XII. — Polygones doublement réductibles

Soient q =z i . p ^ 2; nous avons une courbe C de genre a qui est multiple d'une courbe C de genre i, mais si la courbe C admet une intégrale abélienne réductible aux intégrales elliptiques, elle en admet une seconde, c'est-à-dire qu'il y a une seconde courbe C" de genre 1 dont C est multiple. Existe-t-il un système de fonctions fuchsiennes engendrant à la fois les trois courbes? Soit (i un groupe fuclisieu de genre a, et engendrant la couibe C, c'est-à-dire tel. qu'entre deux des fonctions fuchsiennes attachées à ce groupe, il y ait [irécisément la relation algébrique représentée par la couibe C. Peul-ou choisir ce groupe G, de telle sorte qu'il soit contenu dans un autre groupe fuchsien G' de genre i , et engendrant la courbe C', et qu'il soit en même temps contenu dans un troisième groupe fuchsien G" de genre i et engendrant la courbe G"? Alors le groupe G peut être regardé comme engendré par un polygone P décomposable en /i polygones congruents entre eux et congruents au polygone P' qui engendre la courbe G'. En même temps le groupe G peut être regardé comme engendré par un polygone P, équivalent à P; par ce mot équivalent, je veux dire que P el [', peuvent être décomposés en un même nombre de parties et de telle façon que chacune des parties de Pi ne soit autre chose que la transformée de la partie correspondante de P par une des substitutions de G. D'autre part, Pi

424 SUR L4 RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABKLIENXES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

pourra êlre décomposé en « polygones congruents entre eux et congruents au polygone P qui engendre la courbe C".

Nous allons voir bientôt que cela n'est pas toujours possible. Reprenons les trois surfaces de Riemann C, C, C : à un point de la deuxième correspondent n points de la première et de même à un point de la troisième correspondent /( points de la première. Soient : M' un point de C; IM|, Mj, . . . , M„ les points correspondants de C. Si deux de ces points M, se confondent, le point M'est un point de ramification de C et Ton définirait de même ceux de C . Soient A,, A'.,, . . ., A^, ceux de C; et soient B',', B^, . . ., B'^, ceux de C". Aux points A',, A'.,, . . . , A^ correspondront l'un des cycles de sommels de P'; mais ce n'est pas tout. Considérons B" ; à ce point correspondront sur C, n points B, , , B^, . . . , B|„ dont deux au moins sont confondus. Soit B,, un de ces n points qui riese confond avec aucun autre (s'il en existe, ce qui arrivera en général); à ce point correspondra sur C un point B',, qui devra encore correspondre à un cycle de sommets de P'. A ce point B',, correspondront sur C, /(points parmi lesquels B,,; soitD, un autre de ces points auquel correspondra sur iV un point D'J ; à D" correspondront sur G, n points dontle point D| ; soilE, un autre de ces points; soit E'i le point correspondant de C; je dis qu'à E', correspondra encore un cycle de sommets de P' et ainsi de suite; on poursuivrait ainsi indéliniuKînt.

Voici comment on verrait par exemple que B',, correspond à un cycle de sommets de P'. Soient z la variable qui figure dans nos fonctions fuchsiennes; M, M', M" les points correspondants sur C, C, C", de telle sorte que les coordonnées de ces trois points soient des fonctions fuchsiennes de ;. Supposons que ; tourne autour d'un certain point So, en même temps que M, M' et M" tournent respectivement autour de B,,, B',, et B','. Supposons que quand z fait a tours, M, M' et M" en fassent respectivement [î, y. o. Comme B'J correspond à un cycle de sommets de P', on devra avoir en ce |)oint

D'autre part, comme B,, ne se confond avec aucun autre |ioint B|/, et qu'en ce point, |)ar conséquent, M est fonction uniforme de M', on aui

'dM<°-

Comme M' est fonction unifornie de M, on aura

dS\ ^

ira

SUR L\ RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES. 4^5

De ces relations

(AVI rf.M'

dM" dz

on déduira

dM' 'dJ

ce qui veut dire que s„ est aussi un sommet, du polygone P'.

En général on serait conduit à attribuer à P' une infinité de cycles de sommets, ce qui veut dire que le problème que nous nous étions proposé est impossible.

Cette impossibilité n'a pas lieu dans le cas de /i ^ 2 ; en effet nous n'avons

que deux points B,, et B,2 qui doivent se confondre, et il n'existi; pas de point B,,: ne se confondant avec aucun autre; ce que nous venons de dire ne s'applique donc pas.

426 SUR LA RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES.

Reporlons-nous à la figure, sur laquelle je vais d'abord donner quelques explications. Les proportions et les courbures n'y sont pas observées, jnènic nixissièrement. On ne doit s'attacher qu'aux positions relatives des lignes et des points au point de vue de Y A nalysis sitiis. Toutes les lignes, droites ou courbes, qui y sont tracées représentent des droites nuit euclidiennes, c'est-àdire des arcs de circonférences orthogonales au cercle fondamental. (^)uand je parlerai de ligne droite, d'égalité ou de symétrie, j'entendrai toujours ces mots (III sens non euclidien.

Le polygone P est décomposé en deux liexagones P' et P, ; les contours de ces deux hexagones sont figurés en trait plein, leurs sommets sont désignés par la lettre A. Le polygone P,, équivalent à P, est décomposé en deux hexagones P" et P, ; les contours sont représentés en trait mixte , leurs

sommets sont désignés par la lettre ('..

Quand un hexagone a ses côtés opposés égaux et que la somme des angles de rang pair est égale à la somme des angles de rang impair (ce qui arrive ici où les côtés opposés sont conjugués et où ces deux sommes d'angles sont égales à 7;) cet liexagone possède un centre de symétrie. Ici le polygone P', formé de> quadrilatères 1, 11', 4\ ■]', 5', 9', et le polygone P, , formé des quadrilatères a, lo', 3'. 8', 6', 1:'.', admettent pour centres de symétrie deux sommets C du polygone I'"; le polygone P formé des quadrilatères 1, '., 3, 4, 5, 'i, a pour centre de s^^métrie un sommet A commun à P', et à P, ; le polygone P'[, formé des quadrilatères -, S, 9, m, II, i>., possède un centre de s\métiie (|ue j'appelle

encore A.

Les points B et L) sont les milieux des cotés de P', P, , P , P,. Noire ligure se trouve décomposée en '>.■>. quadrilatères numérotés de 1 à 1 -^ el de 3' à i>- . (>es quadrilatères présentent les symétries suivantes :

y ^uiii s> métriques |)LU- i"i|i|i(irl à C 1 (soiiiiiiel 1) du Liuadrilalère 11

C> A I Dj I ) i A 7 ). L) I

ti',

II'

fJ:

Kl ;

SUR LA RÉDUCTION DES INTRCRALES ABÉLIENNES ET LES FONCTIONS FUCHSIENNES. 4^7

D'où les égalités suivantes :