IV. — Calcul de la forme bilinéaire caractéristique
Imaginons un p(d\gone fuchsien I*, la courbe (^ coirespondante, elle système des intégrales abélicunes de première espèce relative à celte courbe; et cherchons à déterminer, pour les périodes correspondant aux côtés du polygone P, la forme bilinéaire caractéristique dont il a été question au paragraphe 11.
Nous emploierons les notations suivantes. Soient
les sommets consécutifs du polygone P endécri\anl le périmètre de ce polygone
SIR LA REDUCTION UES INTEGRALES AUELIENNES ET LES l'ONCTIONS l'ICllSIENNES. 383
dans un ccrlain sens. Soient
lus côtés consécutifs de 1', de telle sorte que le côté /; soit le côté a,,o-,, et que le côté y, soit lo côté <J..y<J\.
Soit U l'iuie des intégrales abéliennes de première espèce; soit .r, cette intégrale prise le long du côté ■/,, et soit ;, la valeur de l'intégrale U au sommet u, ; on aura
et pour (jue cette t'ornuile soit générale, nous conviendrons de poser
Si les deux sommets o-,. et 7<i appartiennent à un même cycle, ladillerence
:-'-i — ^i = -''x r-i -H 'ï - » -t- . . . ^ •'■'j sera une période.
Si les côtés y, et ya sont conjugués, on aura
ou
IJans ce cas
est une période, car les sommets (T'i i et 7^^, de même que les sommets crr^ et <Tx i , appartiennent à un même cycle. Si l'on permute les lettres y. et j3, il vient
'■1.-' — '-'i -- ^ï— -3 1 ^ J 3d'où
l'i I • ,la-l-.> 'i— II-
Si l'on l'ait la somme des équations (a), on trouve qut! la somme des 2N quantités x doit être nulle
Nous avons d'autres relations entre les )•. Soient par exem|jle
^jc- '::!, '•.■■ ^'~
les sommets consécutifs d'un même cycle : les cùl<'s y, cl y^ , seront eonjugués
o84 SIK LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.
et Ton aura
yx= -,3 — -a,
11 j aura autanl de rflatimis (5) que de cycles de sommets, >oil Q leur nombre; le nombre des )• est évidemment y. N; ils se trouvent liées par N relations (3) et par Q relations (5). Ces X + Q relations ne sont pas distinctes; car si l'on fait la somme dos relations [o) et celle des relations (5) on trouve le même résultat, à savoir
Il restera donc entre les y, jN + Q — i relations qui celle fois seront bien distinctes. Car chacun des v figure une fois, et une seule, dans l'ensemljle des relations (3); et une fois, et une seule, dans l'ensemble des relations (5).
Si nous désignons par A; les premiers membres des relations (3), par B, ceux
des relations (5) et que nous cherchions si Ion peut avoir idenliquemenl
les X et les fi étant des coeflicients constant!., chacun do r tigurera dans l'un des A et dans un seulement, et, d'autre part, dans l'un de? 13 et dans un seulement; il faudra que les deux coeflicients a et |5 soient égaux et de signe contraire. Chacun des x correspond à l'une des relations (3) et par conséquent à une paire de côtés conjugués; cliacun des ^ correspond à l'une des relations (5) et par conséquent à un cycle de sommets. Chaque côté a|ipailenant à une paire, à chaque côlé correspondra un x: iliaque ■commet appartenant à un cycle, à chaque sommet corropoudi a un ^'i. et. d'après ce que nous venons de dire, le coefficient x qui correspond à un côté, et le coefficient p qui correspond soit au sommet sulxanl xdt au sommet précédent, doivent être égaux et de signe contraire. D'où il suit que tous les a doivent être égaux à — 1 (par exemple) et tous les ^ à — i . Il n'y a donc pas entre les A, et les B, d'autre identité que la suivante
Il v a donc N + Q — i relations distinctes entre les j , et comme les y sont au nombre de 2N, il y aN — Q + ' quantités }^ distinctes. Le genre est alors
* comme il couvienl.
