IX. Cas de

Nous avons alors à a|)plifjuer la foimiile (i) S(/ — 1)/.,= af/i — i) — yniq — i)

et nous ferons une première remarque: si

le premier membre de (1) doit être négatif, ce qui est absurde. Il est donc impossible de construire les polygones P et P' de façon à satisfaire à l'inégalité (2), Et cependant nous pouvons construire un tableau de périodes réductibles analogue, par exemple, au tableau relatif du deuxième exeiu|)le du paragraphe I. Dans ce tableau (y = 2, p = 4 et «:=a^. 11 est clair que nous pouvons

4o6 SUR LA RKDICTIOX DES INTÉGRALES ABKLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

choisir les entiers ^ et ^ qui sont arbitraires de telle façon que le produit a[5

soit plus grand que 3, c"est-à-dire que

Nous pouvons donc construire un tableau de périodes réductibles, tel que l'inégalité (a) soit satisfaite, et cela non seulement pour p^/^^ g ^2 mais quels f|ue soient p et q, le résultat étant évidemment général. A la vérité, cela n'implique pas l'existence des courbes G et C, puisque ces périodes pourraient engendrer des fonctions abéliennes non spéciates. Mais dans l'exemple choisi (/^ = 4, '7 = 2) il suflit d'une condition pour que les fonctions abéliennes engendrées soient spéciales et pour que la courbe C existe: et. en effet, pour

yr? =r 4i on a — = i . Comme il reste dans notre tableau plusieurs arbitraires, nous pourrons disposer de l'une d'elles de façon à satisfaire à cette condition, et la courbe C existera. Quant à la courbe C, elle existe toujours

(7-— 57 — 6 puisque, pnur ^ = 2, on a = o.

Ainsi nous pourrons trouver un système de périodes réductibles, telles que C et C existent et que l'inégalité (2) ait lieu. 11 suffira pour cela, quel que soit n que le nom])re des arbitraires

soit plus grand que le nombre des conditions à remplir

Qu'est-ce à dire? Ainsi que nous l'avons vu au paragraphe I, si l'on considère un système S' de q points de C. on peut lui faire correspondre un système S de ij points de C, de telle façon que toute fonction rationnelle symétrique des coordonnées des divers points de S' soit une fonction rationnelle symétrique des coordonnées des dis ers points de S. JNIais il ne s'ensuit pas qu'à un point M' de C on puisse faire correspondre un point M de (V, de telle sorte que toute fonction rationnelle des coordonnées de M soil une fonction rationnelle des coordonnées de M'.

Quand la seconde condition (qui cnlraine la première) sera remplie, nous dirons que la courbe C est inuUijilc de la courbe C, et quand la première condition sera remplie sans que la seconde le sait, nous dirons que la couriie C Qsl pseudo-multiple de la courbe C.

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉ(;l\ALES ABÉLIKNNES ET LES l'ONCTIONS FUCIISIENNES. 40"

L'analyse qui précède nous montre que pour des valeurs convenables de p, ij el II il existe certainement des courbes pseudo-multiples. Maintenant il peut se faire que

Nous pouvons alors construire les polygones P' et P; seulement le premier membre de (i) est nul, de sorte que tous les nombres / doivent être égaux à i , c'est-à-dire que toutes les substitutions ^ doivent se réduire à la substitution identique. Alors il n'y' a pas de poinl de ramification tel que A' sur C. Si nous choisissons le polvgone P' de la façon la plus simple possible, on n'aura qu'un seul cycle de sommets de P' et la somme des angles sera i~.\ on aura

donc :

Nous dirons alors que le polygone P' est de la troisième sorte. L'exemple le plus simple est ^ z= 2, /> = 3, « = 2 ; le polygone [*' est un octogone dont les côtés opposés sont conjugués: le polygone P est un polygone de i4 côtés formé par la réunion de deux de ces octogones et dont les côtés opposés sont conjugués.

