II. — Équations aux différences finies
Avant de poursuivre les conséquences des résultats précédents, nous allons étendre ces résultats aux équations à différences finies de la forme suivante :
(l) P/,I/„+/,-+- I'/,iM„+/.,-H...4- P, «„ + !-+- Po«„= o,
les coefticients P étant des polynômes d'ordre p par rapport au rang n de la
SUR I.rCS EQUATIONS MNIÎAIIIKS AUX hll'l' KIIENHEI.LKS OUDINAIIIRS, ETC. 237
fonclion ii„. Il est aisé de voir l'analogie de cette équation avec les équations linéaires que nous avons envisagées dans le paragraphe précédent; car si l'on
pose
Ah„ = «,,-n— i/„, i-«„ = Ak„+i — Ah„, ...,
l'équation (i) s'écrira
H/,i''«„+ Ha-i A''-i ((„ +...+- Hi A"., + R,)î(„ = o,
les coellicients R étant des polynômes entiers en n.
Nous appellerons A, le coeflîcient de ni' dans le polynôme I',: et nous envisagerons l'équation
(2) \i,z'--\-kk-i ;''"-' -t- ... -f- A, i + Ao = o .
Posons de plus •
Laissant d'abord de côté le cas exceptionnel où l'équation (2) aurait deux racines égales ou deux racines de même module, je vais démontrer le résultat suivant :
l^orsque n tend vers l'infini, le rapport ""^' tend vers une des racines de l'équation (2) et en général vers celle dont le module est le plus grand.
Supposons l'équation du troisième ordre pour fixer les idées, elle s'écrira
««+3 + Qi «H+-2 ■+- Ql Î'«H 4- Qo lin = O.
Soient a, 3, y les trois racines de l'équation (2) rangées par ordre de module
décroissant. Posons
ii„ = \n+ V„-(- Z,„
"rt+l = '■'■ ^;i + 1^ ' /i -t- T Z„, (f„-t-o= a=\„-t- pM „-+- y'Z,,,
on en conclut
Poso
ns encore
"n+3 = '■'■' ^ii+l -t- p- 1 n+\ -+- '!' 2,1+1.
«S-HQ^aî-H Qia-4-Qo= A(«-P)(a-7).
p3+Q.,[32+Q,p + Q„= B(j3-a)(p-7), Ï^-I-Q2ï2-+- Q,yH-0„= C(-^ot)(v p).
■iSS SUR LES ÉaUATIONS LINEAIRES AUX DIKFERENTlIiLLES ORDINAIRES, ETC.
Il viendra
Y„ + ,= pV„-(A\„+BY„ + CZ„),
( )ii tilt" fie là
X„+, V„ " ^^(^^^.^rV^ ^^z^\ avec des formules analogues pour
11 résulte de là que Ion peut trouver un nombre e tel que
el
et
iF^ et
> e, on ait
> e, ou ail
> s, on ait
■Vn+l 1/!
D'ailleurs quand n croil indéfininienl, A, B et C tendent vers zéio; il en est de même de t.
fonction <le ii qui sera décroissante toutes les fois qu'elle sera comprise entre £
et \^\- Je dis que H sera une
et
En ellel deux cas peuvent se présenter :
Donc
v^ et i)ar conséquent H est décioissanl.
De
el
pai
