ÉTUDE DES COURBES FERMÉES
Parmi les trajectoires d'un point mobile, définies par les équations
dx dy dz ,
il peut y en avoir qui si)ient des courbes fermées. Nous allons voir (ju'on peut faire, au sujet des trajectoires qui s'approchent assez prés d'une trajectoire fermée, une ihécu'ie toul à fait analogue à celle que nous avons faite au Chapitre XVi pour les trajectoires qui s'approchent assez prés d'un point singulier; de sorte que ces courbes ferméesjouent dans une certaine mesure le même rôle que les points singuliers.
11 faudrait d'abord savoir reconnaître s'il existe des trajectoires fermées; mais je ne puis, pour le moment, donner à ce sujet beaucoup de développements, .le me bornerai, en me réservant de revenir [)lus tard sur ce point, à donner ici un exemple simple.
Soit un tore sans contact à l'intérieur duquel il n'j ait aucun point singulier.
Coupons-le par des plans méridiens, et supposons que ces plans n'aient non plus aucun contact avec les trajectoires à l'intérieur du tore.
Prenons un système particulier de coordonnées. Supposons d'abord qu'on ait clioisi pour axe des :; l'axe du tore, et pour plan des x, y son plan de symétrie, de telle sorte que son équation s'écrive
Posons ensuite
5=if), a? = (Ç -I- R} cosuj, jK = (Ç -h K) sinu),
19^* sim LES coimnES oékinies par les équations différentielles.
(le telle sorte que réquation du tore devienne
Il , . » ■ , f/f') .
^es jiliins ineridu'ns w = consl. etaiil sans coiUacl, -7- sera constamment de
même signe, constamment positif, par exemple. Quant au tore, je supposerai, pour fixer les idées, que c'est une surface sans contact négative, de telle sorte que le point mobile, une fois entré à l'intérieur du tore, ne puisse jilus en sortir. Par le point Mo intérieur au tore et ayant pour coordonnées
? = ?o, -O = -In, lu = o,
je fais passer une trajectoire; au bout d'un certain temps C, le point mobile parti de sa position initiale Mn se trouvera en un point M, intérieur au tore, et dont les coordonnées seront
r, = nt.
Posons
— = çi — ;o, Il = 'Il — 'le;
Z et H seront des fonctions liolomorphes de ^0 f^l de r,,, . Si l'on a
la trajectoire qui passe par le point Mo sera fermée.
Dans le plan méridien m = o, appelons indice d'une courbe quelconque,
l'intégrale suivante
étendue à tous les cléments ds de cette courlu;. Dans cette expression on pose. comme dans l'intégrale de M. Kronecker,
/dF- rfPs
et
dF dF
<'/^a dr,n
<n„ di;„
dc,si dfio
Considérons, in pai lu ului', la courb
c'est-à-dire le cercle méridien du lore. Si l'on observe que l'on a constamment, le long de celle courbe,
et, par conséquent,
$oH-Hr,oH <o,
on verra sans peine que l'indice de notre cercle méridien est égal à 4- i .
Donc il j a à l'inlérieur de ce cercle au moins un point ;oi '^o pour lequel S et H s'annulent; donc il y a à l'intérieur du tore une trajectoire fermée.
Je rappellerai en outre que, dans une Note insérée au Tome I du Bulletin astronomique^ et intitulée Sur certaines solutions particulières du problème des trois corps, j'ai montré que les équations de la Mécanique céleste admettent certaines intégrales particulières qui peuvent, à un certain point de vue, être regardées comme représentant des trajectoires fermées.
Supposons donc que, d'une façon ou d'une autre, on ait démontré l'existence d'une trajectoire fermée. Appelons s l'arc de cette trajectoire, compté à partir d'une certaine origine, et l la longueur totale de la courbe. Nous ferons usage d'un système particulier de coordonnées.
Soient O l'origine des arcs, M un point quelconque de la trajectoire fermée. Soit s l'arc OM. Au point M, je mène un plan normal à la trajectoire, dans ce plan, et par le point iM deux axes rectangulaires. Soient x &l y les coordonnées d'un point de ce plan normal, par rapport à ces deux axes.
