II. F - I. i

lil SUR LES B4UATI0NS LINEAIRES AUX DIFKBRBNTIBLLES ORDINAIRES, ETC.

étudiée dans ce paragraphe, la dérivée logarilhmique

I dy

y dx

tend vers une certaine limite a, mais qu'on n'en pouvait pas conclure immédiatement que ye~*-^ tend vers une limite finie et déterminée. C'est pourtant ce qui a lieu en général ; mais pour le démontrer, nous serons forcés d'employer la transformation de Laplace.

Voici en quoi consiste cette transformation. On pose

y = I V e--' dz.

i- étant une fonction de ; cpi'il reste à déterminer, et l'intégrale étant prise le long d'un chemin imaginaire convenablement choisi. L'intégration par parties donne

xy = I vx e'-^ dz = [f e^-"'] — / j~ *"' ''•^■

Le chemin d'intégration devra être choisi de telle façon que le terme tout connu de celte intégration par parties soit nul, sans cependant que l'intégrale j' le soit elle-même.

■ On aura ensuite

"■^•>' = ~j dz"- '-■^"'^ =- [tTz "--"l ^.1 ,77» '="•' '^''

nu, >i le terme tout connu est supposé nul,

Li ainsi de suite; on aura

x'y = (—1)' I —e-^ dz ( i = o, i, i, . . ., p ),

pourvu (|ue le chemin d'intégration ait été choisi de telle sorte que les termes tout connus des intégrations successives par parties s'annulent, c'est-à-dire que :

De même, on aura

.d''r , . rd'(vzi')

• d'c -r—e~-^dz.

dz^

SUR LES ÉQUATtONS LINKAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. 243

pourvu que les termes tout connus

soient nuls aux deux limites d'intégration. Si nous écrivons l'équation (i) sous la forme

dûo'' \k = O, T, 2, . . ., /(

l'équation transformée s'écrira

d'ivz'')

Pour trouver les points singuliers de celle équation (3), il suffit d'égaler à zéro le coefficient de -3 On trouve ainsi l'équalion

OU, en reprenant les notations du paragraphe 1,

ce qui est l'équation (2) du dit paragraphe.

11 faudrait ajouter à ces points singuliers le point 00 où les intégrales sont irrégulières pour l'équation (3) comme pour l'équation (i). Si l'équation (2) n'a pas de racine multiple, ce que nous supposerons d'abord, le coefficient

(le -7—; ne s'annule que du premier ordre en chacun des points singuliers, d'où il

résulte que pour chacun de ces points l'équalion déterminante a i^p — 1) racines respectivement égales à o, i, 2, . . ., /) — 2, la y^'*"" étant quelconque. Ce sont donc des points singuliers réguliers.

11 faut maintenant choisir le chemin d'intégration de façon à satisfaire aux conditions que nous nous sommes imposées. Nous devons choisir les deux limites de ce chemin de façon qu'en chacune d'elles on ait

Si l'une de ces limites est à dislance finie, on devra avoir d'p

dzi

244 SI" 'K* KQl'ATIONS I.INÉAIIIES AU\ DIFFKRENTIELI.KS ORDINAIRES, ETC.

sans (]iie rialéi;rale r soit identiquemeni mille. Celle limile deiia donc être un /)oinl si/ii; ii/ier. Celle condilioii n'est d'ailleurs pas suffisante. 11 faut encore (|u'en ce point sin';ulier, où comme nous l'avons vu, {p — i) des racines de l'équation déterminante onl pour valeurs o, 1,2, ...,/; — 2, la p''*""' racine de celte équation soit plus grande que [p — 1) et de plus que l'intégrale i' soit convenable meut choisie.

Supposons maintenant une limite à distance inlinio. On devra avoir

lim — — re=-'^ = o, dz' '

et d'abord

lim PC'"' = o.

C'est le moment de recoui-ir à la proposition établie à la fin du paragraphe I. Formons l'équation qui joue par rapport à l'équation (3) le même rôle cjue l'équation (2) par rapport à l'équation (1). Elle s'écrira

en appelant x l'indéterminée qui entre dans cette équation.

