LA THEORIE DES FONCTIONS FUCIISIENNES

Seclis Vortràge iiber ausgea'àhUe Gegeimtànde aus der reinen Mathematik und Malhematisrhen Physik, gehiiUen zii Giitlingen vom 23-2S Api'il 1909, Leipzig und Berlin, 1910 ( Vierler-Vortrag ).

Messieurs, j'ai l'inlenlion de vous parler aujourd'hui de la réduction des intégrales abéliennes en tant qu'elle est liée à la tliéorie des fonctions auloniorphes et, en particulier, des fonctions fuchsiennes.

Un système de fonctions abéliennes de p variables et 2/1 périodes est dit réductible c^ustad il se laisse rauieuer à un système de q variables et 2/jr périodes avec q <^p. Il est tout d'abord ici important de distinguer deux cas :

Dans le premier cas^ le système S de fonctions abéliennes de p variables peut être engendré par une courbe algébrique de genre p; de même, le système S' à ^ variables a pour origine un domaine algébrique de genre q.

On sait bien que ce premier cas n'est pas le cas général, car la courbe C ne dépend que de ip — 3 constantes essentielles, alors que les fonctions abéliennes de/? variables renfei ment ^--^^- ^ paramètres. C'est ce qui nous amène

à distinguer le deuxième ras, celui où l'un au moins des systèmes S, S' ne provient pas d'un domaine algébrique.

Dans la conférence d'aujourd'hui, je me restreindrai exclusivement au premier cas. Mais là encore, il me faut distinguer deux cas. Nous basons notre élude sur la considération des deux courbes algébriques C et C ; dans le cas de la réductibilité, il existe entre elles une correspondance algébrique. C'est cette correspondance qui va décider de la nouvelle distinction.

43o SIR l,A RÉDUCTION DES INTÉGRALES ABÉLIENNES, ETC.

Dans le premier cas, en vertu de la correspondance, à chaque point M de C est associé un point M' de C et un seul, pendant qu'à tout point de C correspondent n points de C. Je nomme /i le nonihrr caractéristique de la correspondance et dis que C est une courbe iiiiiltiple de C.

Ce premier cas n'est pas le plus général, qui est en fait le deuxième, lia correspondance n'a plus lieu entre deux points M et M, mais entre deux groupes de points Mi, ..., M,, de C avec les coordonnées ^,, )•,, ..., x.,, y\, et M'i . . . . , M.', de C avec les coordonnées x\ , y\ , . . . , .t\, , y',, .

A chaque groupe de G, correspond lui et un seul groupe île C pendant (ju'iin ersemcnt î> un groupe de G' sont associés, en général, plusieurs groupes de G. Je dis alors que G est une courbe /iseuclo-multiple de C

Dans le premier cas, .r' et j' sont des fonctions r,ilionnelles de .r et )', alors que, dans le deuxième, on peut seulement afiirmer que toute fonction symétrique des couples {x\, yi,, . . . , x'.,,y'.,) est une fonction rationnelle de {x,. }•(, . . . , x~,, )v). 11 e>t facile de voir que chacjue courbe C qui est multiple de G' est aussi courbe pseudo-multiple de G'. Mais, inversement, j'ai pu former plusieurs exemples montrant que toute courbe pseudo-mulliple de G' n est pas multiple de G'.

Je ne veux pas ici insister sur ce point, d'autant plus que les considéralious qui suivent s'appliquent expressément au premier cas.

Dans le eis de la réductibilité de nos intégrales, il est possible d'amener le tableau de leurs périodes à une certaine /o/7«e nnrmale. Les deux exemples suivants donneront une idée de cette forme.

i" q^=i,p = '.i. Le tableau des périodes peut être réduit à la forme suivante :

o •?. f z 1 » — r a If y:

t) o ■.» îr. o b c

2° (7 = 2, /( = '\. Les j)ériodes nr)rmalisées sont ici :

IIT. () <> <» tt If O

() () '*iT^ O O — r- a o

SUR LA RÉnUCTION IIES INTÉGRALES AHÉLIENNES, ETC. ffil

Les nombres « et |3 représentent dans les deux tableaux des nombre» entiers.

Je définis maintenant un deuxième nombre caractéristique z. Il désigne l'ordre de la fonction thêta do q variables en laquelle, dans le cas de la réduclibilité, est Iransfoniiée une fonction ihêladu premier ordre de /) variables.

Dans le premier exemple, ou a / = a, et dans le d('uxième / = x^. Les deux nombres caractéristiques n cl ■/. sont toujours égaux. J'ai trouvé deux démonstrations de celle proposition que j'exposerai maintenant dans leurs traits essentiels.

Première démonstration. — Soient M et M' deux intégrales abélionnes de première, seconde ou troisième espèce de la courbe C. J'imagine la surface de Riemann correspondante découpée d'une manière canonique par 2p rétrosections issues d'un point et ne partageant pas la surface. Les intégrales M et M' possèdent alors les périodes suivantes :

(i^i'j ri, i'2> ••■' r^-p-

il me faut maintenant définir une forme bilinéaire caractéristique fondamentale, .le pose donc

F(.r,y)= Aln'.M'. i

où linlégrale est prise le long du contour total de la coupure. Si les ,c et les y sont des périodes normales, F(x,y) prendra la forme

Si je suppose que M soit l'une des intégrales réductible, ses 2/> périodes pourront s'exprimer sous forme linéaire à coefficients entiers avec seulement 'iq périodes (0|, . . ., 'j.iy. J'ai donc alors

où les my,j sont des nombres e'ntiers.

Si M et M' sont maintenant des intégrales de première espèce, on sait

(pi "on a

En remplaçant dans cette équation les x par leur expression eu co, on obtient