II
TT > I > s.
D'où Ton doit conclure que la fonction -r; est décroissante toutes les fois
qu'elle est comprise entre £ et -; il en résulte, comme nous l'avons fait voir plusieurs fois, que cette fonction tend en général vers zéro, et qu'elle peut aussi, mais exceptionnellement, tendre vers l'infini. Dans le premier cas on a
Uni u = 3,
dans le second
lim M = Y-
11 n'est pas besoin d'insister pour faire comprendre que ce raisonnement est applicable à une équation d'ordre quelconque. Daiis tous les cas la limite de la dérivée logarithmique de r est une des racines de l'équaticui (2).
De ce que la limite de — est égale à un nombre lini et déterminé a, il ne
s'ensuit pas forcément que -^ tende vers une limite finie et déterminée; car si l'on avait par exemple ^ = xe'"' il viendrait
liiii =^ = a,
lini — = X.
gJtJT
Ce n'est que dans un paragrapiie ultérieur que nous démontrerons que la limite — =^--— est en général finie et déterminée.
Pour le moment supposons que x tende vers l'infini de façon que l'on ail
X = pA,
Si;n I.KS liOL'ATlO.NS LI m; A lit ES AUX DIFFÉlllîNÏIKI.LKS ORDINAIKES, ETC. V,33
p croissant indéfiniment par valeurs réelles positives et K étant une quantité constante d'argument w, et de module i. H est facile de ramener ce cas au précédent.
En efTet Féquallon (i) devient
^ ' X" f/o" ^ X"-' rfp''-' ^■■■^ ), dp ^ '-^ '
où la nouvelle variable o croît indéfiniment par valeurs réelles positives.
L'équation (2) relative à la nouvelle variable et à la nouvelle équation (i'"*) s'écrit
(■j.''") A„3"+ \„-ilz"-> +. . .+ A,X''-i^ -h A„X''= 0,
et si les racines de réf[uation (2) étaient
celles de l'éfpiation (2*") sont
a, X, oi-^'f., ■ . ., a„ À.
Lorsque x croissait par valeurs positives, nous avions
et, étant l'une des racines de (5 ). De même ici nous aurons
— 4- = =('.X, Cf./, étant encore une des racines (")); d'où
y dx
Mais il y a toutefois une différence entre le cas de l'écfualion ((i) et celui de
l'équation ((3'"*). Lorsque x varie par \aleurs positives, la limite a, tic — -f- est,
yax
en général, et en laissant de côté les cas exceptionnels dont il a été question plus haut, celle des racines de l'équation (5) dont la partie réelle est la [)lus grande. Si au contraire j" r= oX la limite a; de — ^ sera, en "énèral. celle des racines de l'équation (5) qui est telle que la partie réelle de y.f^X soit aussi grande que possible.
Nous avons supposé au début de ce paragraphe que l'équation (^!) n'a pas de H V. — I. 3u
■'3i SIR I.KS ÉylATIONS LINKAlllKS Al!\ D11'1'"É1\RXT1KI.LI:S ORDINAMIES, ISTC.
racines multiples et ([uV'lle n'a pas non plus deux racines ayant même partie réelle. \'oyons cependant ce cjui arriverait si cette équation avait deux racines a>anl nièiiie |)ailie réelle.
En premier lieu suppu-.ons (pie ces deux racines ne soient pas celles dont la partie réelle est la plus grande. En particulier, dans le cas du troisième ordre, où nous avons appelé les- trois racines en question a, p, et y, supposons que la partie réelle de i. soit plus grande que celle de [i et y, la partie réelle de [i étant égale à celle de y. En se reportant au raisonnement qui précède, on verrait que )■ étant l'intégrale générale de l'équation (i), le rapport
dy
y dx
a encore pour limite a et que le raisonnement ne se trouve en défaut que dans les cas exceptionnels dont il a été question plus haut (quand la valeur initiale
de II est plus grande que -) et j)ar conséquent pour certaines intégrales particulières de l'équatiou (i).
En second lieu, si l'équation (2) n'a pas de racines multiples, l'équation (2*") n'aura deux racines ayant même partie réelle que pour certaines valeurs particulières de X et par conséquent la difficulté dont nous parlons ici ne se présentera que pour certaines valeurs exceptionnelles de l'argument to de oc.
Reste le cas où l'équation (2) a des racines multiples. Reprenons le cas du troisième ordre où les racines sont a, ^ et y, et supposons a ^ j3. Si l'on voulait répéter le raisonnement que nous avons fait en supposant les trois racines distinctes, on poserait
et l'on reconnaîtrait que la liiiiiie de — est égale à a en général, et, pour une
certaine intégrale particulière, à y.
Nous pouvons d'ailleurs embrasser tous ces cas particuliers dans le résultat suivant qui ne comporte aucune exception et dont nous ferons usage plus tard.
Supposons que x tende vers l'infini par valeurs réelles positives. Soit a un nombre dont la partie réelle soit supérieure à celles de toutes les racines de
SUR LKS ÉOlfATIONS LINÉAIRES AUX DIKFÉRKNTIELLES ORDINAIRES, ETC. 235
l'équation (2). On aura
lilll J' 6—"^= o.
y étant une quelconque des intégrales de l'équation (i).
On peut alors Irouver deux nombres b el c tels que la partie réelle de b soit plus petite que celle de a et plus grande que celle de c, et que la partie réelle de c soit supérieure à celles de toutes les racines de l'équation (2).
Cela posé, considérons l'équation différentielle d'ordre /( + i
Cette équation admet toutes les intégrales de l'équation (1) et en outre l'intégrale e'-'' de sorte que son intégrale générale s'écrit
A étant une constante arbitraire et )i l'intégrale générale de l'équation (1). L'équation (2) relative à l'équation (1''^') s'écrit
et admet les même racines que l'équation (2), plus lu racine c don! la partie réelle est plus grande que celle de toutes les autres.
11 en résulte que l'expression — a pour limite c, lorsque y est l'intégrale
générale de l'équation (i ''"')■
Il j a exception toutefois pour certaines intégrales particulières de celle équation. Ces intégrales exceptionnelles ne sont autres d'ailleurs que les intégrales de l'équation (i) elle-même.
De là on peut conclure qu'à partir d'une certaine valeur .r^ de x on a
