SUR LES SÉRIES DE POLYNOMES

Comptes reinlus de l'Académie des Sciences, l. 96, p. 637-609 (5 mars iS83).

Oa sait quel parti l'Analjse a lire des fonctions définies par des séries dont le n""^° terme est un polynôme entier d'ordre n. On connaît en particulier les travaux de MM. Tchebjehef, Darboux, Frôbenius, Halphen et Appell. Je suis arrivé, au sujet de ces séries, à un résultat incomplet, mais qui peut présenter quelque intérêt à cause de sa généralité.

Considérons une série de polynômes Pq, Pi, P2, ..., tels que P« soit un polynôme entier de degré n en x, et soit lié aux k polynômes précédents par une relation de récurrence

(1) QoP,.-^QlP«-l+Q2P«-2^-Q3I^,^3■^-•..+ Q/.lVA = o.

Dans cette relation je suppose que Q,- est un polynôme entier donné en ,r et en «, de degré i en x. Je considère les séries de la forme

{■?.) aoPo+aiPiH + a.,r,i-~...,

OÙ les a sont des coeflicienls constants, cl j en recluTclic les conditions di' convergence. Le plan des x sera divisé en deux régions par une certaine courbe limite; dans l'une des régions la série (2) sera conxergente, dans l'autre divergente, (^uand on fera varier les coeflicienls a, il est aisé de voir que la courbe limite variera, mais les diverses courbes limites formeront une seule série de courbes s'enveloppant mutuellement, de telle façon que par un point du plan passe une courbe limite, et une seule. C'est ainsi que, si P,, se réduit à x", les courbes limites sont des cercles ayant pour centre l'origine, et, si P„ se réduit au polynôme de Legendre X„, elles sont des ellipses ayant pour foyers — i et +1. Cherchons à déterminer ces courbes limites. Pour cela

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envisageons la série

Si, dans celle série, on regarde un inslant x comme une conslanle et ; cumme la variable indépendante, on voit qu'elle satisfait à une équation différentielle linéaire dont les coefficients sont des ])oljnonics entiers en x et en ;. Pour trouver les limites de convergence de la série (3), il faut chercher les points singuliers de cette équation; on les obtient en égalant à zéro le premier coefficient de cette équation, qui est un poljnomc entier en.r et en r. Voici comment on formera ce coefficient : soit \ la plus haute puissance de n dans le premier membre de (i); formons l'expression

Cette expression, si on l'ordonne suivant les puissances de /i, s'écrira

II, K, . . . étant des polynômes en x el z. \i sera le coefficient cherché

L'équation

nous donne alors lès points singuliers. On en tirera A' valeurs de z, que j'appelle z^, z.,^ ■ ■ ■ i ^k-, en fonction de x. Le plus petit module de ces A quantités sera aussi une fonction de x, que j'appelle 9(2;). L'équation générale des

courbes limites sera alors

(^(•f) = const.

Si, par exemple, on a

H = Z-+ 1ZX + 1,

les courbes limites seront des ellipses ayant — 1 et + i pour foyers.

Si l'on a

les courbes limites seront formées de deux arcs de cercle ayant pour centres l'un le point «, l'autre le point b.

Cette méthode est en défaut quand le polynôme H, ordonné suivant les puissances de z, se réduit à un seul terme; mais la difficulté peut être tournée. Posons, en efTet,

p étant un nombre donné, positif ou négatif, entier ou fractionnaire. On aura

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entre les R„ une relation de récurrence de la forme

Sq Rn-t- S, R„| -^. . .+ S/,R„/. = o,

les S étant des polynômes entiers en x et des fonctions de /( ; on pourra choisir ^ de telle façon que

lim = H. (pouin = x),

ni'- '

H| étant un polynôme entier en x et en z, et l'on aura pu choisir p de telle façon que ce polynôme, ordonné suivant les puissances de z, contienne plus d'un terme. Le polynôme H, remplacera alors le polynôme H.

Il resterait à trouver les conditions pour qu'une fonction donnée ï''{x) puisse être développée en série de la forme {2) à. l'intérieur d'une certaine courbe limite. 11 faut qu'elle soit holomorphe à l'intérieur de celle courbe limite. Mais je n'ai pu encore démontrer rigoureusement que celte condition soit sufdsante.