Supposons maintenant

nous pouvons alors faire deux hypothèses :

1" Ou bien toutes les suijslilulions i se réduisent à une permutation entre deux lettres; on a alors

Le nombre des données arbitraires (réelles) qui définissent P' est

4N'— 3 — N'— Q'= in'-HCw/ — G = \(p — \\ — {^n — (i)(i/— i)

et elles équivalent à

arl)itraires complexes. Nous dirons ilan> ce cas (|ue le polygone P' est de la première sorte.

2° Ou bien toutes les substitutions i ne se réduisent pas à une permutation

io8 SUR LA RÉnilCTION DES INTÉGRALES AliÉLlENNES ET LES FONCTIONS FLCEISIENNES.

enlre deux lettres; alors

Q' : •>(/) — i) — ■'-«(</ — i). ■' < '-'A i> — i"» — ym — J,l (</ — 0.

Le polygone P' e,->t alors de la deuxième, xorte.

Nous pouvons, ainsi que nous lavons fait pour le cas de r/ ^ i . loiuparer lu nombre des arbitraires du polygone P' avec celui des périodes arbitraires. Nous nous bornerons au cas des polygones de la première sorte; on a alors

données arbitraires complexes dans le polygone I''. Le nombre des arbili-aires dans le tableau des périodes réductibles est

H ^ ?(?-n) , ip — l^ip — '!-*-'>

Etant donné un tableau de périodes réductibles, à combien de conditions doivent satisfaire les périodes de ce tableau pour que l'on soit conduit à une courbe C multiple d'une courbe C? Le noml)re cherché de ces conditions est H — V.

Comparons-le avec le nombre

des conditions pour (iii'uii svslème (jnelconiiue de péiiodes conduise à des

fonctions abéliennes spéciales, c'est-à-dire pour que la courbe C existe. La

dilTérence

II V p"-— '</>-*-'>

est égale à ( i — 'J ) {/> — 7 + 2 — 2 " ) •

On voit que l'égalité a lieu jjuiir 7 = 1. ainsi (jue nous l'avons vu dans le paragraphe précédent; en revanche elle n'a plus lieu en général pdur 1/ ~> 1.

1° Si

(Il p = q -\- ■> Il — ■).

le nombre des conditions pourqu un système de période^ /l'diK/ililes engendre deux courbes algébri(|ues C et C telle que la |)remlère suit mulli|ile de l'autie, est égal au nombre des conditions pour qu'un système de périodes ij ueltiiiiijiirs engendre une courbe algébrique C.

■j." Si

Stin LA RÉDUCTION DES INTKUBALES ABÉLIKNNES ET LES FONCTIONS FLCHSIENNES. f\Og

le jjiiMiiier nombre est supérieur au second; c'est-à-dire quil peut arriver ([ue les conditions [)Our que C existe étant satisfaites, cette courbe C ne soit cependant pas multiple d'une courbe C: et cela peut s'expliquer de deux manières:

Ou bien la courbe G' n'existe pas. En ellel, si nous avons c/ intégrales abéliennes réductibles n'ayant chacune que 2*7 périodes distinctes, il peut se faire (jue les périodes de ces q intégrales engendrent des fonctions abéliennes à q variables non Sfiéciales.

Ou bien la courbe C existe, mais la courbe C est seulement pseudo-mulliple de C. Le nombre des conditions pour que la courbe C existe est

Si donc

il peut arriver que, les conditions |)our que les courbes C et G' existent l'une et l'autre étant satisfaites, la courlie G ne soit rependanl pas multiple de G'. Il est certain dans ce cas que G est pseudo-multiple de G'.

li" .Si au contraire

le premier nombre est plus petit cpie le second.

Pour nous résumer : soit a le nombre des conditions pcmr cpie G existe, les périodes étant quelconques; soit |S le nombre des conditions pour que G existe, les périodes étant réductibles; soit y le nombre des conditions pour que G et G' existent, les périodes étant réductibles; et enfin ô le nombre des conditions pour que G soit multiple de G'. On aura certainement

^ - Y - fit '\' = *•

Les égalité-s et iné;;alités (5), (6) et (8) entraînent respectivement les conséquences

Si l'on a 3( >• ô, on a certainenu'nt 0 > (3. et dans l'hypothèse (7) on a même y >• [î ; si Inn a 5< > o, (ui a certainement :z > 3 ; mais, même dans cette hypothèse, il peut 1res liiiMi se faire fine idii ^iil pur CMMnple

ce (pu rntraînerail encore l'exisliiice île cciuibes psrudo- multiples. Tcuit ce tpu' 11. P. — III. :>■>.