L'équation qui donne les points singuliers de l'équation (i) s'écrit, d'autre

part,

^ G/„ xi = o.

Si donc a,, «2, ..., «y sont les points singuliers distincts de l'équation (1), les q racines distinctes de l'équation (4) sont — a,, — a^. . . ., — a^. D'où, en appliquant les principes du paragraplie l, on verra que

lime e-'-' = o,

si z est réel positif, et si en désignant par R.(«) la partie réelle d'une quantité imaginaire w, on a

Si maintenant ;; est imaginaire, et si l'on a

arg z = \, R(xe-";< li(a, e-"), R(.r e-'î-X R(a2 «-'*), ..., R( a; e-")< R(a,/ «-'>•),

le produit ve'^ tendra vers zéro quand z croîtra indéfiniment avec l'argument \. il est clair d'ailleurs qu'il en sera de même des diverses cxpr-essions

dz'

SUR LES EQUATIONS LINÉAIBES AUX DIFFÉRENTIKLLES ORDINAIRES, ETC. 245

Les hypolliéses (5) sont donc suffisantes pour que le chemin d'intégration satisfasse aux conditions que nous nous sommes imposées.

On peut d'ailleurs remarquer que, si le point x est extérieur au polygone con\exe qui, ayant pour sommets certains des points a, laisse tous les autres à son intérieur, on pourra toujours trouver une valeur de X satisfaisant aux inégalités (5).

Supposons donc le point x extérieur à ce polygone que j'appellerai P. Voici quel chemin d'intégration nous ferons suivre au point z. Nous partirons de l'infini avec un argument satisfaisant aux inégalités (5), et après avoir décrit un certain chemin, nous reviendrons à l'infini, soit avec le même argument, soit avec un autre argument satisfaisant également à ces mêmes inégalités. Il faudra naturellement que le chemin ainsi décrit enveloppe un certain nombre de points singuliers [c'est-à-dire de racines de l'équation (2)]; car sans cela, l'intégrale

y = l V e-^ dz

serait identiquement nulle.

Nous pourrons supposer que ce chemin enveloppe un seul point singulier. En effet, un contour enveloppant, par exemple, les points singuliers a^ et «0 peut toujours se décomposer en deux autres, enveloppant, le |)reniier seulement le point rt|, et le second seulement le point a-^. Donc les intégrales qu'on obtiendrait par la considération des contours enveloppant plusieurs points singuliers ne seraient cpie des combinaisons linéaires de celles que nous allons considérer et qui sont engendrées par des contours envelojipant un seul point singulier.

Soit a le point singulier enveloppé que nous supposerons d'abord être une racine simple de l'équation (2). Son équation déterminante, qui est de degré />, a, comme nous l'avons vu, {p — i) racines égales à o, i, 2, ■ ■ ■■, ji — 2, la p''"^^ étant égale à [j. et différente de (/j — i).

Il résulte de là que le point a n'est pas un point singulier pour p — i intégrales de l'équation (3) linéairement indépendantes et que la p"'""' intégrale

s'écrit

<I'(;) étant holomorphe dans le domaine du point «, l'intégrale générale s'écrit

donc

i' = A(i— a)l^^<t>(z) -^'lizj = kyp+'l{z).

246 SUR LES EQUATIONS I.INÉAIBK9 AUX D1FFKHENTIELLE8 OBDINAIRKS, ETC.

it{z) étant holoniorphe dans le domaine du pointa. On a alors

/ ii{z)e'^ dz = o,

d'où

j' = / 1' e--<^ dz = \ I i'i, e-'' dz.

Ainsi, si l'on fait abslraction «lu facteur constant A, l'intégrale y ne dépend pas du choix de l'intégrale c.

