I-^nvisageons, en particulier, l'équation

d^x OÙ les C3 sont des sérif's liiii(>mnin!ri(nn;.s oimIouih-cs suivant it's sinus et <:osinus

des multiples de l (nous ne supposons, pour le moment, qu'un seul argument), et qui a été étudiée par MM. Gjldén, Lindstedt et Callandreau. Nous pouvons écrire celte équation sous la forme

qui est précisément la forme que nous éludions. On voit aisément que

et par conséquent que tous les C„ sont nuls.

Il résulte de làaue, si l'on cherche à iniégrer l'équation

.,. rfF ^. ^F d^ dx dy dt

par aj)proximations successives, en négligeant d'abord les puissances troisièmes de X et de j', puis les puissances quatrièmes, et ainsi de suite, il ne s'introduira jamais de terme séculaire. C'est là l'explication du succès de la méthode de M. Lindstedt; nous sommes maintenant en mesure de démontrer que cette méthode doit toujours réussir; M. Lindstedt n'avait pu établir celte proposition qu'en imposanl des restrictions inutiles dont nous pouvons désormais nous affranchir.

Si tous les Cq sont nuls, il existe une série

ordonnée suivant les puissances croissantes de x et Aq y et suivant les sinus et cosinus des multiples de /. et satisfaisant formellenient à l'équation

., rfF ,,. rfF dV

a.v dy dt

Si donc cette série est convergente, il existera une série de surfaces F = K qui seront des surfaces fermées de genre i, et sur lesquelles seront tracées les trajectoires.

Jusqu'ici, l'analogie avait été parfaite avec l'analyse du Chapitre XI, mais elle va maintenant cesser. Dans le Chapitre XI, la série F était toujours convergente; il n'en sera plus de nièuieici; cela tient à ce que l'intégrale de l'équation

(6 bis) -1 — )/ -^ = (!/ = SAcos(/M< -i-«to-i-0)

dt diM

■>H> SIR LKS COI unies DKFINIES par les liQlATIONS DIFKKIlKNTlial.ES.

s"t'« rit

■^ A siii(H!; -1- no) -\- 6)

■^^Z jt-^th:' '

et que le diviseur /// — u'k' peul être très petit.

11 en résulte qu'il n'arrivera pas toujours que les trajectoires soient tracées sur une série de surfaces F = K. Pour mieux nous en rendre compte, nous allons prendre un exemple particulier.

Nous allons faire usage d'un système particulier de coordonnées. Posons, en

effet,

.r = rcosto, j' = /sinio.

Posons ensuite

, (r— 1)^-1^ z'- : z c = lo" , o = aictang ai'C tang •

A chaque système de valeurs de o, co et o correspondra un point M de l'espace, et un seul; ce point restera le même quand w ou a> croîtra de 2~.

Les surfaces p = const. sont des tores qui s'enveloppent mutuellement.

La surface p = — œ se réduit au cercle /' = i , ; = o ; et si o = — -ce, la position du point M est indépendante de es.

La surface p=-|-oo se réduit à l'axe des ;, et si p=-|-cio, la position du point M est indépendante de w.

Les surfaces w = const. sont des plans passant par Taxe des ;. Les surfaces o = const. sont des sphères ayant leurs centres sur l'axe des :;.

Cela posé, envisageons les équations diflérentielles

-^=ï, 777 = P' -^ = SA,„„cos(mw + «o + fJ,„„)= 0.

Je supposerai que la série (■) est uniformément et absolument convergente pour toutes les valeurs de to et de cp. D'ailleurs, m et n peuvent prendre toutes les valeurs entières positives et négatives.

L'intégrale générale de ces équations est

DJ = 'J.t + tOo, O = 3/ -+- 'fo,

P = ?o+ > — "'" [sin (;»(.) -t- ntf -+-0,„„) — sin(M(o„-f- /!tpo+ 0,„„)],

W(,, Oq Cl ^0 étant des constantes d'intégration. Dans la dernière formule, nous supposerons implicitement compris le terme

Aou?.

