VI. — Calcul de l'invariant

Pour calculer notre invariant, nous devons d'abord chercher les nombres que nous avons appelés /; et m au paragraphe II. Les nombres m se rapportent aux différents >, et par conséquent aux différents côtés. Au côté -/(a, (3) qui est identique ou conjugué au côté -/(a', j3') correspond une périodey(5c, (3), qui est l'intégrale U prise entre les sommets u(y., p) et u{ot.' — 1, 3). Si les deux côtés j/(a. P) et •/(«', P') sont identiques et non conjugués,. il en est de même des deux sommets afx, p) cl 7(a' — i , ,3') et l'on a

y{-j., ;i) = o et de même pour l'intégrale U'

(1) /(=<. ;i; = "- On a dans tous les cas

ce qui n'est autre chose que l'équation (.'<) du paragraphe I\ .

Les y peuvent s'exprimer en fonctions linéaires des périodes Wy et l'on aura

(2) y{:,,'^) = SmU.\i,j^^<>j et de même

les m(o(, [3, y) étant entiers.

SUK LA RÉDUCTION DES INTÉGKALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 3ç)l

Considérons maintenant la valeur z{(x, (3) de l'intégrale U au sommet (j(x, (3) et la valeur s(3t„, |3„) de Ij au sommet initial du cycle o-(a|i. Po) lel qu'il a été défini au paragraphe IV^, nous pourrons écrire

et de même

les /.(a, fi, /) élanl entiers.

Remplaçons les )■ et les z par leurs valeurs dans

F(y,y') = lzy+^^rr'.

Observons que nous pouxons dans les sommes du second membre introduire les termes correspondant à des côtés y{x, jS), qui n'.ip[iarlicnnenl pas au périmètre de 1\ mais servent de frontière commune à deux des polygones P'([3)- En ert'et, ces termes contiennent en l'acteur )'(ot, p) qui est nulle dans ce cas en vertu de la relation (i). De plus, nos formules sont applicables comme nous l'avons vu au paragraphe IV, bien que les y ne soient [)as des périodes distinctes. Le premier membre doit se réduire à :

FO-,.K') = i:lly<.,y.

Quant au second membre il va prendre la forme d'une expression linéaire par rapport aux ;(oC|i, p„) et aux ojy, puistjue les seconds membres des coefficients (a ) et ( ;3) sont de cette forme. Mais le coefiicient de :{x,,, p,,) est égal à

la >oiinnation étant étendue à tous les sommets a-(a, [5) du cycle dont crfa,,, (3,,) est le sommet initial. Or cette somme est nulle par la relation (5) du paragraphe 1\'. Donc les termes en :{y.„, (3„) disparaissent et le second membre est linéaire par rapport aux 'jtj seulement. On trouve alors, en identifiant les coeflieients de ojy,

Mais on a, par la définition des nombres //,

H,= i;/<(2, fi,y))'(=<- fi), d'où

(4) /'{y.. fi,y) = /,(,:(, >,y) -H ;^ «!(=<,?,/).

39'. SUR L\ nKDl'CTION DES INTÉGRALES ABÉLIKNNES ET LES FO?sCTIONS FUCHSIENNES.

On a d'autre p;irt

)•( ï, 'il = — r(,2', ^j = 31 -y — I, 3') — -{ï. ^1 = z(x', p' ) — z{-j. — I. il et par const'quent, en égiilant les coefficients de oi^. 1)1 «M 2, p I = — «î l'ï'. |î' ) = /. I ï' — I, p) — /. I ï, ^ ) = /. I a'. 3' I — A ( 2 — 1.3).

11 faudrait aliecter les /ii cl les /. d un troisième indice / qui ser.iit le uièiiie pour tous les nombres qui )ii;urent dan.s cette formule (.')).

Comparons maintenant deux expressions telles cpie ;(a, |j) et z{x, J3').

La dérivée de U prendra la même valeur en 7[x, 3) et en (/(a. ^') ou, plus généralement, en deux points correspondants des deux polygones P'( 3) et P'(p'); et en efl'et nous avons supjjosé que l'intégrale U était réductible, cest-à-dire qu'elle appartenait, non seulement à la courbe C, mais encore à la courbe C. La différence des valeurs de L en ces deux points est donc une constante, et pai- conséquent la dillérence

Cl X. (i ) — ;( 2. Jb' )

ne dépend que des indices 3 et ,3', et ne dépend |)as de l'indice x. Il en est donc

de même de la différence

/,('2. [î, /i — /,(':<, fj'.y).

Il résulte de là que nous pouvons écrire

/. ( X, fi, j ) = / 1 x.j) ■+- /, I ,'i,y I

et considérer le nombre /'{x, 3, /) comme la somme de deux autres nombres analogues dépendant, le premier seulement ilr l'inilice :z et le second seulement de l'indice 3.

Cela posé, rappelons comment on forme l'invaiiant .1 : on dresse le tableau des /// et celui des /* ; on désigne [lar D l'un quelron(|ue des déterminants obtenus en [irenant nj colonnes dans le premier tableau; jiar D' le déterminant obtenu en prenant les /iiriin's colonnes dans le deuxième tableau; et l'on a