Qu'arrive-t-il maintenant si a est une racine double de léquation (2)? Alors l'intégrale générale s'écrira

A et B étant deux constantes arbitraires, $(;) étant holoniorphe dans le domaine du point a, et i'p et f/)i étant deux Intégrales particulières. Il vient alors

y = j V e-' dz = X I Vp e~-^ f/s + B / P;,i e~-^ dz.

Ainsi, quelle que soit l'intégrale c choisie, on ne pourra jamais obtenir poury plus de deux intégrales linéairement indépendantes.

De même si a est une racine multiple d'ordre plus élevé.

Ainsi, à chaque racine simple de l'équation (2), correspond une intégrale de l'équation (1), à chaque racine multiple d'ordre ni, correspçndent m intégrales de celte même équation. On obtient donc en tout de la sorte n intégrales de l'équation (i), et comme cette équation est d'ordre n, on en a l'intégrale générale. Il resterait, il est vrai, à démontrer que ces n intégrales sont linéairement indépendantes, mais c'est ce qui ressortira de diverses propositions que nous établirons plus loin.

Nous n'avons examiné jusqu'ici que le cas où les deux limites d'intégration sont infinies; il est aisé de prévoir, d'après ce qui précède, que les intégrales obtenues, en supposant qu'une ou deux des limites soient finies, ne seront que des combinaisons linéaires de celles que nous connaissons déjà.

Considérons de nouveau un point a qui soil une racine simple de (2) et soient

les racines de l'équation déterminante correspondante. Soit

une intégrale de (3), où 't(â) est holomorphe dans le domaine du point a. Soit

l'intégrale correspundante de (i), la quadrature s'efTectuanl le long du contour défini plus haut, qui enveloppe le point singulier z = a. Envisageons maintenant l'intégrale

Nous supposerons, ce qui est toujours possible, que le chemin d'intégration reste constamment intérieur au contour le long duquel a été prise l'intégrale )'. Si

l'intégrale ^2 sera finie et sera une des intégrales de l'équation (i), d'après ce qu'on a vu plus haut. Mais on voit aisément qu'on aura

Les deux intégrales j', et )'^ ne différent donc que par un facteur constant. Il résulte en même temps de là que l'intégrale j^^ est une intégrale de l'équation (i) toutes les fois qu'elle est finie, c'est-à-dire toutes les fois que

Soient et, , a^., .... a„les racines de l'équation (2) que nous supposerons toutes simples. Soient

les racines de l'équation déterminante relative au point singulier rt,. Il existera toujours une intégrale de la forme

<&,(s) étant holomorphe dans le domaine du point a,, et l'on en conclura l'existence d'une intégrale de l'équation (1),

Y,- = / V, e'-' dz,

pourvu que

|ji,- > — I .

Supposons donc d'abord que tous les a sont plus grands que — i, de façon

■j48 SOR les équations linéaires M\ DIKrÉRENTIELLES ORniNAIRES, ETC.

que les p intégrales Y, exislenl, ou mieux encore, supposons d'abord que tous les II sont plus grands que (y) — i).

Joignons un point quelconque b à chacun des points singuliers a,, a^, ..., a„ par des chemins /,, /^, ..., /„. Soit cn, la valeur que prend au point 6 la dérivée A'^"' de V, quand la variable va du point ai au point h par le chemin /,.

Posons maintenant

T, = / V, «=•<• dz,

l'intégrale étant prise bien entendu le long de /,-.

Il viendra, en appliquant à l'intégrale T, la méthode d'intégration par parties,

(6) x"'T, = x"'-i e''-^c,i, — ^"'-2e''''c,-, -H j;"'-3e''-»c,-2±. ..±e''-'^c,-,,„--irf: / J e-"^ dz.

Soit maintenant di,k.,^ la valeur que prend au point b la dérivée X''"""^ de V,;j; il viendra de même

(7) ^"' -^ = -^"'~' e''^ di.o.,,— x">-^ ei'^di.t.,, + ...zf i '"l/J,f e~^ dz.