4lO SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGBALF.S ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES.

nous pouvons dire, c'esL que l'existeuce de ces courbes, cerlaine dans l'Iijpothèse (7) et dans l'hypothèse (2), est possible, on pourrait presque dire probable, dans les autres hypothèses.

Plaçons-nous maintenant au même point de vue qu'à la fin du paragraphe précédent. Soit d'abord q ^ 1. Soient u et v les deux intégrales réductibles. La courbe C sera de degré m avec

points doubles. Les courbes

dx dx

seront des courbes adjointes de degré ni — 3 qui couperont C en ay» — 2 points en dehors des points doubles.

Supposons que la courbe C soit pseudo-multiple de C; soient j?', , y\ ; x'„, j-!, un couple de points quelconques de C; et j?i, i,; x>, l'o le couple de points correspondant de C. (.Te prends un système de 2 points parce que q^i.) Appelons R' et K ces deux couples ; à un couple K correspond un seul couple K'; mais à un couple K' correspondent plusieurs couples K. Dans quelle condition ces couples s'échangent-ils entre eux? 11 y a certains couples qu'on peut appeler couples de ramification, parce que deux ou plusieurs couples K s'échangent, quand le couple K' subit un cycle de variations en tournant autour d'un de ces couples de ramification. Ce qui caractérise ces couples, c'est que le jacobien est nul :

Soient j< , et «j, r, et iv les valeuis des intégrales u et c aux poiiils ,/■, et x-^;

soient

U = II, -t- II.,, V = c, -H ('.,.

Si nous considérons deux couples K correspondant à un même couple K' et par conséquent susceptibles de s'échanger entre eux, les valeurs de U et de V seront les mêmes pour ces deux couples. La condition ]n'écédente équivaut

donc à :

(^(UjV) du, Ui'i du-, di\ i){x\,x.,) dx, dx-, il.r., dx, '

ce qui signifier que les deux points j", et x-, du couple de ramification sont sur une même courbe du faisceau

du . ilv (9) dx-^^'Tx=''-

SIR LA RÉDUCTION DES INTEGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS PL'CHSIENNES. |II

Pour trouver les couples de ramificalion, il suffira donc de mener une courbe quelconque de ce faisceau et de prendre deux de ses points d'intersection avec C.

Supposons maintenant que la couriie G soil multiple de G'; alors {x\,y\) sera une fonction unilormo de (x,,y,). Si donc M' ust un point de G'; M, et ^l-, deux des points de G qui correspondent à M'; ii,, u-, et i|, t'a les valeurs correspondantes des intégrales u et c, on aura

Ux = Ho. l'i = c.,.

Soient alors A' un des points de ramification sur G' et A, le point correspondant de G; on aura en A,

du d^

dx dx '

c'est-à-dire que A( devra être un des points bases du faisceau (9) en dehors des points doubles.

Supposons que le polygone P' soit de la première sorte, il y aura

de ces points bases en dehors des points doubles, puisqu'il y a Q' points de ramification. Il restera donc pour une courbe quelconque du faisceau

points d'interjection en dehors des points bases et des points doubles.

Supposons maintenant que l'on considère deux points M, et M^ correspondant à un même point M' et qu'on fasse varier d'une manière continue M,, M, et M'; il viendra

(/, = (I.,. Cl = f.,.

d'où

dui du., f/i'i di',

ce qui veut dire que les deux points. M, et AL. sont sur une même courbe du faisceau. Mais à un point M', correspondent n points M qui sont tous sur une même courbe du faisceau. Les 2/i(c/ — 1) intersections de cette courbe avec C se répartissent donc en 2q — 2 groupes de n points; les n points de chaque groupe correspondent à un même point M'; ainsi, à ces 211(1/ — i ) intersections correspondent sur G seulement 2ç — 2 points M' qui, correspondant à une

même valeur de -^ > sont tous sitr une mdinc courbe adjointe à G', de degré

di' ' ' c'

ni' — 3 si G' est de degré m'.