SUR LES COURBES DEFIMES PAR LES ÉQUATfONS DIFFÉRENTIELLES. 211

Nous pourrons toujours supposer que l'origine du temps, celle des w, et l'unité de longueur aient été choisies de telle sorte que

Wo = <?o = po = o.

Pour simplifier les formules, je supposerai en outre que tous les 9„,„ sont nuls, quitte à revenir plus tard sur le cas général. Il reste alors

(0 = a/, ti = ^/,

p = Aoo' + 7 '■ — r sm( «ito + /; 9 ).

Plusieurs cas peuvent se présenter.

Premier cas. — Le rapport ^ est incommensurable, et Aqo n'est pas nul. Je dis qu'alors on pourra trouver une fonction F((o, a) développable en série trigonomélrique et telle que la surface

p = F((o, tp)

soit une surface sans contact, c'est-à-dire que l'on ail

du> d'f

pour toutes les valeurs de w et de a, ou bien l'inégalité de sens contraire.

Je pourrai écrire

0 = 61 -+- Bj-i- Ado,

0i ne comprenant qu'un nombre fini de termes de 0, et Q-, élanl aussi petit que l'on veut (cela est toujours possible, puisque la série 0 est absolument et uniformément convergente).

Je prendrai

Soit alors et

de sorte uue

ï -7- + f. -j- = H, (toi rttp

L'inégalité (8) devient alors

Aoo4-H,-l-ei>0,

A„(| > — 02, ou bien l'inégalité conliaire el l'une des Jeux

•.'.la Sin LKS (^Ol'UBES Di:l'INIF,S P.\Il LES KOUATIONS DII'l'IinENTIELLES.

esl évidente, puisque la valeur absolue du premier membre est supérieure à celle du second.

Nous nous trouvons donc dans le cas déjà étudié des surfaces sans contact enveloppant la trajectoire fermée, il y a instabilité.

Deuxième cas. — i^e rapport 7; est commensurable et A„„ est nul.

Supposons, pour fixer les idées, que p = i et que a soit un nombre entier positif.

Il n'est plus avantageux dans ce cas-ci de supposer que les valeurs initiales (Jq, Ço et po de co, o et 0 sont nulles.

Posons, pour abréger,

|ji = /« a + /i p = m a + n ;

UL sera un nombre entier, et l'on retrouvera le même nombre [jLpour une infinité de systèmes de valeurs de m et de n. On aura [/ = o si « = — a m.

On trouve alors

(jj = a / -h (Ou, o = < -)- tOo»

p z= Po-)- tZk'in cos «!(wo— a'^o) -t-^ — ^ [sin( jji? -H /«Wo-H "Ço) — siii(/;itOo-l- «<?o)]i

OÙ

A^„=A,„,j pour «= — 'j.in, ou |ji = o

Ici, comme le nombre [j. est toujours entier, la série Irigonométrique qui donne 0 est uniformément convergente.

Quant au coefficient de <,

S A'„, cos 7/i (wo — auo ),

il jjeul être positif ou négatif selon les valeurs de Wo et de Ço- H en résulte que, selon la trajectoire choisie, p tend vers -}-co ou — oo quand le temps t croît indéfiniment.

Il y a donc encore instabilité, puisque p ne reste pas fini, mais c'est une instabilité d'une nature toute différente de celle du premier cas; il est impossible, en effet, de construire une surface sans contact.

Le point mobile se rapproche asymptotlquemenl, soit de l'axe des z, soit du cercle ; =: o, /■=!, suivant la région où se trouve sa position initiale. Il y a même des trajectoires fermées qui correspondent au cas où

X A',„ cos m( Mo — a'io) = o.

l'roisièrne cas. — Le ra|)porl r; est incommensurable et Aoo est nul.

SUR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 2l3

Nous supposerons de nouveau

wo = <fo= Po = Oi de sorte qu'on aura

to = a?, o = jif, p = > ■ SI 11 [J. I.

Il [)eut arriver alors que la série qui donne p soit uniformément convergente pour toutes les valeurs de t, c'est-à-dire que la série à termes positifs

soit convergente. Alors la trajectoire se trouvera tout entière sur la surface

^ sin( /;; (0 -t- Ait?),

qui est de genre i et analogue à un tore. La forme des trajectoires sur cette surface est tout à fait semblable à celle qui a été étudiée au Chapitre X^^

Quatrième cas. — Nous ferons les mêmes hypothèses que dans le cas précédent, avec cette différence que la série

convergera, mais non uniformément, de telle sorte que la série (9) soit divergente.

