PREMIÈRE PARTIE. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. XXIII

coi-ps, qu'est-ce que la question de l'invariabilité des éléments des planètes, sinon une véritable question de géométrie qualitative, puisque faire voir que le grand axe n'a pas de variations séculaires, c'est montrer qu'il oscille constamment entre certaines limites.

Tel est le vaste champ de découvertes qui s'ouvre devant les géomètres. Je n'ai pas eu la prétention de le parcourir tout entier, mais j'ai voulu du moins en franchir les frontières, et je me suis restreint à un cas très particulier, celui qui se présente d'abord tout naturellement, c'est-à-dire à l'étude des équations différentielles du premier ordre et du premier degré. »

Je commençai donc mes recherches (3, 74) par l'étude des courbes définies par les équations différentielles de la forme

dx dv

'" ir = T'

où X et Y sont des polynômes entiers en x et y, et je reconnus d'abord que ces courbes pouvaient présenter la forme de courbes fermées ou celle de spirales. Je démontrai également le théorème suivant :

Si une courbe définie par une équation de la forme (i) na pas de point d'arrêt et ne coupe aucune courbe algébrique quen un nombre fini de points réels, elle est une courbe fermée.

Pour pousser plus loin l'étude de la forme de ces courbes, j'ai dû commencer pai- rechercher ce qui se passe dans le voisinage d'un point singulier quelconque. En réalité, le problème était résolu par les travaux antérieurs de MM. Briot et Bouquet et par les miens {Journal de V École Polytechnique, XLV^ Cahier, et Thèse inaugurale), mais j'avais à approprier la solution à mon nouveau but; dans les Mémoires que je viens de citer, et où je me plaçais au point de vue de la théorie des fonctions, j'attachais une égale importance au réel et à l'imaginaire. Pour mon but nouveau de géométrie qualitative, le réel seul m'intéressait et je devais faire une discussion spéciale qui me conduisit à distinguer quatre sortes de points singuliers (sans parler de points singuliers plus comphqués qui ne se présentent que dans certains cas particuliers et qui peuvent être regardés comme composés de plusieurs points singuliers simples confondus).

J'ai donné à ces quatre sortes les noms suivants

\XI\ V\Al.Y?r IIFS TIIWAIX Sc:l|-\TU-IOl RS DE lll'Nni l'OINCAnf; F^ITK l'AH II l-ME.MK.

1° Les cois, par lesquels passent deux courbes définies par l'équation el deux seulement;

a° Les nœiulx. <n\ viennent se croiser une infinité de courbes définies par l'équation;

3° Les foyers, autour desquels ces courbes tournent en s'en rapprochant sans cesse à la façon d'une spirale logarithmique;

4° Les centres, autour desquels ces courbes se présentent sous la forme de cycles fermés s'enveloppant uiulucllemenl et enveloppant le centre. (On ne rencontre les centres que dans des cas très exceptionnels.)

.J'ai étudié ensuite la distribution de ces divers points singuliers dans le [ilan. J'ai montré ainsi qu'il y en avait toujours (à distance finie ou infinie) et qu'il y avait une relation simple entre les nombres des cols, des foyers el des centres et que, sur la courbe X = o, les cols et les nœuds ou foyers se succédaient alternativement.

Ces problèmes résolus, je me suis occupé des contacts que peut avoir une courbe algébrique donnée avec les courbes définies par l'équation (i) et j'ai vu que, dans un très grand nombre de cas, il existe des branches de courbes fermées qui ne touchent en aucun point aucune des courbes qui satisfont à notre équation différentielle. Je les ai appelées cycles sans contact (75).

Il est facile de comprendre l'importance de la détermination des cycles sans contact; on voit aisément, en effet, qu'une courbe définie par l'équation (i) ne peut rencontrer un pareil cycle en plus d'un point. Si donc on imagine un point mobile décrivant notre courbe, dès qu'il sera sorti d'un cycle sans contact, il n'y pourra plus rentrer. En d'autres termes, si ce point a occupé une fois une position donnée, il ne pourra plus jamais y revenir, ni même revenir dans le voisinage immédiat de cette position. Les coordonnées du point n'oscilleront pas entre certaines limites et ne pourront être représentées par des séries trigonométriques, de sorte que, si l'on voulait appliquer à la trajectoire de ce point mobile le même langage qu'emploient les astronomes pour les orbites des planètes, il faudrait dire que l'orbite de ce point est instable.

Outre les cycles sans contact, il y a un autre genre de courbes fermées qui jouent un rôle capital dans cette théorie : ce sont les cycles limites. J'appelle ainsi les courbes fermées qui satisfont à notre équation différentielle et dont les autres courbes définies par la même équation se rapprochent asymptotiquement sans jamais les atteindre. Cette seconde notion n'est pas moins Importante que