412 SUR LA RliDUCTlON DES INTÉcnALES ABKMKNNES KT LRS FONCTIONS FÙCIISIENNKS.

Dans ce dernier cas, considérons un couple de points M, et M^ sur C, situés sur une même courbe du faisceau, mais en deliors des points bases; considérons le couple correspondant M', et M., sur C. Comme on a

on pourrait croire que

et que ce couple est de raniificalion, ainsi qu'il arri\e pour les courlies pseudomultiples. Mais il n'en est rien, il y a exception dans ce cas. Nous avons, en elfel,

Le second membre peut s'annuler, soit quand le second fadeur du premier membre s'annule, soit quand le premier facteur s'annule. Ici c'est ce preuiier facteur qui s'annule, puisque M, et M„ sont sur une même courbe adjointe de degré m' — 3.

Si le polygone P' est de la deuxième sorte, le nombre Q' est plii> petit que

mais le nojniiri' des |)oints bases situés sur C est toujours le même, en tenant compte du degré de multiplicité: soil parce que C louche toutes les courbes du faisceau, >oit parce que deux points liases correspondent à un même point M' et par conséquent à un même soiiimel de I'', SI enlin P' est de la lioisième sorte, il n'y aura pas de point de ramiliealion et par consei|iieiil pas de poini base sur (). Le noinbre lolal des inteiseclions sera

se réparlissanl comme plus liant en '.(j — 2 groupes de n points.

Si, dans un cas quelconque, une courbe du faisceau devient tangente à C, c'est que deux de ces groupes se confondent, ou que deux points d'un même groujie se c(uifondent. Dans le premier cas la courbe n'est pas simpleitwtH laiiL^enle à C, mais ji fois taniiente il C. Dans le deuxième cas, le contact ne peut avoir lieu (|u'en un point base, ])uisque ce n'estque là que deux des points correspondant à M' peuvent s'éelianger; et comme alors deux des points du groupe doiveni venir se confondre au point base, comme d'ailleurs en un point

base quelconque, on aura '^ = ^ = o, ce qui veut dire que l'un des points

SUR LA RF.nlCTION DES INTK(;RAI.ES ARÉI.IENNKS lîT LE^ FONCTIONS H IIISIKNNKS. /j 1 3

du groupe ne pi'ul vciiii' en ce pniul hase sim> qu'un autre poiul du <;ioM|)e y vienne également; nous devons conclure :

('elle des courbes du faisceau qui louche Ci en un jioinl base l'y renconlre en trois points confondus.

Le cas le plus simple est le suivant :

/' = ■). y ~ ■>. Il — •>.. m = /II' = /\.

La courbe C est du f|ualriéme degré sans point double, la courije C du quatrième degré avec un puinl double; V est de la troisième sorte. Les courbes adjointes à G' sont des droites passant par le point <louble; les conrbes du faisceau (9) sont des droites passant par un point (ixe B. Ce point (ixe B nesl pas sur C puisque nous ne devons pas avoir de point base sur C. Si ('■ est multiple de C, toute droite [tassant par B coupera C en j poinlscpii correspondront à 2 points de C situés sur une même droite passtinl par le point doiibK'. Toute tangente menée à C par B sera une tangente double; il y en aura 6, correspondant aux 6 tangentes menées à C par le point double. Donc, sur 28 tangentes doubles de C, il y en a 6 qui passent par un même point.

Soit maintenant

P' est de la ]iremière sorte, Q'=2; C est du cinquième degré avec 2 points doubles, C du ([uatrième degré avec 1 point double. Les courbes du faisceau (9) sont des coniques passant par les 2 |)oints doubles et par les Q'= 2 points bases. Ces coniques coupent C en /j |)oints en dehors des points doubles et des points bases; ces 4 points corres[)ondent aux 2 intersections de C avec une droite passant par le point double de C.

Si C est multiple de C, il y a 6 de ces coniques qui sont doublement tangentes à C; celle de ces conupics qui louche C en un des points bases est osculatrice à C.