Cette hypothèse peut se réaliser. Supposons, par exemple,

Nous serons certains alors que la série

i A „, „ cos ( m 10 -;- ?! !f )

converge absolument et uniformément.

Réduisons maintenant a en fraction continue

Soit -^ la 7('*"'° réduite de a; nous supposerons

■M 4 Sl'll LES COl'RBliS DÉKINIES l'Alï LES KQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Considérons la série le coefficient de sin (P,, — Q„ «) / dans cette série sera

On aura el

Q«+l = Qn-l + ««+1 Q/1 ? "^/i+l-

Or je peux prendre arbilraireinent les nombres n„; je supposerai donc, par exemple,

H étant un entier.

Le coefficient de sin (P„ — Q„ a) / sera alors plus grand que

il'n+l!..

11 csl aisé de voir que si 11 est plus grand que 2'-"^', cette expression croît indéfiniment avec n. Les coefficients de la série (lo) peuvent donc croître au delà de toute limite, et par conséquent cette série ne peut être uniformément convergente.

Plaçons-nous donc dans l'iijpothèse où la convergence de cette série n'est pas uniforme.

J'appellerai sur/ace de genre i régulière une surface continue qui satisfera à des conditions analogues à celles dites de Dirichlet (dans l'élude de la série de l'ourier) et dont, par conséquent, l'équation pourra s'écrire

p = S B„,„ cos(m(o -H «y) -t- XG„i„ sin(/n(u + /np).

11 est impossible qu'une surface régulière soit sans contact. Si, en cfFet, elle était par exemple positive, on devrait avoir en tous ses points

t/p r/p (ho ihj do 'di'^diâlù^'c/ô'dl OU

K = s A,„„ cn';(«(o) -H /i '*) H- S B„,„(a«! -h ^n) sin(«; w -h n-^)

-^ S C,„ « ( « "' + p /( ) cos ( m ;<) + « -i ) > »

SUR LES COUKBES DÉFÎMES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 2 1 "i

et, par conséquent,

/ du) / K rftf > o.

Or celte intégrale est nulle, car Aoo est supposé nul.

11 ne peut pas arriver non plus qu'une trajectoire soit tout entière sur une surface régulière.

Car sur cette surface on devrait a\ oir

et, par conséquent, La série

^ ^ mil

^""' o(m-Hp

C/iin

sin(//i(o -h /i'y)

ne serait pas alors convergente.

Mais il y a plus, nous avons

La série du second membre, qui n'est pas uniformément convergente, peut devenir plus grande que toute quantité donnée, ainsi que je l'ai établi dans une Note insérée au Bulletin nstrononiit/ue, t. I, p. 3 19.

Ainsi donc p peut croître indélinimcnt, sans qu'il y ail de surface sans contact. Mais on peut se demander si p tend vers l'infini, c'est-à-dire si l'on peut prendre t assez grand pour qu'à partir de l'époque t, p reste plus grand que toute quantité donnée, ou bien si la valeur de p va constamment en oscillant de façon que l'amplitude des oscillations aille indéfiniment en croissant, et que les limites supérieure et inférieure atteintes dans ces oscillations tendent respectivement vers -t- 00 et — 00. Dans ce dernier cas, p repassera une infinité de fois par une valeur quelconque.

Il est aisé de voir que les deux cas peuvent se présenter. Soit, en effet, D un entier positif non carré parfait; soient a et v deux entiers positifs tels que

lÛ — D ('2 = I .

Soit

Un et i'n étant entiers. Nous prendrons alors

-^ = 0 = S(My cos(u„(o — i'„9) (/! = o, I, 2, ... adinf.)

dt ' dt

de sorte que

p = SA" ?iiiX"<.

Si I A I > I , I Al I < ' , celte série est convergente sans l'être uniformément.

