VIII. Cas où v = i
Jcme propose mainlenani d'étudier de plus près les circonstances de la réduction et je commence par rappeler et compléter les relations entre les nombres N, N', Q, Q', etc. Nous avons trouvé au paragraphe 111 les relations suivantes :
\ xq = N'0'-v 1.
( ■-', ) Q -t- ay — 2 = /( ( Q' -I- ■'. (7 — 2 ).
(3) N — 1 = «CN'— n — ;ji.
La formule (2) s'applique au ras où le nombre p. est égal à zéro, c'est-à-dire où il n'y a pas de sommet commun à plusieurs polygones P'd^ ) qui se trouve à l'intérieur de P. Nous adopterons cette hvpolhèse: si d'ailleurs elle n'était pas satisfaite, et que A13('J)A représentant le ])érimètre de P, un sommet commun E à plusieurs l''([3) fût à l'intérieur de I', nous pourrions joindre AE et prendre pour périmèire de I' la ligne fermée EABCDAE. Dans le polygone V modifié, E serait regardé comme un sommet, dont l'angle serait 27:, et le périmètre
SIR LA RÉDICTION- DES INTÉliRVLES ABÉLIE.NNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4"'
comprendrai! deux fois le côté EA, parcouru une fois diiiis le sens direct, une fois dans le sens rétrograde. Nous pouvons donc toujours supposer
Dans ce cas. la formule ( î) devient {3 bis) ^—i = ,l(^'—^).
elk' est une conséquence immédiate des foinuiles ( i) et (2). La formule (2) peut s'écrire
(4 ) /( Q' — Q = îip — I ) — 'lui q — I ».
Le premier inenihre (k- celte relation est susceptible d'une inleiprétalion particulière. Nous avons vu au paragraphe V comment se forment les Q cycles de sommels de I'. A chacun des Q' cycles de sommets de I*' correspond une substitution
i: = Sa, s»,... Sa,,,
portant sur /i lettres. Cette subsliiution se décompose en un certain nombre de permutations circulaires. A chacune de ces permutations circulaires correspond un cycle de sommets de P. Il y a donc en tout Q' substitutions—, et le nombre total des permutations circulaires dont elles se composent est de Q.
Le nombre total des lettres est /iQ'; si alors)., est le nombre des permutations circulaires qui permutent i lettres, on aura
d'où
(5 ) -I i — 11/,,= ■:>.( fi — i) — ••>.ni q — i).
' Voyons en passant quelle est la relation de ces substitutions i avec les nombres v, définis au paragraphe IH. Chacun des points singuliers A' du paragraphe m correspond à un sommet de P' et par conséquent à une substitution i. Cette substitution permute /) lettres correspondant aux n feuillets de la surlace de Riemann C du paragraphe III ou aux /; déterminations de AI, c'est précisément la perniiitation que subissent ces // déterminations quand M' tourne autour de A'. Les points A, correspoodent à divers sommets de P et par conséquent aux permutations circulaires en lesquelles se décompose i. On voit ainsi que ces permutations circulaires porteront respectivement sur
V|, V,, Vj
lettres.
(112 SLR LA REDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.
Aous allons examine/- en particulier le cas où g ^ i, c'est-à-dire celui où la courbe C est dti genre i, et où les intégrales abèliennes sont réductibles aux intégrales elUjUitines.
La formule (n) devient alors ;
( 5 bis 1 11/ — I I /,,= ■? I /< — 1 ).
Ceci nous montre d'abord que y/ ne peul être nul, ce qui était d'ailleurs évident puisque alors C n'admettrait pas d'intégrale abélienne; si l'on supposait /J = I , tous les nombres i devraient être égaux à i , c'est-à-dire que toutes nos substitutions i devraient se réduire à la substitution identique; il n'y aurait pas sur la surface de Riemann C de |)oints de ramification A', nous devrions prendre pour le polygone fuchsien un quadrilatère, à côtés opposés conjugués, dont la somme des angles serait 2~; ce quadrilatère se réduirait alors à un parallélogramme rectiligne de la géométrie ordinaire; puisque la somme des angles serait 27: et non plus petite que aTi comme dans la géométrie non euclidienne; nous retomberions en définitive sur la théorie ordinaire de la transformation des fonctions elliptiques.
Examinons donc le cas de
Deux hypothèses sont possibles :
i" Ou bien toutes les substitutions 1 se réduisent à une |)ernuitation entre deux lettres. Dans ce cas chacune de ces substitutions se décompose en un certain noml)re de permutations circulaires, qui ne portent que sur une lettre, de sorte que le terme ( / — i) correspondant est nul, excepté pour l'une d'elles (|ui porte sur deux lettres, de sorte (|ue le terme (/ — 1) correspondant est égal à i . Nous aurons donc dans le premier membre de (5 bis) autant de termes égaux à I qu'il y a de substitutions—, tous les autres termes étant nuls; ce premier membre est donc égal au nombre des substitutions i. A chacune de ces substitutions i correspond un cycle de sommets de P'. Si, comme nous l'avons supposé au paragraphe III, nous choisissons ce polygone P' de la façon la plus simple possible, il n'v en aura pas d'autres. Ainsi notre premier membre est égal au nombre de ces cycles et l'on a
et ]>ar consétpient
SUB LA REDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS EUCIISIENNES. .|OJ
La somme des angles sera tc pour chacun de ces cycles (puisque le nombre v est égal à 2). Les polygones P' ainsi définis seront dos polygones P' de la première sorte.
