J =I.DD

Je dis que .1 ne changera |)as quand dans le premier tableau on ajoutera la première colonne à la seconde, en même temps qui^ dans le deuxième tableau on retranchera la seconde colonne de la première. Désignons en ellèt par D un déterminant tiré du tableau primitif des //; ; par D', A et A' les déterminants correspondants tirés du tableau primitif des h. du tableau modifié des m et du

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIEiNNES KT LES FONCTIONS FlfMlSIEIVNES. 'i[)3

tableau modifié dos /i . II s'ngil de montrer que

100= SAA'.

Soient Dj, l'un quelconque des déterminants, qui ne contiennent ni la première ni la seconde colonne; D;:i l'un quelconque des déterminants qui contiennent à la fois ces deux colonnes; D-. l'un quelconque des déterminants qui contiennent la première colonne sans contenir la seconde et enfin D" le déterminant obtenu en remplaçant dans D-,. la première colonne par la seconde. On aura

r)^=A^, D'^=A^, Ds=A;i. U'^= ::^^. A.'! = Dy-*- D!;, d'où

A!! = Dy-*-D!;, A:,= d:,— d;,", A..= D.p A;?=D'.i';

D^ ri'j, = Aï A'j, ii'i r»'j = \i Au, IJ-. n:, -+- h» r>:;' = a- a:. -+- a". a:." ;

et par conséquent

i;DD'=i;AA'.

On pourrait évidemment opérer de même sur d'autres colonnes quelconques.

Les colonnes de nos deux tableaux pourront être rangées dans un ordre tel que celle qui se rapporte à un côté y (a, p) soit immédiatement suivie de celle qui se rapporte au coté conjugué y(o(.', |j'). Nous aurons alors dans les deux tableaux, dans chaque colonne de rang impair, les nombres

in(:t/fi.j), /i(x,'fl,j)

et dans la colonne suivante les nombres

Faisons l'opération dont nous venons de démontrer la légitimité, d'abord sur les deux premières colonnes, puis sur les deux suivantes, et ainsi de suite. Alors dans les deux tableaux modifiés nous aurons dans chaque colonne de rang

impair les nombres

et dans la colonne suivante les nomjjres

Mais

Nous pouvons alors supprimer toutes les colonnes de rang pair, et en ell'et tous les déterminants A qui contiennent une de ces colonnes sont nuls, puisque tous les termes de ces colonnes sont nuls dans le premier tableau mudilié.

H. P. - III. 5o

394 SUR I.A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIF.NNES ET LES FONCTIONS FLCHSIENNES.

Il nous reslera donc deux tableaux formés respectivement avec les nombres

et il s'agit de former la somme

relative à ces deux tableaux. i

On a d'abord

2/'( =<. 'fi, J) = /'i^ — i.y.) -t- /^o'^j) + f^(^, j) -+- /'( ^ j),

■1 h ( a', Y, j) = k{3. — I . y ) -t- A( 3, j ) -+- /, i y.' , j i -t- k{'j' . j), d'où

■>./(( ï, 3. y I — ■>ii{i','j,j)=^ki-j-' — i.y I -t- X ( 2,y ) — /, ( ï — I. /) — /. I ï'.,/),

ce qui montre que les nombres du deuxième tableau modilié el par consé(juent les A' ne dépendent pas de l'indice p.

Chaque colonne dépendant de deux indices a et (3, chaque déterminant dépendra de deux séries de '.nj indices

«], ^J. ••■, '^■iq

je pourrai donc désigner l'un des déterminants A par ces indices, en l'écrivant

A( 2], xj, . . .. y-i,,; fit, fil, .... fi-i,,) ou simplement ^.

Nous pourrions écrire de même A'(^,, ^,)\ mais A', comme nous venons de le voir, ne dépendant pas des (3, nous écrirons simplement

A'(.ï, I el nous aurons

J = 1 Al :</, [i, I A ( 2, I.

La sommation doit s'efl'ectuer, d'une part par rapport aux indices (j, et d'autre j)art par rapport aux indices a. Nous pourrons écrire

la sommation sefiectiiant seulement par rapport aux indices p, el l'on aura ensuite

la sommation s'elTectuant cette fois par rapport aux indices y..

Nous devons observer que les indices y. doivent être tous ditl'érents, sans quoi

SUR LA BÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. Sgâ

A'(3:,) serait nul; en revanche deux ou plusieurs des ,j peuvent être identiques; car, si (3, = [3.j, par exemple, les nombres

«)( z,. ,Ji.,/ I, i)t{y.i. ,Ji.y )

n'en seront pas moins différents. De plus, on doit tenir compte de l'ordre des (3 et, par exemple, les deux combinaisons

Hîi /l- /:■ ,-■■ ,'i'l

doivent êlre tenues pour différenles, puisque la première conduit aux

nombres

m ( 2| . ^Ji . y I. //( ( 3:.i. jj. y I

et la seconde à

im Ui. j,, / t. III i X.,. /\. j ).

