I J I < ML

lim J = 0 pour x = x. c. Q. F. D.

Passons maintenant au cas où le chemin d'intégration restant toujours à

gauciie de la droite

s'étend à l'inlini par l'une de ses extrémités. Nous supposerons de plus que,

quand z croît indéfiniment en suivant le chemin d'intégration, on peut trouver

un nombre X tel que

lira i>e^'^ = o.

Cela est loujours possible comme le prouve le paragraphe I, avec les fonctions i> que nous avons à considérer.

Faisons encore une hjpotlièse sur le chemin d'intégration. Nous supposerons qu'il se compose d'un certain arc de courbe situé à distance finie, suivi d'une portion de ligne droite s'étendant à l'infini ; pour tous les cas que nous avons déjà considérés ou que nous aurons à considérer dans la suite, rien ne s'oppose à cette hypothèse. Dans ces conditions, on peut trouver un nombre fx tel que l'intégrale

/ I e\^~ ds

soit égale à une quantité finie [.. On pourra également trouver nu nombre M,

tel que l'on ait constamment

Nous pourrons toujours supposer A et ijl réels. On aura alors

i = I V e'". e-<-f-''-|i'. el^= ds,

d'où

I J I < LM e-5(x-X-(ii,

quand x croît indéfiniment; on a donc

lim J = o. c. Q. F. D.

■':>2 Srn I,KS ÉOI ATIONS I-INÉAIUES aux nil-l-KnENTIELLES ORDINAinEP, ETC.

De même on verrait aisément que x'" i tend encore vers zéro, quelque f^rand que >oit l'exposant m.

Nous allons niainlenanl étudier l'intégrale suivante :

<• £=■•• dz.

La limite supérieure d'intégration peut être une quanlilé finie a, ou bien être infinie, mais le chemin d'intégration restera toujours à gaucLe de l'axe des parties imaginaires. La (onction c sera assujettie aux mêmes conditions que plus haut ; je supposerai de plus que dans le domaine du point zéro, la fonction v peut se développer en série de la forme suivante :

(i) Aos»-)- A,3«+i-f-A2Z'-<+-'-i-. . .,

a étant quelconque.

Je dis que dans ces conditions,

j:«+iJ tend \ ers — r(a + i)Ao

quand x croît indéfiniment.

En effet, nous pouvons toujours supposer