Un point quelconque de l'espace sera alors déterminé par ces trois coordonnées X, y et s. Ce système de coordonnées convient pour représenter un point très voisin de la trajectoire fermée.
Soit Po un point du plan normal 5 := o de coordonnées x^, yi, et o. Si x„ et j^o sont suffisamment petits, la trajectoire qui passe parle point Po ira couper successivement tous les plans normaux, de telle façon que s ira constamment en croissant. Elle finira par couper en un point P, de coordonnées a",, Xi et l le plan normal s ^ l, qui n'est d'ailleurs autre chose que le plan s = o luimême. Si Xo et jKo sont assez petits, x, el y, sont des fonctions liolomorphes de Xo et j'u s'annulant avec ces variables. Soient
•JOO SIR l.KS rOl'RBES DÉFINIRS PAR LES KQl'ATIONS DIFrKIlEN'TIlil.LES.
1^ et R' désignanl un ensemble de termes de degré supérieur nu premier en j-„
etjo- Posons
les équations différentielles pourront s'écrire
Les fonctions X et Y seront des séries développées suivant les puissances croissantes de x et j', et convergentes si j? et jk sont assez petits. Les coefficients de ces séries seront eux-mêmes des séries trigonométriques ordonnées suivant les sinus et les cosinus des multiples de t. Enfin X et Y s'annuleront
avec X et y. Soient
hx -¥■ ky, h' A- -¥- k' y
les termes du premier degré de X et de Y. Les coefficients li. / , // et /,' seront, comme nous l'avons dit, des séries trigonométriques. Considérons les équations
dx , . dy
— =hx+ky, ^=hœ+ky.
Leurs intégrales seront de la forme suivante :
iT = A| e^i' (fi ( < ) -H Ao e^a' <f2 ( ' )'
' >' = Aie>'.'4'i(^) + A,e'->'i)/2(/).
Dans ces expressions A, et A^ sont des constantes d'intégration o,, «o, 'i, et 'I/o seront des séries trigonométriques. Quant à ),, et X^i t^e sont des constantes qui nous sont données par l'équation
ou
(f) S2— (o(-4-S)S + (a5 — Py) = o. S = c2),Tt.
Etudions maintenant les divers cas qui peuvent se présenter.
Premier cas. — Il peut arriver que les deux racines de l'équation en S soient imaginaires conjuguées, et que leur module ne soit pas égal à i . On trouve alors
X, = X-t-tX', X2 = X — (X', A,= Ae'e, A2=Ae-'ô,
SUR I.KS COURBES HEFIMES PAR LES EQlIATrONS DlFFiatENTlE I.LES. -tôt
X, )/, A, A', !5, »', ']> et 'V étant réels. De plus, ), n'est pas nul. Nous supposerons, pour fixer les idées,
Les équations (i) deviennent
( .r = Ae'''[cos(X'?-i- 6) of/) — siiWX'/ +fl)o'(7)l, \ y = A e>'[cos (),'<-!- 'i)'i>i /) — s!n(A'/-i- 0)<Y{/)\.
Posons Les surfaces
(.r'\, —yoy-^{.r']/—y'ç■r- F{.r, y.l = -^, j— — ^•
seront (si ■>'.}■, et par conséquent C, sont assez petits) des surfaces de genre i à l'intérieur desquelles la trajectoire fermée se trouvera contenue. Si dans F on remplace x el y par leurs valeurs (i l/is), d vient
F = A2e2>>', (i 'où
Mais si l'on observe que les équations ( i his) sont les intégrales des équations
diflerentielles
dx , , (ly ,, ,,
—-= hx + KV. —7-=hx + A V,
dt ■' dl
on verra que l'on a
c/|- rfF d\', , , rfF ,, ,, ^
— = — ; — <^ -^ {hx -^ k y) ^ -^ {h X ^ k y). Ot dt dx ■' ' dy ^ •
On a donc
Mais, si .r et v sont assez petits, lix -t- ky et li x + k' y différeront assez peu de X et ^ , de soite qu'on aura
^F .,. d? ., dP dt dx dy
Ainsi donc les surfaces F = C sont des surfaces sans contact, si C est assez petit.
Si ), >o, ces surfaces sont positives, et le point mobile va constamment en s'éloignant de la trajectoire fermée.