Si A est positif et suffisamment grand, tout en restant inférieur à - > la valeur de 0 tend vers l'infini; si, au contraire, A est négatif et compris entre — i et — , ) la valeur de p subit des oscillations indéfiniment croissantes.

Pour la démonstration, il faut se reporter à une Note que j'ai communiquée à l'Académie des Sciences {Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, séance du ^ décembre i885) (').

Ainsi deux cas peuvent se présenter : ou bien p varie depuis — co jusqu'à + oc, et tout se passe alors comme si Ai,,, n'était pas nul; ou bien o prend une infinité de fois toutes les valeurs possibles.

Nous aurons évidemment

iei<M,

M étant une quantité positive convenablement choisie. Nous aurons donc

<M, |pl<iM<|.

Cela posé, nous ferons a = i, de sorte que, à des intervalles de temps périodiques et égaux à 2-, w prenne les valeurs o, 2-, i -,.,., 2 /;-,,.., et que le point mobile se retrouve dans le plan 10 = o ; on aura d'ailleurs, à ces époques,

Nous poserons

R(ç> ) = ç — imr.,

m étant un entier choisi de telle sorte que R(») soit compris entre o et 2t:. Si nous considérons le cercle C, qui a pour équations

la position d'un point sur ce cercle sera déterminée parla valeur deR(»), puisque

Les équations de notre trajectoire nous donneront

C) Ce Tome, p. 164.

SUR LES COLUBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. liy

l'our < ;= 2«-, w ^ o (mod. 2-), to = 2 p «tî,

p = 'i'(2mz).

A chaque point du cercle C, pour lequel

R(tp) = (9. ^/j — ■lin)- (a et m entiers),

correspondra donc une valeur de p qui sera 'I>(2 /;-). Considérons celle valeur de p comme une fonction du point considéré du cercle C, c'est-à-dire comme une fonction de R('-p), et appelons-la

F[R(?)]- Cette fonction sera discontinue et ne sera bien définie que pour les points

R ( (B ) = ( 2 jï re — 7.m)T..

Je vais montrer d'abord que, sur un arc de cercle C, si petit que soit cet arc-i il j a toujours des points pour lesquels notre fonction F est définie et a des valeurs aussi grandes qu'on le veut.

En effet, je vais envisager le point suivant, que j'appelle P,

Les valeurs de oj et de o sont les mêmes pour notre point mobile et pour le point P. D'ailleurs, ce point reste constamment sur le tore p = o.

Soit AB l'arc du cercle C que je considère. On voit sans peine que, si petit que soit cet arc, on peut trouver une quantité h assez grande pour jouir de la propriété suivante :

Soit ta une valeur quelconque de t, choisie arbitrairement; pour une valeur de t comprise entre ^0 et <„ -{- h, le point P viendra sur l'arc AB. En d'autres termes, l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages consécutifs du point P à travers l'arc AB est toujours plus petit que /(.

Soit donc une valeur de t, pour laquelle

soit positif et très grand ; appelons t„ cette valeur de t. Nous avons vu plus haut qu'il en existe de telles.

Il existera une quantité k plus petite que h telle que le point P,

p=o, aj = iu-t-/>, tf = P(/o-i- A), H. l>. — I. 28

ilS SIR l.KS COUUl)i:S Dlil'IXIES PAU I.KS K(JIIAT10NS DlPFKHliMIEl.I.ES.

soil situé sur l'arc AB. On aura alors

Comme 1*^/,,) est positif et très grand, tandis que M cl /; sont finis, F(^/,i + k) sera aussi positif ut très grand. Au point du cercle C,

([111 appartient à l'arc AB, la valeur de F[ll(j)] est donc positive el très grande.

On étahlirait de même que F[R(c5)] peut devenir, sur l'arc AB, négatif et liés grand; car '!>(<) peut devenir négatif et très grand, soit pour des valeurs positives, soit pour des valeurs négatives de /.

Soit maintenant

une suite indéfinie de valeurs de cp, telles que

lim Rftp,,) = A, llinF[R(9„)J = F,.

