VII. " Autre mode de calcul

O.i peut arriver à ce même résultat dune manière plus simple, de sorte que je n'aurais pas pris un chemin aussi détourné si les propositions intermédiaires ne devaient pas nous être utiles dans la suite.

Soient U et U' deux intégrales abéliennes appartenant à la courbe C, à laquelle se l'apporte le polygone P'; la première sera de première espèce et la deuxième de troisième espèce; elle admettra deux points singuliers logarithmiques M„ et M, avec les résidus + i et — i.

Prenons l'intégrale

le long du périmètre P': elle sera égale à

■'ITA I „— l',),

Uii et Ui étant les valeurs de U aux points M„ et AI, ; le résultat serait encore le même si l'on intégrait le long du périmètre d'un quelconque des polygones appelés plus haut P'(h), et en ellet quand on passe du point M„ intérieur à 1'' au point correspondant de P'(P)i l** valeur de U,, augmente d'une période; et quand on passe de M| au point correspondant de P'(Jj), la valeur de l'i augmente de la même période, de sorte que la différence U, — U,, ne change pas. D'autre part, cette même intégrale est égale à

SUR LA nÉDUCTIOPJ DES INTÉGRALES AllÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 3l)Ç)

les '.> étant les périodes de U par- rapport à la courbe C, et les '■>' olant les périodes correspondantes de U', tandis que "t(oj, w') est la forme bilinéaire caractéristique relative à ces périodes. On a donc

*(to, (.)') = ■>.i-(\'„— Hi).

Prenons niainlenaut la ménic intégrale le long du périmètre «te P, ce sera comme si on la prenait le long des divers polygones P'(|3) qui sont au nombre de /;. On

trouvera donc

:>.iiir.(V„— V,).

D'autre part l'intégrale sera égale à

les )• étant les périodes de U par rapporl à la courbe C, les )' étant les périodes correspondantes de U', et F(,)-, ,)') étant la forme bilinéaire relative à ces périodes. On aura donc

d'où

F ( )-,.>-') = /mI>((.i, w').

Si nous prenons les périodes normales et le premier exem[)le du paragraplie I, nous aurons : pour

les valeurs

y^' .I::- y-; ^s. Xo.

■IIK, (>, O. II. ) O

les valeurs d'où

ri= 5(t"l, y-l= o, fj = o, 74 = Wj, J--5 = Wj, J\ = o

avec les mêmes relations entre les y' et les oj'; d'ailleurs

p{y,y") = ji /■. — j''. .'''1 -+- j'.!.''5— i-a/i -f- jsi'o— r»/:l> 'I•((o, w') = Oi to'^ t.)., lo'i ,

d'où, en remplaçant les y et les y' par leurs valeurs en fonctions des m et des (.)',

et

Il = 71.

Passons au second exemple du paragraphe l ; nous aurons (si U = }v«,4-p.«j) :

ion SUR l,A RÉDUCTION DES INTÉGKALES AIIÉLIKNNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

pour

yi- y-i, j'3- v:, 7.-,, fr., y-, y*, les valeurs

... , , , . -î / -a ■>, / -À ■117-./., ■ii-'x, Cl. (>. ii/.-i-b'j., 6/. -+-f'j., — A-, :

poulies valeurs

d'où

xi Xj

^)| = 2,jC0], )-.2 = 2,'j(0^, l:| = I). )'i = I),

avec los mêmes relations vnXve les )' ul les '7/; d'ailleurs

•^0'> J'') = .>! j':, —.'■...» '1 -^.'^^.''li— J'c/î -t-.l':;.' '7 —."'t.»':; "^ Ji .)■'» — i'».> a,

'1> ( (•). 0)' ) = (■), w'j (0-; (o'i -h (')., (O'j (Oi w'., .

d'où

F(/.j-') = 2;i«inw. (■/)

et

Les résultats du paragraphe précédent sont ainsi retrouvés et la méthode est évidemment f;éncra!e.