Si, au contraire, X<^o, nos surfaces sont négatives, et le point mobile se rapproche asjmplutiquement de la trajectoire fermée.
202 SIR LES COIIRBKS nÉPINIES PAR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
Second cas. — 11 peut arriver ensuite que l'équatinii en S ail ses deux racines réelles positives, et toutes deux plus grandes que i. Alors )v, et X.^ sont réels et positifs.
Posons
j a-iij — yifi .r'i, — y<^,
? l'I*!— ?-2 + i ' ' ^ <?i ']>■; — tfa'i'i'
On verrait, comme précédemment, que, si C est assez petit, les surfaces F = C sont des surfaces de genre i contenant la trajectoire fermée, et que
de plus on a
rfF ^. rfF ^, dP dt dx dy
ce qui montre que les surfaces F = C sont sans contact et positives.
Cela prouve que le point mobile, infiniment voisin de la trajectoire fermée pour / = — 00, va constamment en s'en éloignant.
Si, au contraire, les deux racines de l'équation en S étaient réelles, positives et toutes deux plus petites que i, la même analyse montrerait que les surfaces F = C sont sans contact et négatives. Par. conséquent, le point mobile se rapprocherait asvmptotiquenient de la trajectoire fermée.
Troisième cas. — Les deux racines de l'équation en S sont toutes deux réelles positives, mais l'une plus grande et l'autre plus petite que i. Alors les deux ), sont réels et de signe contraire.
Je dis que dans ce cas on peut, dans le plan normal s = o, faire passer deux courbes K et K' qui rencontrent la trajectoire fermée aux points .r = o, j' = o, 5 = o et qui, (le plus, jouissent des deux propriétés suivantes :
i" On peut mettre leur équation sous la forme
3 et 'i étant des fonctions lioiouiorjjlies d'une même variable u, s'annulant avec cette variable ;
2° Si le point .TTo, Ko est sur l'une des courbes K ou Iv', 11 en sera de même du point .r,, y, .
En effet, nous pouvons toujours, [jar un changement linéaire de variables, amener les relations qui lient r,, )', à .f,,, y„ à la forme suivante :
^3 j ri = S,.>-o-<-'l'i(ar„, /o),
SUR LES COURBES DEFIMES PAR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 2o3
$1 et <î>;, étant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de Xo et )'o, et commençant par des termes du second degré.
Soit
y = 3.-2 x^ -i- 01.33:^ -i- ... + i„x" + . . . ■-- if(x)
l'équation de la courbe K. Nous devrons avoir ideiilujuement
Si 'K^o)-i-*i[.r„,'l;0„)] = '^l S.2a-„-(-'î>,[j!'„,4/(.r'o)|j.
En identiliant les deux membres de celte égalité, on trouve une série de relations qui donneront successivement
Nous supposerons S| > i ]> S^. Nous pourrons toujours trouver deux quantités positives M et ^ telles que l'on ait, en employant la notation du Cha-
Cela posé, considérons, à côté des é(|ualit)ns (3), les équations auxiliaires
|ri-s,ro- ,p(,„+^„)'
(ibis)
Si nous raisonnons sur ces équations (3 bis) comme nous l'avons fait sur les équations (3), nous verrons qu'il existe une série
y = 'j.'.2 x- + ïï ./•' -h . . . -h -xliX" + . . . = <\l' i x)
qui satisfait à la condition
MM-^,+ y(x,)y- \ • Mfin^u + y(^o)]M
On a, d'ailleurs,
Or la série '!^' (x) est convergente ; car on l'obtient en résolvant réquatiaii ( ' )
La série A est donc également convergente. c. q. f. d.
On démontrerait de même l'existence de la courbe K', qui aurait pour équation
(') (bi/-aux Notes (J D.).
11)4 ^UR LES COURBES DKKIMICS PAB I.RS KQUATIONS DM FKUENTIKI.LES.
L'existence des courbes K et K' étant établie, on reconniiîliail sans peine que les trajectoires se répartissent en trois espèces :
1° Celles (jul rencontrent la courbe Iv ; les poinis (jui décrivent ces trajectoires, inlîniineiît voisins de la trajectoire fermée jiour / ;=; — », vont constamment en s'en éloii;nant;
2" Celles qui rencontrent la courbe R', et qui vont en se rapprochant asymptotiquement de la trajectoire fermée;
3° Enlîn les autres Irajectoires, qui restent à une distance finie de la trajectoire fermée.