Terminons en supposant q^i. Si C est pseudo-multiple de C au lieu de systèmes de 2 points, il faudra envisager des iriplels ou systèmes de 3 points, au lii'u de 2 intégrales u et v, il eu faudra considérer 3, «, v et iv; le faisceau (9) deviendra donc un réseau

, . du . ilv ilw

( 1) l>is\ - -f- A -- -H ;j. -r— = i>.

ilx il.i: dx

Rien à changer d'ailleurs à ce qui [)recède; |)our obtenir le>> Iriplets de ramili-

4l i SUR LA RËDICTION" DES INTÉGRALES ABKLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

cation on prendra une courbe quolconquo de ce réseau et trois des points

d'intersection de cette coiirhe avec C.

Su|)|)osons maintenant que C soii multiple de C : en un point de ramilica-

lion on aura

du i/v 'fw

dx dx (tx '

c'est-à-dire que ee point sera l'un de> jjoinis bases du réseau situé sur C. Si ^I, et M2 correspondent à un même point AJ'. on aura

dii\ di'i {hv\

dii.^ i/ca f/ii'j

ce qui montre que toute courbe du réseau qui passe par M| passe aussi par M».

Si f/onc deux cnirhcs du réseau se coupent sur C e/> un jioint. elles ont n points d'intersection sur C qui correspondent à un même point M'.

Un certain nombre des théorèmes précédents sont évidemment généraux; celui d'après lequel toute courbe du réseau en dehors des points bases et des points doubles coupe C en 2n(cj — i) points qui si^ répartissent en 2 fj — 2 groupes de /; points; celui d'aprè> lequel toule courbe du réseau qui touche C en dehors de> points bases touche G en n |i(iints, etc.

Le cas le plus simple est

P' est de la troisième sorte, C a 5 points doubles; C n'en a pas. Le réseau est formé de cubiques passant par ces points doubles. Si nous envisageons toutes celles de ces cubiques fpii passent par un point R de C, elles iront toutes passer par un autre point B, de C.

X. — Étude spéciale du cas elliptique. Suj)posons (jr = I , d'où

Le cas le plus simple est [1 = 2; d'où Q'=2, N'= '), le polygone P' est un hexagone. Nous pouvons suppos(!r d'abord que les côtés opposés sont conjugués, de telli' faeim que les côtés -/(i) et "/(4); "/(s) et "/(5) : "/(S) et "/(6) soient conjugués. Les sommets se répartissent alors en deux cycles auxquels corres-

SUR LA RÉDUCTION DICS INTKCRALES AllÉLlENNES HT LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4l3

pondent les deux suhslilulions

pour employer la notation du paragraphe V .

Mais on pourrait faire d'aulres hypothèses sur la loi de conjugaison des côtés; ces hypothèses se ramènent à deux que j'écris :

Voici la signification di' cette notation; quand j'écris 13 par exemple, je veux dire que les côtés y{i) et 7(2) sont conjugués; de sorte que r!i\ [)()lhèse des côtés opposés conjugués s'écrit

Dans l'hypothèse {2) les substitutions i relatives aux deux cycles s'écrivent

et dans l'hvpolhèse (3)

.Seulement il est clair que ces deux dernières hypothèses ne sont pas distinctes de la précédente; si, en effet, les côtés de l'hexagone P' étaient conjugués d'après l'une des deux lois (2) ou ('^), on mènerait l'une des diagonales de cet hexagone qui en part igerait la surl'ace on deux parties P, et P[, ; soient C un des côtés de P' appartenant à P, et (',' s(m conjugué que je supposerai aj)partenir à P..; soient S la substituiion du groupe fuehsien qui change C en G', et P., le transformé de P', par cette substitution.

Nous pouvons rem[ilacer le polygone P' = P , + P.j par le polygone P'„ + P', ; ce nouveau polygone engendrera le même groupe fuchsijen, et nous pourrons nous arranger pour que dans ce nouveau polygone les côtés opposés soient conjugués.

