I. — Étude sommaire des intégrales irrégulières
Les résultais que je vais cliercher à démonlrer dans le présent Mémoire et qui se rapportent tant à certaines équations différentielles linéaires qu'à des <'(|uallons analogues, mais à différences (inics, ont déjà été énoncés les uns dans un Mémoire que j'ai présenté à l'Académie des Sciences pour le concours du Grand Prix des Sciences mathématiques le !"■ juin iS8o et qui est resté inédit, les autres dans une communication verljale faite à la Société mathématique de France en novendjre 1882 et dans une note Insérée aux Comptes rendus de C Académie des Sciences le ;"> mars i883.
Soll
•' dx" ' dx"-' dx -^
une équation diirércntlelle linéaire où les coeKicienls P seront des polynômes eu X que je supposerai tous de même degré, à savoir de degré y». J'appellerai A,le coefficient de xf dans le j)oljnome P,.
Nous allons étudier la façon dont se comporlent les intégrales de l'équalion (i) quand x croît indéfiniment d'une certaine manière, par exemple par valeurs réelles positives. Il reste donc convenu jusqu'à nouvel ordre cjue x est réel et positif, tandis que les intégrales j' et les coefficients des polynômes P peuvent être imaginaires.
Nous allons avoir à considérer l'équallDii algébrique
(i) \,.2"+\„ iz" 1+...+ A|: + Ao=o,
SUR I.HS ÉOUATIONS MN'KAIRES AUX DIFFÉRKN'TIKLLKS ORDINAIRES, ETC. 227
INous supposerons d'abord que cette écnuition n'a pas de racines multiples, et même qu'elle n'a pas deux racines ayant même partie réelle.
Les méthodes de M. Fuchs ne sont pas applicables au problème qui nous occupe, parce que les intégrales de l'équation (i) sont irrégiillères dans le voisinage du point x = 30. 11 faut donc employer des procédés particuliers.
Nous poserons
et, supposant d'aijord l'équation (1 ) du deuxième ordre, nous l'écrirons
Posons
/ Il dx
l'équation dilléientielle deviendra
Je dis que quand x croîtra indéfiniment, u tendra vers une ties racines de l'équation (2 ). Soient en effet a et [i les deux racines de cette équation, de telle
sorte que
(2 a)(3 — P) = c2-^B,3-hH„
et que la partie réelle de a soit plus (grande que celle de 'j.
•Soit
V = (' + h>' — log(H — a I — log( Il — ^).
il viendra
^ — rs — 1 '^'+ Qi"-*- Qd,
dx ~ ^ H-+ B, « + Bo
Nous allons étudier le si^ne de la partie réelle de -;-) c'est-à-dire dc-r--
Si l'on donne à x une valeur très grande, les difl'érences Q, — B, et Qo — Bu
sont très petites de l'ordre de -• Gela posé, on peut démontrer successivement
les résultats suivants.
Supposons que Q, — », et ()„ — Bu aient des valeurs ilun/ires sudisamnient petites, et soit K un nombie donné positif. On peut trouver deux nondjres s et £, tels que toutes les fois que
•>.-iS SUR LKS EQUATIONS LINÉAIHES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC.
on ait également
,t(Q,-Bi)-t-(Qo-Bo)
ii2+ Bi a + Bo
De plus lorsque (), — B, et Qo — Bq tendront simultanément vers zéro, K ne variant pas, s et î, lendroiil aussi siimiltanémenl vers zéro.
En second lieu, on peut toujours trouver un nombre K assez petit pour que -j- soit négatif comme la partie réelle de (j3 — a), lorsque l'inégalité (3) a lieu. Il suffît pour cela que l'on ait
K<cos[arg(a — P)].
Enfin on peut trouxer deux nombres k et k, tels que les inégalités
aient Heu toutes les fois que c est compris entre k et — /., .
On conclut de tout cela que si x est suffisamment grand, il existe deux nombres /: et /•■, tels que -r- soit négatif toutes les fois que (' est compris entre /.■ et — A, ; de plus lorsque x croît constamment et indéfiniment. A' et k, croissent iiussi constamment et indéfiniment.
Supposons que pour une valeur donnée de x, c ait une certaine valeur initiale comprise entre A' el — A'i, on est certain que v va décroître tant qu'il sera supérieur à — k,, et que, si après a\oir décru, il arrive qu'il croisse de nouveau, il ne pourra jamais en tout cas redevenir supérieur à — k,.
Soit M(h) la plus grande valeur que puisse prendre v quand x varie de A à + oo. Lorsque h croîtra, lM(/i) décroîtra ou du moins ne pourra jamais croître. Donc quand h grandira indéOnimcnt, iM(/i) tendra vers une limite, Jiiiie ou infinie, que j'appellerai M. Si M = — oo, on est certain que c tend vers — oo; tandis que si M était Uni, il jiourrait arriver ou bien que c tendît vers la limite M, ou que v ne tendît vers aucune limite. Dans le cas qui nous occupe on vient do \oir qu'on peut prendre /tassez grand jiour que l'on ait
Mais nous pouvons prendre x assez grand pour que /. , soit aussi grand que l'on veut. On a donc
ou
liill t> = — v:, liiii u = a. C. Q. F. D.
