V. — Mode de correspondance des côtés
Représentons-nous le polygone P décomposé en un certain nombre n de polygones congrueuts à P'. Les côtés du polygone P' sont conjugués deux à deux, ils sont au nombre de aN'; le nombre total des côtés des divers polygones congruenls à P' sera donc 2/tN'; parmi eux il y en aura 2 JN qui n'appartiendront qu'à un seul de ces polygones et qui feront partie du périmètre de P; les autres appartiendront à deux des polygones congruents à P' et leur serviront de frontière commune.
Nous pourrons représenter ces 2«N' côtés par une notation à double indice
l'indice a variera de i à 2N' et se rapportera aux divers côtés de P'; l'indice (3 variera de i à « et se rapportera aux divers polygones congruents à P'; ainsi P'(J3) sera l'un des polygones congruenls à P'; -/(a) sera l'un des côtés de P' et j/(a, (3) sera le côté de P'((3) homologue au côté y (a) de P'.
Supposons alors que les côtés y(o'.) et '/{y-') de P' soient conjugués, et considérons un côté y (a, |3) ; il existera alors toujours un côté y{y-', (3'), et un seul, qui sera identique ou conjugué à "/(«, P).
Si les deux côtés ^(a, (3), •/(«', j3') sont identiques, ils n'appartiendront pas au périmètre de P, mais ils feront la frontière commune de P'((3) et P'(P'). Si les deux c('ités y{x, (3), /(a', (3') sont conjugués, ils appartiendront au périmètre de P el ils représenteront deux r('ités conjugués de P.
Nous pouvons alors envisager la substitution S3, qui change p en P'; c'est une substitution qui change l'ordre des ?i h'ttres p. A chaque côté de P' correspond une pareille substitution et les substitutions correspondant à deux côtés conjugués Sa et S;;, sont inverses l'une de l'autre.
Voyons maintenant comment les sommets de P se répartiront en cycles. Nous désignerons encore par it((x) celui des sommets de P' qui est compris entre y(ot) et y(x-{-i), el par a(a, (3) le sommet homologue de P'(,3). Considérons un des cycles de sommets de P', et soient
ces sommets. Considérons alors le sommet (T(a,, jS,); il sera identique ou conjugué au sommet o-fa', — i, ^\), où (3', sera le transformé de ,3, par la substitu-
SUR LA REDUCTION DES INTEGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. SSg
lion Sji^ : j'écris
P'i = pi Sa,.
On aura d'ailleurs a', — i = «j, et je poserai pour plus de sjmélrie dans les notations
O rjf o r;
i-'a— Pi — l-'i ^i," De même, le sommet
sera identique ou conjugué au sommet où y{(x'.,) est conjugué de '/(«a) et où
1^3 = i^2 = p-2 Sa.,
et ainsi de suite : et enfin le sommet
sera identique ou conjugué au sommet OÙ
i-'/n ^^ i^m Sa,,, = pi Sa, Sa.,. . . Sa,,,.
Ainsi, pour obtenir |3'„, en partiint de [3,, il faut appliquer aux n lettres (3 la substitution
qui change leur ordre.
Soient alors
les transformés successifs de (3, par -, i% . . . , i? ; on finira par arriver à
i-'?— pi!
c'est-à-dire par retrouver la lettre initiale. Alors les divers sommets
a(a,.ri,), a(a,,fJ';), a(a,,fi'^), ..., ^(a,, p;^., )
appartiendront à un même cycle, lequel comprendra en outre
cr(a,, ?i Sa,), a(a.„ ,3',' Sa,), <T(a,. Si; Sa,), .... '(«3, ,?i Sa, Sa,), 0(23, [l'I Sa, Sa,),
On sait qu'une permutation quelconque entre n lettres j)eut toujours être décomposée en un certain nombre de permutations circulaires; ici l'une des
Sgo SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABKLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNKS.
permutalious circulaires de — est la suivante :
j| . |J| , ^Jn, . . . , i^iy-l
et porte sur q lettres.
Supposons donc que i se décompose en / semblables permutations circulaires; nous avons sur P' un cycle de m sommets. A ce cycle correspondront sur P, non pas un, mais >. cycles de summels; et si une de ces permutations circulaires porte sur g lettres, le cycle correspondant comprendra qm sommets.
Il pourra se faire que plusieurs de ces sommets appartenant à divers polygones P'(,3) soient identiques; le nombre des sommets distincts de P sur ce cycle sera alors moindre que qni] il pourra même se faire, et c est une Hypothèse que nous avons déjà envisagée au paragraphe III, que tous ces sommets soient identiques et que la somme de leurs angles soit 27:; ce sommet n'appartiendra plus alors au périmètre de P, mais ce sera un point intérieur à P appartenant à la fois à plus de deux polygones P'(|S) et étant le point d'intersection des frontières de ces polygones.
