COI

isé(

liri

1 II est

isan

SLR LES KOUATIONS LINEAlllF.S AL\ DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRIS, ETC. aSg

11 résulte du là que H tend vers zéro comme nous l'avons (nh voir dans le paragraphe précédent, à moins qu'il ne reste constamment supérieur à- •

est une fonction conslam-

Si H est constani ment supérieur à - i je dis que -~

ment décroissante si elle est comprise entre s et 7- On a alors, en effet : 1° ou bien

et par conséquent,

2° ou bien et par conséquent,

Dans l'un et l'autre cas la fonction

est décroissante. On en conclut, en

répétant le raisonnement que nous avons déjà fait bien des fois, (jue vers zéro en général et exceptionnellement vers l'infini. Il y a donc trois cas possibles :

tend

reniier cas, gi'nêral :

Il m

lim H = o

Deuxième cas, exceplloiinel :

lim H = 00, lim

Troisième cas, plus exceptionnel encore lim H = lim

Irm = 2.

lim = 3.

lien

Le même raisonnement s'applique sans difficulté au cas des équations d'ordre supérieur au troisième. Je me bornerai à indiquer ici la marche du raisonnement dans le cas du quatrième ordre.

Soient a, p, y, 5 les racines de l'équation (2) rangées par ordre de module décroissant. Nous poserons

■>4t> Sin LES ÉQUATIONS I.INKAIRICS AliX IHI'FÉRENTIELLES OBDINAIRES, ETC.

Nous démoiiiriToiis ensuite (ju'il existe un nombre e tendanl vers zéro avec et jouissant îles propriétés suivantes :

i" La fonction -rr^ ou ^ , eu supprimant l'indice /i pour abréger, est

sont phis grands

décroissanli' toutes les lois cpic ^ ' V ' 7 ' Pf

que £.

I Z 2" Il en est de même de -^ toutes les Cois que

sont plus grands que s, et ainsi de suite en considérant successivement les

fonctions

^ ) qui sont décroissantes à des conditions analogues,

aeiles à former par des perniulations des lettres. Cela posé, soient II la plus grande des quantités

et H, la plus grande des quantités

On démontre que H est décroissant quand il est compris entre s et-- On en conclut qu'en général II tend vers zéro, et par conséquent, — ^^ vers a.

11 y a exception quand H est toujours plus grand que -, mais alors on démontre que H, est toujours décroissant s'il est compris entre s et;- On en conclut (lu'en général II, tend vers zéro et — ^^ vers 3.

Il V a encore exception qiuind II, est toujours plus grand que 7, mais alors

on démontre que

en conclut (lu'en général 1 41 tend vers zéro, et ""'*'' vers v- ' » I Z I u„ '

Enfin, il reste un dernier cas plus exceptionnel encore que les deux [u'écédents, et où \y reste toujours [)lus grand que-- Alors -^^' tend vers 0.

Il nie reste à examiner les cas où l'équation (2) a deux racines égales, ou deux racines de même module.

Supposons d'abord trois racines c, [ï, y dont deux égales, par exemple,

est toujours décroissant s'il est compris entre £ et -- On T|

Nous poserons

Un-^i = a II + -\\„-j- a \„-i- Y Z„,

d'où

l^n + l+î' ^ ;i+l + Y^«+li

) X„+| -+- ai V„+i + --2 Z„+|.

l'osons niainlenant

a3H-Q,a2-t- Q,7 + Q„=A, ■3a2-t-2Qja+ Q,= B,

il vient

Zn+l = T '^" "+" G',

A', B' et C étant des fonctions linéaires en A, B et C, ayant des coefficients dépendant de X„, Y„, Z„. A, B et C tendent vers zéro quand n croît indéfiniment, et l'on verrait comme précédemment qu'il en est de même, en général, de A', B' et C. Il en résulte que, e/i général,

li.m^^ = lim — - = G, liiii — — î = a.

A-n 1 „ Un

^'oici maintenani une propriété qui subsiste alors même que l'équation (2) admet des racines de même module et qui, par conséquent, ne souffre aucune exception.

Soit a une quantité de module plus grand que toutes les racines de l'équation (2) ; l'expression -|^ tend vers zéro, quand n croît indéfiniment.

La démonstration serait la même que pour la propriété correspondante des équations différentielles démontrée à la fin du paragraphe précédent.