Cela nous indi([ue comment doivent être faites les sommations.

J'écrirai

voulant dire par là que A ( a,, j3,) est un déterminant où l'élément delà ('"""' colonne et la /"'""' ligne est iii{Xi, |3,, J). J'aurai alors, avec la même notation,

«i(ï,, [j,y ) = ACï/ — i.y I — Âi x/.y I -I- Al y.y I — /,-( ■j,j).

ce que je puis écrire

m 1 2,. [j. y ! = /«(■ 2,. /') -H /, ( y, y i — /, i fi, y),

en posant

La sommation doit sétendre aux ii valeurs de ^. Le terme /)i(y.,. J) étant indépendant de ,3, on a

-un u,,j) = iiiii(ui. j K

D'autre part, quand |3 parcourt les valeurs i, '>.. .... /(, l'indice jj' parcourt

les mêmes valeurs dans un autre ordre, de sorte qu'on a

lÂi (i'.yi — iiAi y y) = o

et qu'il reste simplement

H (2,-) = n-^'!\ixi),

en posant

SgG SUB LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

de sorle qu'il reste

ou bien

J = rr-fi',

y étant l'invariant relatif à la courbe C et au polygone P'.

Examinons en particulier les deux exemples du jiaragraphe I. Dans le premier de ces exemples on a ry = i, et nous pouvons prendre pour périodes

et supposer ijue la courbe C est une courbe de genre i admellanl comme intégrale de première espèce (/,, laquelle elle-même aura pour périodes fondamentales - '' et A; nous reprenons les notalions du paragraphe I, de sorle c|ue les

lettres y. et A n'uni plus du tout la même signification qu'au début du présent paragraphe. Quoi qu'il en soit, les périodes w, et o).> pouvant être regardées comme des périodes normales, on aura

et d'après le paragraphe IT

Mais nous pourrions également prendre d'autres périodes (de façon que toute fonction périodique admettant les périodes '.>, el ',).. admette nécessairement les périodes—^ et fi\, par exemple

(3 et •/ étant des entiers quelconques. Dans ce cas le tableau des nombres //( s'écrit :

et l'on a

Mais nous nous tiendrons à la première lijj)0lhcse, c'esl-à-dire que parmi les systèmes de périodes oi qui conduisent à la réduction, nuus choisirons toujours le plus simple; on aura alors

Passons au deuxième exemple. Ici q=^2, les intégrales h, et u^ admettent

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. SqJ

pour périodes

■1 1 Z (> *> <» tl b <)

■-', / - Il ■\i- (1 () b c — 7- o.

Nous pourrions donc prendre le tableau suivant des périodes ',> :

(0| Wi (»:; (Oi

II, • o a b,

■II- II. o — r- b C.

Mais ces périodes ne satisfont pas à la condition que doit remplir un svstéiue de périodes d'intégrales abéliennes engendrées par une courbe de genre a. Nous devons donc cliercher un autre système de périodes sous-multiple du premier. Je dis, pour abréger le langage, f[u'un système de périodes S est sousinultiplc d'un autre système S', cpiand l'existence des périodes S entraîne celle des périodes S', sans que la réciproque soit vraie.

11 est clair alors que parmi les systèmes sous-multiples de (S'), et satisfaisant à la condition fondamentale imposée aux périodes des intégrales abéliennes, le plus simple est le suivant :

(0| 0>i CO3 tOi

Ht — TT o a b

et que tous les autres ne sont que des sous-multiples de (S). Nous pouvons alors supposer que «i et «2, regardées comme intégrales abéliennes relatives à la courbe G', admettent les périodes S'. Alors le tableau des nombies /// ne sera plus, comme au paragraphe II :

bien

SgS SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS KUCHSIENNES.

On n'a donc [ihis. comme au paragraphe II. J :^ îî'p-, mais

D'autre part, les périodes « étant normales, ona

d'où

Il = x3.

Dans le premier exemple, nous avons trouvé /; ^ y, dans le deuxième nous trouvons n =: y.fj\ la loi est évidemment générale et peut s'énoncer ainsi :

Le iitiinbrc ii îles /iii/)s,'(iiirs I' ( j) n'es/ nuire chose ijiif le iionif/re /« re/diif Il lu lèiluclimi cl ilèfini nu paragraphe 1 ; pour\u du nmins que l'on choisisse le système des périodes oj de la façon la plus simple possible.