Il resterait à examiner le cas où une ou deux des racines de l'équation en S seraient négatives; mais il ne peut pas arriver cpi'une seule des racines soit négative, et si elles le sont toutes deux, on letoinlje sur les formules du premier cas en v faisant
11 est impossible de n'être pas frappé de l'analogie que présente l'analyse qui précède avec la théorie des points singuliers. Le premier cas (les deux X imaginaires) correspond au cas des fojers; le second cas (les deux X réels et de même signe) correspond au cas des nœuds, et le troisième (les deux À réels et de signe contraire) correspond au cas des cols. Il nous restera à examiner un cas exceptionnel, celui où les deux S sont imaginaires conjugués, et ont pour module i. Ce cas correspond à celui que nous avons étudié en détail au Chapitre XI. Nous allons voir l'analogie se poursuivre pendant un certain temps, et nous trouverons des résultats tout à fait semblables à ceux de ce Chapitre. Mais, en approfondissant notre analyse, nous verrons surgir des différences essentielles, et nous rencontrerons des diflicultés tout à fait nouvelles.
Mettons les équations différentielles sons la form<;
<lx ,. ,, .
X,- et \i seront des polynômes homogènes de degré i en x et en j)', dont les coetficients seront des séries trigonoim'tricpies ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples de t.
Posons maintenant
!• = l'a-t-Fa^ ..+ F,-t-...+ F,„
SUR LES COURBES DÉFINIES PAR I.liS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. î.o5
F sera un polynôme entier en x et en y, dont les coefficienls seronL des séries Irigononiélriques de <; et F,- représeulera l'ensemble des termes de degré i en J" et en y ■
Le polynôme F ne contient donc ni terme de degré o, ni terme de degré i .
Nous allons chercher à déterminer F2, F;,, . . . , F^,| de telle façon que, dans
l'expression
^ d? ^. clP ^, rfF dx (ly al
tous les termes de degré iniérieur à p en x ftX. y soient nuls. Si nous posons
il viindiii
il. ~
</F, dx
(/Fo dl
dt
dt
dt
La première de ces équations nous donnera F.>, la seconde F;,, .... et la (/' — I )"'""' nous donnera Fp i, pourvu toutefois qu'il soit possible d'y satisfaire.
D'aj)rès les hypothèses que nous avons faites au sujet des racines de l'équation en S, il est toujours possible de satisfaire à la première des équations (4). En effel, les intégrales des équations linéaires
pourront, comme dans le premier cas, se mettre sous la forme (i bis), avec celte dillèreiice que \ sera nul; on aura donc, pour les intégrales de ces équations (5),
X = \ [cos(X'^ -(- 6) 9(n — sin(A'< -t- 0) <i>(0], ^ = A[cos(X'<-(-0 )■}(<) — siii(X'/ + 0) (!/'(/)].
Si nous posons
xij' — y^' x^ — Y'i
et que nmis prenions i et tj pour nouvelles variables à la place de x et de )• (ce qui est un changement de variables linéaires en ce qui concerne x et y, mais
aoB SUR LES COI RBKS DÉFINIES PAU I.ES ÉQUATIONS DIFFÉRKNT1KLI,F.S.
non linéaire en ce qui etniccrne l), les équalions (')) (le\iemir(inl
dt - ^ ^'' dt - '^i-
Nous pourrons toujours su|i|joser que ce changement de vntiables ait été fait,
cl iiiir conséquent que
Nous prendrons donc
Les autres équalions (i) s'écriront alors
dF„ -,/ rfF„ dF,,\
où Vq est un |)olvnoiiie iionioj;ène de degré ^ qu'il s'agit de déterniinei', et où H^ est un polynôme de même degré que l'on peut regarder comme donné, car il ne dépend que de F^, F;,, . . . , Fy i, <|ue l'on a dû calculer avant F^. Les coefficients de Hy, comme ceux de Fy, sont d'ailleurs des séries trigonomiHriques en t.