Nous disons que 1"| est une des valeurs limites de la fonction F pour le point

Supposons qu'aux deux points

R(!i) = Ao, R(o) = A;

la fonction F soil bien définie el ait respectivement pour valeurs F et F„. Je suppose, de plus, qu'au point R(!s) = A„ elle admette la valeur limite F,. Je dis qu'elle admettra au point R(-j)^A'j une valeur limite F',, et que cette valeur sera

En enVl, d'aj)rés les hypothèses faites, il existera deux entiers, A et ).', tels

que

R('2,a/.-; = Ao, R(2fiX'7T) = A;,

et il existera en outre une série d'entiers

tels que

liiii Ri2|î;/„-) = Aj, lim <!' ( 2 ;j.„ - ) = F").

SUR LKS COIROES nKFINIRS PAR LKS EQUATIONS DIFFKRKNTlIil.LKS. '.U)

Considérons la suite infinie d'entiers

et l'on auia évidemment

limR[2 7:([ji„+X'— )0|3] = a;.

Je dis que

Um<t>[2Ti(ixn-hX'—'>.)] = F\= f, + f;-f„.

En effet, il vient

-r-ilt.

elt

Or, si Ton tient compte de la double condilion

liiiiR(ipiJi.,Tr) = R(2[3X-), lim K[i P(|ji„+X'— >,)ti] = RCî^a'tt),

il viendra, pour la limite du second membre de (i i),

J - 'di'

■ dl = F, - Fo

et, pour celle du premier,

Il reste donc

F'i = F, + F'„ — Fu. r. o. f. d.

La fonction F[('^)] était uniforme, mais n'était définie qu'en des points particuliers du cercle C. La fonction F|[R('i)], qui représentera désormais une quelconque des valeurs limites de la fonction F dans le voisinage du point R(o), sera au contraire définie pour tous les points du cercle C, mais elle ne sera plus uniforme.

Soit maintenant

une suite indéfinie de points du cercle C, ayant pour limites le point B.

Soit

Fi, Fj, . . . , F,|, ...

une suite de valeurs limites de la fonction F correspondant respectivement aux points A| , Ao, .... A„, .... Soit

limF„ = G.

Je dis que G sera une des valeurs limites de la fonction F au point B.

En efl'el, il résulte des hypothèses faites que l'on peut trouver une infinité de

210 Sl'R I.KS COUHDES DEFINIES PAR I,ES EQl'ATIONS DIFFERENTIELLES.

points A„ tels que leur dislance lui |)<iiiii B et la différence G — V,, soient aussi petites qu'on le veut; et do plus que dans le voisinage de chacun de ces points A„ on peut trouver une infinité de points M, tels que leur distance au point A„ et la différence F„ — F(M) soient aussi petites qu'on le veut. Il résulte de là que la limite du point M est le point B et que G est la limite de F(M), si hien que G est une des valeurs de la fonction l', (B) définie plus haut.

Je dis maintenant que si en un point M la foiiclion F|B(œ)) prend la valeur F„ et si, en même temps, Fi est une valeur limite de cette fonction F au même point M, 2 F, — Fo sera également une valeur limite.

En effet, nous avons une suite infinie de points

Al, A2, . , . , A„, où la fonction F a respectivement les valeurs

et d'après les hypothèses faites, la distance A„]M tend vers o et F(A„) vers F( quand n croît indéfiniment. D'après un résultat démontré plus haut, une des valeurs limites de la fonction F au point A„ sera

quand n croîtra au delà de toute limite, le point A„ viendra en M et F(A„) se réduira à F, ; donc 2 F( — Fo sera une valeur limite de la fonction F^ au point M. Ainsi, si nous considérons la fonction F'i[R(o)] définie plus liant, il pourra .se présenter les cas suivants :

1° Ou hien la fonction F, ne pourra prendre que les valeurs zhoo;

2° Ou jjien la fonction F| prendra seulement au point M les valeurs ±00 et F(M);

3" Ou bien la fonction F, prendra en chaque point M toutes les valeurs possibles et sera non seulement non uniforme, mais complètement indéterminée;

/\" Ou bien la fonction Fj prendra au point M une infinité de valeurs différant les unes des autres par une période constante. Ce sera, en d'autres termes, une fonction périodique analogue à l'arc sinus.