Revenons aux équations (1); les deux substitutions — et i' doivent se réduire à des permutations entre deux lettres, puisque le polygone P'est de la première sorte pour employer la terminologie du paragraphe précédent. Regardons ces deux substitutions comme données et proposons-nous de déterminer les substitutions S,, S., et S;,. On trouvera successivement

c v s SI s„ S-I — v— 1 c-

S871 = S, sj' S, S71 = S, Sô' 83 Sô' 8, 87' = .S, S51 s'-i 87' s., s

i;87i = (S.,87i)-'(X'-iS7')(S.,S7').

4lG SLR LA RÉDICTION DKS INTliGRALliS ABÉLIENNES KT LES FONCTIONS l'I CHSIENNES.

La signilicalion de celte identité est que les deux subslitulions iSy' et 2'~' S, ' sont semblables et que la première est la /rans formée de la deuxième par la substitution Sa S7' .

Nous devons donc clierciier à déterminrr S^' de telle façon que les deux substilulions — S^' et i'^'S^' (on ce ([iii revient au nirme dans re cas |)arliculier i'Sy'. puisque' S' M' réduisaiil a une peiinnliilion cnlre deux lettro, on a 2'=i'~') soient semblables.

Dans ce cas Sy'i et Sj'i' sont èi;aleuient stinblaiiles, puisqu'il est clair qneiS;' et S;' i = S, ' ( iS;' )S, sont semblables.

Voyons comment on peut recunnaitre que di'u\ peruuilations enlic /> Icltro

soni semblables. Supposons (jue la subslilutiou S se réduise à x |ii'i'iiiulalions

circulain'S entre

/)!■ p-i, Px lellres.

de sorte que />i +/'j + . . . +/'ï= /(. Nous dirons alors <[ui' S iM'parlit les n lettres en a cycles comprenant respcclivenienl /i,. ji-,^ . . ., p, lettres.

La condition nécessaire et suffisante pour que deux substitutions soient semblables est alors que les nombres a, /<,, p^, . . ., p^ soient les mêmes ])our les deux substitutions et, quand cette condiiion sera remplie, il sera facile de trouvt'r la transformation qui transforme l'une de ces substitutions dans l'autre. • Cela posé, imaginons que S permute deux lettres a et b et que S7' admette oc cycles de/;,, /ji, ■ . ■ . p^ lettres. Alors de deux choses l'une :

1" Ou bien a et i appartiennent à un même cycle de Sy'- Dans ce cas S7' 1 aura les mêmes cycles que Sy' ; seulement le cycle auquel ap|)artenaient a et b se sera décomposé en deux, le premier commençant par a et le second par h. Si donc le e\cle de S,' avait p. lettres et ipie les deux lettres a et b s'y rencontrent à un intervalle de q lettres, les dcLix cycles nouveaux auront respectivement p, — 7 et q lettres.

2° Ou bien a et b appartiennent à deux cycles diflérent^; de Sj' ayant respectivement /;, et /:)., lettres; dans ce cas dans S7' i, ces deux cycles se fondront en un seul qui aura /), -\- p-, lettres.

D'où la règle suivante |)our former S |^' ; supposons que i. permute les lettres f/ et b et que 1' permute les lettres c et d\ alors S, ' de\ra satislaiie à l'une des conditions suivantes :

l" ( )u bien les quatre lettres a, b, r, d appartiendront à nn même cycle

SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGIIALES AUÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCllSIENNES. 4'7

de Sj' et y occuperonl les rangs

H,„ K,„ ]{,, H,,, de telle façon que

c'est-à-dire que les deux distances ab et ccl soient les mêmes.

2" Ou bien que ces deux couples de lettres ab et cd soient dans deux cycles différents, que ces deux cycles aient le même nombre de lettres, et que les distances ab et cd soient les mêmes.

3" Ou bien que les quatre lettres a, 6, c, d appartiennent à quatre cycles Ca, Ci, C,., Crf ayant respectivement N^, iNj, Ne, N,; lettres et de telle façon que

C« 5 Ci, C, > Cj,

(ouN„==Nrf, Ni=N,).

On voit de combien de manières on peut déterminer S, cl ce qu'il y reste d'arbitraires.