Sin LA REDUCTION DIÎS I.NTÉGI\A1,ES Alil•;LlEN^ES ET I-ES FONCTIONS ELCHSIENNES. 385
Cela posé, considérons une seconde inlégrale uhélienne L'; désignons par x' , y', z' lus qiianlilés relatives à culte seconde inlégrale et correspondant à celles que nous avons appelées x, r, :, en ce qui concerne la première. 11 s'agit d'obtenir la forme bilinéaire
Pour cela, prenons l'intégrale
tout le long du périmètre de P; celle intégrale devra être nnlle. Soient -/, et y^ deux côtés conjugués, et deux éléments correspondants de ces côtés; soient U^ et U3, Uj, et U3 les valeurs de nos intégrales en deux points correspondants de ces côtés ; on aura
Je mets le signe — jiarce que si les deux côlés sont parcourus en suivant les points correspondants, ils seront parcourus en sens contraire. L'intégrale
IJctW prise le long de ces deux côtés se réduira donc à
j\v.-Vx)dl= f.
le long du côté -'rj; c'est-à-direyj..rJ3 ou — yy^x^. L'intégrale se réduiia donc à
la sommation s'étendani à toutes les paires de cèilés, en prenant un côté seulement dans cliaque paire. Mais comme on a
cela peut s'écrire
la sommation s'étendani à tous les côlés. Nous aurons donc
(fi) 1 K ./•■=(),
ou, en vertu de (i) (appliquée à l'intégrale U'),
ou, à cause de (3),
386 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGKALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.
Tenant compte de la relation
il vient
-Xx :-'i->- -.'■;} ;'j-i- - r;ij'3= o.
Mais on a '
-fx :'^ = -y fi -'';i, -.'-a/a = -,>i-l.'>
En elTel l'indice x peut prendre loiilesles valeurs passibles depuis i jus(]u'à 2N ; et quand il prend ces valeurs, l'indice p du côté conjugué prend également ces mêmes valeurs dans un aulre ordre. Je puis donc écrire
Nous devons vérifier d'abord que le premier membre de (-) est iiien de la forme F()-, )•'), F étant une forme bilinéaire. Choisissons en efl'et, dans chaque cycle de sommets, un sommet que nous a|)pellerons le sommet initial. ( )n aura alors, pour un sommet quelconque o-j,
a^ étant lu sommet initial du cycle et ^ ' une combinaison linéaire des }■' ; de sorte que le ])remier membre de (- ) devient
Il s'agit de démontrer que le coefficient de :\^ dans cette expression est nul, de telle sorte que cette expression ne dépend ]>lus que des >' et des)-'. Eu eilel, ce coefficient est égala
la sommation s'étendanl à tous lessommets du cycle, et cette somme est nulle en vertu des relations (5).
Il s'agit maintenant de vérifier sur le premier membre de (7) l'identité
(8) FO, v')-i-l-0-,.r) = '> ou, ce qui revient au même, l'identité
puisque
Il est clair que
FO',.)-) = ■■iSja^ï + ~yi-
Or on trouve
SUR LA RÉDUCTION DES INTÉliRAI.IÎS ABÉLIENNES ET LES l'ONCTIONS KUCHSIENNES. 387
OU, en développant,
Or le second niciubre est évidemnienl nul puisque, quand l'indice a [irend toutes les valeurs possildes il en est de même de lindice (3 — i, quoique dans un autre ordre.
En résumé nous avons entre les )' et les )' une relation hilinéaire
■>.l vz'-h 1 );)•'= ().
Cela prouve que la forme caractéristique clierchée P{y,y') est égale, à un facteur co/istanf près, à 2ij's' + 2 )j', et 11 reste à déterminer ce facteur constant.
Pour cela supposons que U', au lieu d'être une intégrale de première espèce soit une intégrale de troisième espèce admettant pour points logarithmiques deux points M, et M, de la surface de Riemann C, le premier avec le résidu + I , le second avec le résidu — i ; dans ce cas on aura
Uo et l'i étant les valeurs de U en M,, et M, . D'autre part, l'intégrale
a aussi pour expression 2 (7:(U„ — U, ), de sorte que
Mais le premier membre de (-) n'est autre chose que le premier memi)ie de (6), qui a été obtenue elle-même en multipliant par — 2 l'expression
(pii représentait noire intégrale; on aura donc ou enfin, en tenant compte de (8),
(9) ^'{.y,r') = ^=y+-,^^yy,
pu encore
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