XI. — Cas de dégénérescence

Comme nous savons que, tout au moins si p = 2 ou .'), les courbes C ne forment qu'une série analytique, nous devons prévoir que les polygones P' de la deuxième sorte ne seront que des dégénérescences de ceux de la première sorte, i'our nous en rendre compte, voyons ce qui arrive lorsqu'un polygone P dégénère de telle sorte que deux de ses côtés conjugués se réduisent à zéro.

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Soient ■/(«) et "/(p) les deux côtés conjugués qui se réduisent à zéro; soient ff(a), u{y. — i), ^dS), (7(j3 — i) leurs sommets; de telle sorte que o'(a) et (t(j3 — i) d'une pari, ^(a — i)et!7(|3) d'autre part, appartiennent à un même cycle. Deux cas sont à distinguer suivant que les quatre sommets appartiennent ou non à un même cycle. Si ces quatre sommets n'appartiennent pas à un même cycle, le genre q du polygone P' ne change pas par suite de la dégénérescence; dans le cas contraire, ce genre diminue d'une unité.

Plaçons-nous dans le premiei cas, qui est le plus intéressant; avec la dégénérescence les sommets qui nous intéressent font partie de deux cycles différents R et K'; le premier de ces cycles commencerait par exemple par le sommet ff(p) et se terminerait par le sommet <j{a — i), d'où l'on reviendrait au sommet ct(j3). La substitution i correspondante s'écrirait

Les substitutions S)., etc. correspondante divers côtés de P' et la dernière S,. au côté y(a ). Le cycle K' commencerait par o-((3 — i) suivi dea(a) et des autres sommets du cycle; à ce cycle correspondrait la substitution

s'= Sa S.,... Se.

la première des substitutions S du second membre étant 5^= Sa' et correspondant au coté y(p ).

Après la dégénérescence, les deux cycles se confondent en un seul où l'on rencontre successivement c-( (5 — i ) = ct( p ), puis les divers sommets du cvcle K, et enfin

puis les sommets consécutifs du cycle K'. La substitution correspondante est

-1= SxS^.. .SctSv. ..Srj= S>, S,;... .ScjSaSpS.,. . .So= 22'.

Je dis que le genre p ne pourra pas augmenter par la dégénérescence. Nous avons en effet, comme au paragraphe \ lil,

Il s'agit donc de montrer que — ((' — i)X, ne peut pas augmenter [lar la dégénérescence, c'est-à-dire que cette somme i(/ — i)>.,, étendue aux divers cycles de lettres de 2,, ne peut être plus grande que la même somme étendue aux cycles de lettres de — et de — '. A chacune de nos n lettres faisons correspondre un symbole de [3,; égalons ceux de ces symboles qui correspondent à un même

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cycle de lettres de la substitution 1 par exemple; soit h le nombre des équations symboliques distinctes ainsi obtenues; ce nombre li ne sera autre chose que la somme i(i — tp-i étendue aux divers cycles de lettres de 1; puisque si l'un de ces cycles est formé de / lettre*, cela nous fera ( / — i) équations et, s'il y a li cycles de i lettres, cela fera en tout i(« — i)À, équations. Soient /(' et /(, les nombres analogues relatifs à 1' et à i,; je me propose de montrer que

Les équations symboliques relatives à 1, sont des conséquences de celles qui sont relatives à - et à i'; si en effet 1 change « en b, et que 1' change b en c, 1, changera a enc; cela nous donnera l'équalion symbolique [3a = ;3(. engendrée par 2|, laquelle sera une conséquence de l'équation ^a^= Pb engendrée par i, et de 3i=: pc engendrée par i'. Cela me permet d'écrire l'inégalité précédente; je ne mets pas simplement le signe d'égalité, pour deux raisons : i" d'abord parce que, si les équations dues à i, sont toutes des conséquences de celles qui sont dues à i et à i', il ne s'ensuit pas que toutes ces conséquences soient ellesmêmes des équations dues à i, ; a" parce qu'il peut se faire que les équations dues à 2 ne soient pas toutes distinctes des équations dues à 1' .

Le cas le plus simple, eslcelui où i se réduit à une permutation entre deux lettres et où il en est de même de 1' . En d'auires termes II et i' contiendront chacune un cycle de deux lettres, tous les autres cycles n'ayant qu'une lettre. Alors deux cas peuvent se présenter : i" ces deux cycles de deux lettres ont une lettre commune; :>" ils n'ont pas de lettre commune. Dans le premier cas i, aura un cycle de trois lettres, et dans le second cas deux cycles de deux lettres.

Considérons les courbes C et C correspondant au cas de dégénérescence et formons le polygone P', en nous astreignant, comme nous l'avons fait, à choisir ce polygone de In fnran lit /ilas siiuplc /inssibb' : ce sera un polygone de la deuxième sorte, et l'on aura

Q'= o.ryj — i) — 2/i (y —') — ••

Deux des ocles de sommets qui existent dans le cas général se sernut confondus en un seul. Soient : P' le polygone dans le cas général; P„ ce que devient ce polygone par la dégénérescence; P, le polygone le /'lus sii)i/>li' qui peut engendrer les courbes C et C dans le cas de la dégénérescence. P' possédera deux cycles K et R' correspondant à i et i'; sur P„. de même que sur P, , ces deux cycles sont confondus en un seul K, qui correspond ai,. La somme des angles de K est égale à r. de même que celle des angles de K'; quant à la

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somme des angles de R,, elle est égale à zéro sur P„, tandis que sui- P, , elle est égale à ^ si i| a un cycle de trois lettres, el à tt si i, a deux cycles de deux

lettres.

Soit par exemple q ^= \ , /* =: 2 ; le polygone P' est un hexagone à cùlés opposés conjugués, la somme des angles est au; dans les cas de dégénérescence, ce polygone se réduit à la limite à un quadrilatère à côtés opposés conjugués, et dont la somme des angles est zéro. Mais le quadrilatère P,, ainsi obtenu n'est |)as le plus simple qui puisse engendrer les courbes C et C; ce quadrilatère le plus simple P, est encore à côtés opposés conjugués, mais la somme des angles

est -^ ou TT.

On voit ainsi que si les courbes G forment une série analytique continue, il n'en est pas de même des polygones P' les plus simples susceptibles de les engendrer. Si l'on considère une série continue de courbes C, et la série des polygones P' les plus simples correspondants, cette série présentera une discontinuité au moment de la dégénérescence.