et en effet, quand M décrit - tours autour de A, , M' en décrit v autour de V.

Si l'on regarde x et )' comme fonctions fuchsiennes de j, on voit qu'elles admettent un certain groupe fuchsien G. engendré par un certain polygone tuchsien P. Si l'on regarde maintenant j?' ely comme fonctions de z, ce seront

3bO Slli LA UÉULCTIOIV DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS Tl CIISIENNES.

encore des fonctions t'uclisiennes admettant le groupe G, mais elles admeltronl également un antre groupe fuchsien G' contenant le groupe G, et formé des substitutions linéaires que subit j quand M' décrit sur G' un contour fermé. Ce groupe G' sera engendré par un polygone fuchsien P', et comme G est un sous-groupe de G', on voit que le polygone P est dècomposable en n />olygones congiuents il V . \a\ question de la réduction des intégrales abéliennes est ainsi rattaciiée à celle de la décompositiim des polvgones fuchsiens en un certain nombre de polygones congruenls.

Nous voyons que le polygone P aura autant de cycles de sommets qu'il y a de points analogues à A,, \o, .... A^, ... ; la somme des angles des sommets

du cycle qui correspond au point A, sera ^^^. Do même, le polygone P' aura autant de cycles de sommets qu'il v a de points de ramification A^ la somme des angles, jiour le cycle correspondant à A', étant — •

Nous pouriions. si nous le voulions, con>lruire les polygones I' et P' de laçon à leur donner un pbis gr.ind nombre de côtés et de cycles de sommets; nous pourrions en elfel considérer sur la surface G' un certain nombre de points choisis d'une façon arliilrairc et les traiter comme nous avons fait des points A', bien que ce ne soient pas des points de ramification. La seule diflerence serait que les nombres v, v,, v^, . . . , v,, seraient tous égaux à i, de telle sorte que pour les cycles correspondant à un pareil point A' ou aux points A,- correspondants, la somme des angles serait it.. Ces tainsi par exemple que le groupe fuchsien G, (jui est engendré par un <|uadrilatérc dont les côtés opposés sont conjugués el dont la somme des angles est t:, peut cire également engendri' par un hexagone dont les ci'ités opposés sont conjugués, la somme des angles de rang pair étant T. et celle des angles de rang impair étant 27:; plus généralement, un groupe fuchsien G (|uelconque peut être engendré par une infinité de polygones fuchsiens dilTércnts. Mais il n'y auialt là qu une coiiiplicaliun qui, la plupait du temps, serait inutile (-aiif dans le cas ou il n'y aurait iinniu point de ramification A').

Cela posé, soient Q et Q' les nombres des cycles de sommets de P et P': soient 2N et 2N' lenombre de leurs côtés. On a, par la formule qui donne le genre d'un polygone fuchsien,

i an = N -• (I -4- 1,

D'un autre côté, on trouve pour la surface de P (au point de vue de la

sua LA RÉDICTION DKS INTÉGIIALES AUlil.IENXES ET LES FONCTIONS FUCIISIKN.NES. 38 1

géomélrie non euclidienne )

'2T. -^ étant Irt somme dos angles d un seul cvcle et par conséquent ai: 7 — celle de tous les angles. On trouve de même pour la surface de P'

Ces formules supposent t[ue luul sommet d'un des polygones congruenls à I" est aussi un sommet de ['. Klles ne seraient plus Niaies si un de ces sommets, commun à plusieurs polygones congruenls à P', était à l'intéi-ieur de P.

En tenant compte de (i), ces expressions peuvent s'écrire :

-'.;:(.Q-Ha/j — 2; — -.-^-i' =- ■,-'^(^\ — ^'j^->-{ip — ■>.).

Comme I' est décomposal)le en n polygones congiuenls à 1". la première surface doit être égale à 11 fois la seconde, de sorte qu on a

Mais pour un même point A', nous avons

et pour tous les points A

11 nous reste donc la formule

Cette formule subsiste si, usant de la faculté dont je parlais lout à l'heure, on cherche à construire un polygone I' d'un plus grand nombre de côtés, en prenant un point arbitraire sur C et le traitant comme un point A'. Dans ce cas, en effet, Q augmente de n unités et Q' d'une unité.

Si l'on réunit un polygone II de 2N côlés à un autre polygone H' de .2 N' côtés, de façon à former un polygone II' de 2ÎS" côtés et simplement connexe, il arrivera gi'nér, dément que 11 et H n'auront qu'un seul côté commun, qui sera

3.S( SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES AHÉLIENNES ET LES FONCTIONS l'IICUSlENNES.

leur frontièi-e commune, laquelle disparaîtra par l'annexion. On aura donc

N"= N hN'— 1.

Si exceptionnellement, II et II' ont deux cotés communs, ces deux cr)lés devront èlre c(iu>écutifs, sans quoi II ne serait pas simplement connexe, et alors le sommet qui sépare ces deux côtés sera à l'intérieur de II'; on aura donc généralement

IX étant le nombre des sommets communs à II el à II' qui sont à l'intérieur de II". Plus généralement, si avec trois polygones II, II', II", de 2N, 2N', 2N" côtés on forme un polygone II"' de 2]N"' côtés, on aura

(N'" — i) = (^ — Ti -I- ( N' — ij -1- (^" — 1 ) — ;j.,

p. étant le nombre des sommets appartenant à deux ou plusieurs des polygones II, n', II" qui seront à l'intérieur de H". Si nous appliquons cette formule à notre polygone P de 2N côtés formé de n polygones congruents à P' qui a 2N' côtés, il viendra :

Ci ) N — 1 — Il (\' — Ti — ;j.,

jj. étant le nombre des iommets de P', ou d'un pohgone congruent, qui sont à l'intérieur de P. Ces sommets devront correspondre à un point A, de C qui soit tel (jue

A de pareils points, s'ils existent, peuvent également correspondre des cycles de sommets de P ayant des angles dont la somme est 27:.

Nous re\iendrons sur ces hypothèses à la fin du paragraphe V.