I ■., = II = II
Ces égalités ont lieu de telle sorte que les sommets A, B. (1, D de deux quadrilatères égaux se correspondent. On aura d'autre part
mais de telle sorte que les sommets ABGD d'un des quadrilatères corresjjondent aux sommets ADCB de l'autre. Il en résulte que dans le tableau des égalités (A), les sept quadrilatères de la première ligne sont égaux entre eux, de même que les huit de la deuxième ou les sept de la troisième.
Les quadrilatères 4 et 4', 5 et 5', etc. sont transformés l'un de l'autre par une substitution du groupe G, et c'est pour cela que les deux polygones
P = P', -H P', i', = r"; -+- P" sont équivalents.
11 est clair que la surface du cercle fondamental peut être décomposée en quadrilatères tous égaux à l'un des trois quadrilatères i , 2 ou 3, de telle façon que tout sommet de l'un des quadrilatères soit un centre de sjmétrie de la figure. On peut les assembler 6 à 6 de façon à réaliser la décomposition du cercle fomlamental en polygones congruents à i^'; on peut les assembler d'une seconde manière (i à 6 de façon à réaliser la décomposition du cercle fondamental en polygones congruents à P".
Considérons la courbe C: les sommets A de rang pair de l'hexagone 1*' correspondront à un poini M, de cette courbe, les sommets A de rang impair à un autre point M„ de cette coarl)e. Soient ii, et ii^ les arguments elliptiques de ces deux poinis. Le point C, centre de symétrie de P', correspondra sur C à un
point Ma d'argument elliptique —^-^ -^ tandis que les arguments elliptiques des
milieux B et D des côtés seront encore — à une demi-période près. L'argument elliptique de tous les points C sera le iiirnie.
Considérons maintenant les arguments elliptiques sur la courbe C"; nous trouverons encore que ceux de tous les points A sont les mêmes; que ceux des sommets C de rang pair de P" sont les mêmes; que ceux des sommets C de rang impair sont les mêmes; que celui d'un point A est moyenne arithmétique entre celui d'un sommet C de rang pair et celui d'un sommet C de rang impair.
428 SUR LA nÉniCTION DES INTÉGRALES ABELIENNES ET LES FONCTIONS FUCIISIENNES.
Nous remarquerons que l'hexagone P' est quelconque, de telle sorte que le résultat est général et nous l'énoncerons sous la forme suivante :
Supposons que la courbe C de genre i soit multiple de la courbe C de genre i, de telle façon qu'à chaque point de C corresponde un point de C et à chaque point de C, deux points de C : il existera une autre courbe C" de genre i. telle quà chaque point deC corresponde un point de C" et à chaque jioint de C" deux points de C.
// y aura sur C deux jwints M\ et M,, à chacun desquels correspondront sur C deux points confondus en M, pour le premier, en M-^pour le second; soient M] et M", les points de C" qui correspondent à M, et Mj.
Il y aura de même sur C" deux points INj et N~ à chacun desquels correspondront sur C deux points confondus en N, pour le premier, en Nj pour le second; soient N'| et j\