2" On peut supposer, au contraire, que quelques-unes des substitulions - ne se réduisent pas à une peruiutalion entre deux lettres; que, par exemple, l'une d'elles se réduit à une permutation circulaire entre trois ou plusieurs leltres, ou à deux permutations entre deux lettres. Alors le premier nieiiibre de ( J bis) contient plusieurs termes égaux à 1 , ou un terme supérieur à i et correspondant à cette substitution, de sorte que l'on a
Les polygones I" ainsi définis seront des polygones I" fie la deti.rième sorte.
Les cas les plus simples sont ceux d'un quadrilatère dont les côtés opposés sont conjugués et dont la somme des angles est égale à tt; ou bien encore celui d'un hexagone dont les côtés opposés sont conjugués et qui a deux cycles de
sommets, avec des sommes d'aiigh-s de r. et de ^•
Nous verrons plus loin que les polvgoiii's P' de la deuxième sorte peuvent être regardés comme des dégénérescences de ceux de la première sorte.
Examinons surtout ceux de la |)reniière sorte. Pour déterminer un polygone de 2N' = 4p — a côtés, il Faut 8y> — - données. Mais notre polygone est assujetti à certaines condilions. D'abord les côtés conjugués doivent être égaux (au point de vue non euclidien ), ce ([ui fait N'= zp — i conditions ; ensuite la somme des angles de chaque cycle doit être égale à tt, ce qui fait Q' = 2y> — 2 conditions. Il reste donc
données arbitraires.
Mais ces données sont réelles., elles équivalent donc à ip — 2 données arbitraires complexes.
Comparons ce nombre à celui des périodes arbitraires de notre tableau. Le tableau des périodes peut être réduit à la forme canonique comme nous l'avons fait au paragraphe I; reportons-nous par exemple au premier exemple de ce paragraphe où (jr = i , /? = 3 ; nous voyons que dans ce tableau figurent quaire arbitraires A, a, b, c; le noml)re x est l'entier caractéristique de la réduction et ne doit pas être regardé comme arbitraire; c'est noire nombie /;. En général,
4o4 Sl'R I.A RliDLCTION DKS INTK(iRALKS ABKl.IEN-NES ET LES FONCTIONS FUCHSl^NNES.
nous aurons une arbitraire correspondant à li, et - — arbitraires analogues
à a, b, c; ^n toul
Ce nombre n'est pas é<;.il à [ip — 2 et -cela ne doit pas nous étonner, puisqu'un système quelconque de périodes ne correspond pas toujours à une courije C, ou, pour parler le langage du paragrajihe I, à des fonctions abélicnnes spécinles. La diderencc
est le nombre des conditions qu'il faut imposer à un système de périodes /•e(/»cliblcs pour qu'il conduise à des fonctions abélicnnes spéciales.
Considérims maintenant un sjsténu' de périodes queltoiniues. m in réductibles en général; le nombre des périodes arbitraires esl
Le nombre des données arbitraires dont dépend une courlie C de genre p
(modules ) est
ip — 3 .
La dillérence
/";' + '> j 3 ^ />-— -.y» -4- fi
représente le nombre des conditions qu'il faut imposera un système de périodes ijuidcDiiqucs pour qu'il conduise à des fonctions abélicnnes spéciales.
On remarquera que, comme il convient, ce nombre de conditions est le même dans les deux cas.
Si l'on avait pris un polygone de la deuxième sorte, on aurait vn Q' < 'ip — • 2 et le nombre des arbitraires (réelles) eût été
Voyons, en nous plaçant à un poinlde vue entièrement dillérent. àquoi correspondent ces Q' points singuliers. Considérons la courbe C, qui sera de degré»/
et aura par conséquent
, \ni — 1 ) ( m — ■>. I
points doubles.
Soit W| l'inti'grale abélienne de C qui esl réductible aux intégrales elliptiques, l^es [loiiits A correspondant aux sommets de I*' seront ceux pour lesquels la
SIB LA BÉDICTION DBS INTÉGRAI-ES ABKI.IENNRS HT I.F.S FONCTIONS KUCIISIKNNES. 4o5
dérivée de cette intécralc -j-^ j-'anniilera. Ce seront (loue les points d'iat(!rsec-
lion de C avec la courbe
dit
dx
Cette courbe, adjointe à C, et passant par les d points doubles, est de degré m — 3. Elle coupe C (en dehors dos points doubles) en ^
m(in — 3) — id = ■!(/i — I)
points. A chacun d'eux correspond en général une valeur de m, et par conséquent un cvcle de sommets de P'.
En général, ces ip — 2 points d'intersection sont distincts et correspondent à autant de valeurs distinctes de «,. Le nonibie des cycles de sommets de V est donc
Le polygone P' est alors de la première sorte, mais il peut se faire également que les deux courbes se touchent de façon que deux des points d'intersection se confondent (c'est le cas où l'une des substitutions i permute circulairement trois lettres), on bien encore que deux de ces points correspondent à une même valeur de «, ( c'est le cas où l'une des substitutions- permute à la fois deux lettres ,3, et Z.,. et deux autres lettres ^3, et S,). Le nombre Q' est alors plus peiii que ip — 2 et le polygone P' est de la seconde sorte.