Une fois S, déterminée, nous connaîtrons les deux substitutions semblables iSy', i'Sy' et il nous sera facile de déterminer la substitution S2S7' qui les transforme l'une dans l'autre. Nous aurons donc So et nous en déduirons immédiatement S3.

Le problème comporte donc en général un grand nombre de solutions. Lorsqu'on en connaîtra une, voyons comment nous pourrons consti'uire le polygone P. Parlons de l'iiexagone P'. Le polygone P sera formé d(^ n hexagones P'(i), P'(2), ..., i''(«), congruents à P'. Représentons symboliquement ces II hexagones par n points A,, A2, . . ., A„. Supposons que la substitution S, change A^ en Ap, nous joindrons les deux points A^ et Ap par un trait continu; ces traits continus seront ce que j'appellerai les lignes L,. Nous définirons de même les lignes Lo et les lignes L3, à l'aide des substitutions S-.> et S3. Une condition à remplir, c'est qu'en suivant les lignes L,, Lo et Lj, on puisse passer d'un quelconque des points A à un autre, c'est-à-dire que le groupe dérivé de S|, So, Sj, que j'appellerai le groupe (S, , Si, S3), soil transitif.

Si cette condition est remplie, on pourra en général aller d'un des points A à un autre par plusieurs chemins différents. Pratiquons alors des coupures dans quelques-unes des lignes L,, L^, L3 jusquà ce quon ne puisse plus aller d'un point A à un autre que d'une seule manière sans revenir sur ses pas. Nous disposerons alors les hexagones P'(x) de la façon suivante : supposons que A^ H. P. — III. 53

4l8 SIR LA HÉDIT.TION DES INTÉGRALES ABKLIEN.NES ET LES FONCTIONS FIXHSIENNES.

et A^ soient reliés par une ligne L, non affectée de coupure; alors les deux hexagones P'(«) etP'(P) seront conligus de tellf.i façon que le (î + S)'*""" côté de P'(a) coïncide avec le f'*"'° côté de P'((3). Si la ligne L, est affectée d'une coupure, ces deux hexagones n^ seront plus contigus, mais le {i + ^y>^""- côté de P'(3f) et le /'""""côté de P (P) seront deux côtés conjugués du périmètre de P. Il est possible de choisir S| de pluùeurs manières, de façon à satisfaire aux équations (i) et de telle sorte que le groupe (S,. Sj, Sj) soit transitif. Mais il est aisé de comprendre que toutes ces manières ne sont pas essentiellement distinctes. iNous supposons en effet /)= 2 et nous nous donnons l'entier n de telle façon que le tableau des périodes réduites s'écrive

11 dépend donc de deux constantes a et b qui sont :irl)itraires. Ces deux constantes définissent la courjje C qui varie d'une manière continue, quand les constantes varient elles-mêmes d'une manière continue. Les courbes C réductibles forment donc une seule série analytii/uc.

Si nous nous donnons les substitutions S,, S2, S3 et le polygone P', nous pourrons construire le polygone P. Ce dernier polygone et par conséquent la courbe G \ arient alors d une façon continue quand les éléments de P' varient d'une façon continue. Les courbes C ainsi obtenues forment donc une série analytique.

Partons maintenant d'autres sul)stilulions S,, S.,, S, : nous obtiendrons encore une séiie analytique de courbes C; mais celte série sera identique à la l)remière puisqu'il n'y en a qu'une.

On doit donc pouvoir |)asser des substitutions S,, Sj, S3 aux substitutions S|, S„, S. en transformant l'hexagone P' comme nous l'avons expliqué au début de ce paragraphe; c'est-à-dire en le coupant par une diagonale qui le divise en deux polygones P', et P!, et remplaçant P'= P', + P„ par P., -f- P.,, P, étant l'un des transformés de P,. H s'agit de voir ce (jue deviennent dans ces conditions les substitutions S|, S2, S3, mais pour cela je préfère traiter le problème d'une façon un peu plus générale. Su[)pos()ns que P' soit un polygone de 2N' côtés, N' étant quelconque; supposons que ^(s!) et yi^) soient conjugués, et soit S« la substitution correspondante. Soient "/(a), '/{h) deux côtés conjugués appartenant l'un à l'|, l'autre à P.,, et soit S„ la substitution correspondante. Suppo-