La première de ces liypothèses j)eut certainement se réaliser [car mius avons vu plus haut qu'il |)eul arriver que la fonction '!•('), tendant vers l'infini, ne reprenne une valeur donnée qu'un nombre fini de fois].

SIR LES COURBES DÉFINIES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 'lll

J'ai tout lieu de croire qu'il en est de même de la troisième; mais qu'au contraire la quatrième ne se réalisera jamais. Mais ce qui précède suffit pour donner une idée de la grande variété des cas qui peuvent se présenter.

1° Il peut arriver que p ne puisse prendre une valeur donnée qu'un nombre fini de fois et tende vers ±zc quand le temps croît indéfiniment si A,io n'est pas nul, ou bien encore si Auo est nul, mais que ^ soit commensurable ; ou bien encore, quoique A„a soit nul et que ^ soit incommensurable, si la série ^(t) n'est pas uniformément convergente et si elle tend vers Tinfîni •

2° Mais il peut arriver encore que g oscille constamment entre certaines limites, de façon à reprendre une infinité de fois toutes les valeurs comprises

entre ces limites si Aoo est nul, -r incommensurable et la série $(<) uniformément convergente •

3" Enfin il peut arriver que p reprenne une infinité de fois toutes les valeurs possibles pas uniformément et ne tend pas vers l'infini

si Aqo est nul, t incommensurable et si la série ^{t) ne converge

Dans le premier cas, le point mobile, ou bien va constamment en s'éloignant de la trajectoire fermée p ^ — oo (si c tend vers +oc), ou bien s'en rapproche asjmplotiquement (si p tend vers — x). Il peut même arriver que certaines trajectoires s'éloignent constamment de la trajectoire fermée pendant que

d'autres s'en rapprochent asjmptotiquement (si Aoo est nul, et ^ commensurable I

Dans tous ces cas, il y a instabilité, c'est-à-dire que, si le point mobile à l'époque / = o se trouve très voisin de la trajectoire fermée, ou bien il n'en sera plus très voisin pour des valeurs très grandes et positives de t; ou bien il n'en était pas très voisin pour des valeurs très grandes et négatives de t.

Dans le second cas, au contraire, il j a stabilité, c'est-à-dire que si le point mobile est à l'époque « = o très voisin de la trajectoire fermée, il en reste constamment très voisin pour toutes les valeurs positives ou négatives de (.

Enfin, dans le troisième cas, il y a instabilité en ce sens que si le point mobile est, à l'origine des temps, très voisin de la trajectoire fermée, il pourra, à certaines époques, s'en éloigner beaucoup. Mais il y a stabilité, au contraire, en

•iîi STR I.RS COrnBES DKFINIES PAI» LES EOI'ATIONS DIFFÉRENTIELLES.

ce sens que le poinl mobile, après s'êlre éloifçiié beaucoup de la trajectoire fermée, s'en rapprochera de nouveau beaucoup et en redeviendra, à certaines époques, extrêmement voisin.

L'exemple simple que nous venons de loiij^uement étudier nous permet niaiutenanl de revenir sur le cas général et de dire :

De ce que tous les C,, sont nuls, il n'est pas permis de conclure que la série

délinie plus haut, soit convergente ni qu'un [)oint très voisin de la trajectoire fermée en restera toujours très voisin, ni même qu'après s'èlre éloigné de cette trajectoire il s'en rapprochera de nouveau.

Il peut arriver, ou bien qu'un point très voisin de la trajectoire fermée en reste très voisin, ou bien qu'il s'en éloigne une infinité de fois pour en redevenir une infinité de fois très voisin, ou bien enfin qu'après s'en être éloigné il en demeure très éloigné. Ces trois cas, logiquement possibles, peuvent effeclivoment se rencontrer.

D'après ce qui précède, on comprendra sans peine à quel poinl les difficultés que l'on rencontre en Mécanique céleste, par suite des petits diviseurs et de la cjuasi-commensurabilité des moyens mouvements, tiennent à la nature même des choses et ne peuvent être tournées. 11 est exlrèmemenl probable qu'on les retrouvera, quelle que soil la méthode que l'on emploie.

Puris. i3 (Ji.''cen]lire i8S5.