D'ailleurs, il est clair que les <i,-.A.j s'expriment très simplement à l'aide de b et des d.k-

11 résulte de ce qui précède que, si l'on substitue T, à la place de y dans l'équation (1), le résultat de cette substitution s'écrira

( 8 ) A ( Ti) = gi.p^x xi'-i e'-^-t- gi.i^j,xi>-^ eb':-\-...-^gi.„ e*-»-,

les coefficients gi,^ étant faciles à calculer en fonction des c,./,. Si n est plus grand que p., on pourra trouver n nombres

A,, hi. .... h„ satisfaisant aux conditions suivantes :

(9) Z..'''Si.k='^ (/.=o.

Le nombre des solutions linéairement indépendantes des équations (9) sera donc de {n — p).

On aura alors

ce qui veut dire que "ZlicTi est une intégrale de l'équation (1). C'est une inté-

SUR LES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. 2/ig

grale prise le long d'un chemin complexe, mais restant toujours à distance finie.

11 existe toujours (ii — p) pareilles intégrales linéairement indépendantes. Ces intégrales diffèrent essentiellement de celles dont une limite est infinie. Ces dernières ne sont valables que si le point x est extérieur au polygone P, d'après ce que nous avons vu plus haut; au contraire, les intégrales telles que S/i,T,, c'est-à-dire les intégrales prises le long d'un contour à distance finie, sont valables quel que soit .r. De plus, elles sont lioloniorphes dans toute l'étendue du plan.

Posons

Les équations (9) peuvent d'ailleurs se remplacer par les équations plus

simples qui suivent

ZhiCik = o.

Il suffit pour s'en convaincre de rechercher quelle est l'expression des coefficients gii^ en fonctions des cut. Mais des équations ainsi transformées, on déduit aisément l'identité suivante :

qui subsiste quel que soit ;. On a, par conséquent.

Ces relations montrent dabord que la nouvelle intégrale S//,T, n'est pas linéairement indépendante des intégrales déjà connues Y,; elles font voir ensuite que, lors même que tous les u. ne sont pas plus grands que (/> — 1), l'expression S/«,T/ reste une intégrale de l'équation (i) pourvu que les T, et les Y,- soient finis, c'est-à-dire pouivu que tous les p. soient plus grands que - — I .

Qu'arrive-l-il enfin si tous les u ne sont pas plus grands que — i ? La difficulté est aisée à tourner. Décrivons du point b^ comme point inilial, un contour fermé revenant au point b après avoir enveloppé le jioint singulier f/,. Opérons de même |)Our chacun des points singuliers. Nous aurons ainsi // contouis fermés ^, Z^, ..., /„• Appek)ns T, l'intégrale

f\,e='dz, H. H. - I. 3)

prise le long du contour //, ou ce qui revieni au même, l'intégrale

(' 6'^ dz

le Ions; du même contour, ('désignant une intégrale ^fue^conyj/e de l'équation (3). Appelons c,a 1;' valeur dont s'accroît la dérivée A'*"° de V,- quand on décrit le contour //, en parlant du point b comme valeur initiale et revenant au point b comme valeur finale ; appelons de même di.is.q la valeur dont s'accroît la dérivée /;"'''"' de \ iz'^ dans les mêmes circonstances.

Si l'on emploie ces notations, les équations (6), ('j) et (^8) subsisteront. Par conséquent, si l'on a n nombres //,■ satisfaisant aux équations

(lo) ï:/^,c,,^ = o,

l'expression ^/i/Ti sera une intégrale de l'équation (i). Cette expression jouit d'ailleurs de la propriété remarquable d'être holomorphe dans tout le plan.

Or, les équations (lo) admettent (/; — p) solutions linéairement indépendantes.

Donc, si n > /', l'équation (i) aura (n — p) intégrales liolomorphes dans tout le plan.

Ce théorème peut d'ailleurs se démontrer directement.

Je n'insisterai pas davantage sur celte transformation de Laplace qui permet, comme on le sait, d'intégrer l'équation (i) lorsque p = i .