StR LA niiDUCTlON DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. llQ

sons que P^ soil le transformé de P, pur la transformation T„ du groupe fuchsien qui change "/(") en y{l>)-

Soient S^, les diverses substitutions relatives au nouveau polygone; SJ^ se rapportera à /(a), si ce côté appartient à P., et par conséquent fait partie du périmètre de P., + P'., ; S» se rapportera au transformé de y{<x) par T„, si y (a) appartient à P', et que son transformé appartenant à P, fasse partie du périmètre de P„ + P',. Dans ces conditions, ni y(a), ni son transformé y{b), ne font partie du périmètre de P!, -f- P., ; nous aurons en revanche dans le nouveau |)oljgone deux nouveaux côtés qui seront la diagonale menée dans 1", et sa transformée par T„. Ce sera, par définition, à cette paire de côtés (|ue se r-aj)porlera la substitution Sj,.

Cela posé, on aura

et quand aux autres siil)stitutions Sjj, on aura

Sa = Sa si 71, 3t) et 7(,3j apparliennenl tous deux à Pj,

S'j, = S„ S^S;^' si y(<x) el "(Ji) appartiennent tous deux à Pi,

S'jj= SotS;^' si ^((01) apparlienl à V, et '({[j) à P.,,

S^= S,( Sa si y{oi.) appaiiient à \'. et 7([j) à Pi.

Si nous supposons en particulier que P' soit un hexagone à côtés' opposés conjugués, que la diagonale joigne deux sommets opposés et que les côtés y(a), y(0) soient adjacents à celte diagonale, on aura

(5 bis) S'i = S,, S'. = Si s.,, S'., = S, S;,.

Nous devons donc prévoir que si les équations (i) admettent deux solutions et que pour ces deux solutions le groupe (S,, S2, Sj) soil transitif, on peut passer de l'une de ces solutions à l'autre par une série de transformations de la forme (5 bis) ou (5). Il serait intéressant de retrouver ce résultat par une vérification directe.

Supposons maintenant p = ^; le polygone P' sera un décagone. Soit par

exemple

v.i. 38, 41,1, ;),io, ^\■y

la loi de conjugaison des côtés. On aura pour les substitutions 2

^6) S.= S„ Z,= Si', 1, -;-,' >.,>,',

Des équations (6) on déduit

iS ii-i O., .^ ; .^ , . — 3 .«1 ^3 ;>., 35.

420 SUR LA RÉDLCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FfCHSlENNES.

Ces équations sont de même forme que les équations ( i ), on en déduirait donc que

sont deux substitutions semblables. 11 serait possible d'en déduire Sj et ensuite les autres substitutions. Mais je ne ferai pas le calcul jusqu'au bout.

Ici encore, et pour la même raison, les courbes C réductibles ne forment qu'une seule série analytique et par conséquent si les équations ((3) admettent deux solutions (conduisant à un groupe transitif), on peut passer d'une solution à l'autre par une série de transformations de la forme (5).

Soit enfin /> = \; notre polygone P' aura i4 cotés. Nous ne pouvons plus

démontrer de la même manière que les courbes^ C réductibles ne forment

qu'une seule série analytique. Si, en effet, nous formons le tableau des périodes

réductibles

■jLir.o G o n — - o o

o o ■> ( n o o b de

les sept constantes A, i-/, b, c, d, e, f ne sont plus arbitraires. Il faut leur imposer une relation, si nous voulons que les fonctions abéliennes engendrées soient spéciales et que la courbe C existe. Cette relation représente une surface de res|)ace à sept dimensions, si nous regardons nos sept constantes comme les coordonnées d'un point dans cet espace; et nous ne snvons ]>us si celle sui face n'est pas (/èconipiisahle.

Il serait d'autant plus intéressant de vérifier si, lorsque les équations analogues à (i) et à (6) admettent deux solutions (conduisant toutes deux à un groupe transitif), on peut toujours passer d'une de ces solutions à l'autre par une série de transformations de la formé (5).