Si l'on pose
.r ^ p cosio, jr = p sinoj,
il viendra
F,^= pi 'i(to,t), \\^= p'i i>(M, t),
<p(w, t) et '1{m, l) étant des séries trigonométriques dépendant des deux arguments tij el /.
L'équation (6) devient alors
do , , f/'f , ,
On peut toujours trouver une série Irigonométrique o en to et en t satisfaisant à cette équation, pourvu que la série Irigonométrique '|>(w, t) ne contienne pas de terme Co indépendant de (o et de l (et (pic, d'ailleurs, X' soit incommensurable, ce que nous supposerons).
Si Co n'est pas nul, il est impossible de satisfaire à l'éfpiation (^(j) ; mais on peut choisir F^ de telle façon que l'on ait loii|i)uis
t/F„ .,/ d\\, dV,,\ ^ ,,
si Co est positif (l'inégalité changeant de sens, si Co est négatif).
SUR LES COURBES DÉFI>(IES PAR LES ÉgUATIONS DIFFÉRENTIELLES. '207
Nous pn^ndrons pour cela
Si nous envisageons alors le polynôme de degré r/,
l'expression
^. dF ^. dF dF
cijT ay lit
sera une série ordonnée suivant les puissances de X et de y, et dont les coefficients seront des séries trigononiétriques de t. Les termes du degré le moins élevé de <I> se réduiront d'ailleurs à
Si donc on envisagé les surfaces F:^K, où K est une constante, ce seront, si K est assez petit, des surfaces de genre i enveloppant la trajectoire fermée, et qui seront sans contact et positives si Co est négatif, sans contact et négatives SI Co est positif.
Ainsi, si tous les dj ne sont pas nuls, on retonihe sur le premier cas et il j a inslidulité.
Le cas où tous les Co sont nuls semble d'abord très exceptionnel, puisque, pour le rencontrer, il faut remplir une infinité de conditions; il n'en est pas moins très important, non seulement à cause des difficultés spéciales qu'il présente, mais encore parce que c'est celui sur lequel on tombe en étudiant les équations générales de la Dynamique.
Nous avons à résoudre d'abonl le problème suixanl : comment pourra-t-on reconnaître a priori que tous les Co s'annulent à la fois, car on ne saurait se contenter de le vérifier, puisqu'il faudrait une infinité de vérifications. Voici, à cet égard, une règle simple.
S'il existe une fonction M cpii soit bolomorplie en x, y et t, et de plus réelle, positive et bien déterminée en tous les points de la trajectoire fermée; si, de plus, on a
dl M X ) di. M Y ) d\\
n est certain d'avance que tous les C„ seront nuls.
■jo8 SIR LES COI'RIIKS DKFIMES l'Ail l.l'.S KQIIATIONS niKIKIIliN rlI!I,I.RS.
Je vais iloiiioiitrt'r ou olVfl, (iiii;, s'il en esl iiiii^i, il lu; peeU y avoir de surface
de i;enre i, ouvcloppaiU la liajicloirc l'ciuiéc, et de plus saus coulacl.
Considérons on elVel un inslanl x, y et t comme représentant les trois coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace. Les points qui satisferont aux conditions
F<K, 0</<2Tt
rempliront un certain volume V, limit(' d'une pari par une sorte de surface cylindrique F = Iv, et d'autre part par deux plans t := o, t :=?,-. Soit c?(i) un élément quelconque de la surface F = K.
Soit ^
Le tliéorème de Grcen nous donnera
Dans le premier membre, la première intégrale esl étendue à tous les éléments de la surface !<' = R, la deuxième à tous les éléments du jilan / = o, la troisième à tous les éléments du plan l r= 2 7t; enfin l'intégiale du second membre est étendue à tous les éléments du volume V.
[^'intétrrale du second membre est nulle en veitu de la relation (>); les deuxième et troisième intégrales du premier membre se détruisent, puisque la foiulion M reprend la même valeur tpiand / augmente de 2 71.
La première intégrale devrait donc èlre nulle. Mais cela est iniposslble,
M . . .,. dV V d¥ , f/F . , ,
puisque ^ est toujours |)ositit, et que -^ X H — j- i H j esl toujours denu'uie
signe.
Donc il ne peut j)as y avoir de surface sans contact F = K.
Donc tous les C,, sont nuls. i:. Q. f. n.