SUR LES ÉQUATIONS LINÉAIliES AUX DIFFERENTIELLES ORDINAIRES, ETC. Î'Q
Le raisonnement précédent n'est en défaut que si la valeur initiale de v n'est pas comprise entre k et — /i|. Mais nous avons choisi arl)itrairement la valeur initiale de x, nous aurions pu prendre tout aussi bien une valeur quelconque de cette variable. Pour que le raisonnement soit en défaut, il faut donc que, (juel que soit x, c soit plus grand que k ou plus petit que — A , . Or quand x tend vers l'infini, il en est de même de A- et de /.,. Donc c tend aussi vers droo. Donc it tend vers [ï ou vers a. En résumé, la limite de u est en général a, mais pour une intégrale particulière, elle peut èlre égale à [i.
Faisons encore le raisonnement pour les équations du troisième ordre. L'équation
peut s'écrire
(4) ^ '^lâ''^"^'^'''^"^'^ Qi"--^ Q. " -t- Qo = o.
Soient a, [3, y les trois racines de l'équation (2) rangées par ordre de parties réelles décroissantes. Nous considérerons à côté de l'équation ( i) l'équalion
( /,'"■■< ) ^ + ^ ( 3 V -t- lîj ) + i'» + B. fî + n, (■ + B„ = o,
dont l'intégrale générale est
~ X e»-'^-(- [jieP'^ + v eY-r
1, u, V étant les constantes introduites par l'intégration. Nous allons chercher une fonction réelle des parties réelles et imaginaires de v et de -y- choisie de telle sorte que sa dérivée soit toujours négative. Nous considérerons ensuite une fonction formée de la même manière avec les parties réelles et imaginaires de u et de -y-, et nous reconnaîtrons que la (hjrivée de celte nouvelle fonction sera aussi toujours négative pourvu que la fonction elle-même soit comprise entre deux limites données, lesquelles limites tendent respectivement vers dz ce, quand x tend vers + od. La méthode que nous suivrons sera donc de tout point semblable à celle que nous avons employée pour le cas du deuxième ordre. La fonction que nous cherchons à former dépend de ti et de -r- et par con-
séquent de y, de ^ et de -j^- 11 y a avantage à introduire directement ces
éléments.
Employons, pour abréger, la notation de Lagrange de façon que ) ' désigne
l'io
Sl'fl l.RS KOIATIONS l.lNKMniîS M'\ DirKKIlENTlKLl.liS OUniNAiniiS, KTC.
dv , ,,,..</-)■.
-f- el Que )■ a('si"ne -7—: ot posons
y = X + Y -+- Z, y = a X + l^. Y + -,- Z, ^'■'=a^\ + fiM'+Y5Z.
La (JiUéreucialiou nous donnera
y'=y. X'+jî Y'+ V Z',
— Q-o'"— Qi.r'— Q".)- = «-^'+ ?'-Y'^ y"Z'.
osons encore
il viendra
On a alors d
a3 + Q, a' + Q, a + Qo = A( a - p j ( a - •,•) ,
X'=aX — (AX + BY + CZ), Y'=pY — (AX + BY + CZ), Z'=-/Z — (AX-4- BY + CZ).
, + A - B - A Û -(- I! ^ H C ( - - j = ji - a -t- A
avec des expressions analogues pour les déri\ées logarilhniiques de ^^ et, de y- Lorsqu.e .r croît indélininient, A, H et G et par conséquent le terme coinplénienlaire A tendent vers zéro. La variable ,r ajant une valeur donnée suffisamment grande, on peut trouver un nombre positiC • tel que l'expression
(lA| + lBH-|Gh(i+^j
soit plus petite que la partie réelle de a — j3 et que celle de [i — v. Si alors les valeurs absolues
sont simultanément plus grandes que e, on aura
|Al<(IAH-lB|-HlG!i(^i + ^),
et par conséquent, les dérivées logarithmiques de ^, de ^ et de ^ aiironl leur-. parties réelles négali\es, de sorte ([ue
log
dx
log
SLR LES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. 23 1
De plus lorsque x croîtra iiidéfîniiiient, e tendra vers zéro. Ajoutons d'ailleurs
que la dérivée logarithmique de ^ reste négative quand niênie h^
seraient plus petits que :. De inèine on aura
ou Y
dx -'^
dx °
même si
ou
même si
et \-^
Ouelle est la
Soit niainlenanl H la |)lus grande des deux quantités condition pour que H soit une fonction décroissante de x! .fe dis qu'il sullit que II soit compris entre £ et -> £ étant bien entendu supposé plus petit que i. En effet nous piuvons faire deux Iivpothèses:
(III a alors
lor
et par conséquent
