I A„ |< HP

•j. et p étant deux quantités convenablement choisies de telle façon que le rayon du cercle de convergence de la série (i) soit égal à -•

Nous pourrons décomposer le chemin d'intégration en deux parties : la première, intérieure à un cercle décrit du point zéro comme centre avec /■ pour rayon (rp <] i) ; la deuxième, extérieure à ce cercle. Nous aurons alors

J = K + ll,

K et II étant les deux parties de l'intégrale correspondant à ces deux parties du chemin d'intégration. D'après ce qui précède, il vient

lim 37»+' H = o.

Il reste à chercher la limite de a;'^+' K. Nous pouvons écrire

V = Aojî'-H A,^»+'-i-...-hA„,;^+"'+ M,„, R,„ étant le reste de la série (i). Il vient alors

0 I z^ e^--: (Iz -{- \, z'-'--'-' e--' dz ^...-ir- \,„ j :.=^+'" e--'^ dz -tr- j II,,, e=^ dz,

SUR LES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENTIELLES ORDINAIRES, ETC.

les intégrales étant prises le long de la première partie du cliemin d'intégration. On aura

tx( ro )"'->-i r«

i— rp

Si donc l est la longueur de la première partie du chemin d'intégration, il viendra

On peut toujours prendre m assez grand pour que le second membre de cette inégalité soit aussi petit qu'on voudra. .Mais on peut aller plus loin encore. Supposons, ce qui est toujours possible, que la première partie du chemin d'intégration soit recliligne, et pour fixer les idées davantage encore, qu'elle se réduit au segment de droite o, — ;■. Il viendra alors

ou enfin

a;!x-M / \i.«-e~-^dz\<T{a-i-i),

r((X4-l)fj(rp)"'-^'

Comme ro est plus petit que i, on pourra prendre m assez grand, quel que soit x, pour que le second membre de cette inégalité soit plus j)etit que , /• étant indépendant de .r.

Le nombre m est désormais déterminé, et nous allons faire varier x. Le y"'""^ terme du second membre de l'expression (2) s'écrit

T,= A,/ f z^+'i e-^ dz.

Cherchons la limite de T^a;"+' ; pour cela posons

II7 = A,/ / zO'+'i e--^ dz ;

un aura

lira j'<»+'U,/= o,

d'où

lim a:ï+i x,, = lim x=^+- A , / z^^'l e--^ dz = Vu

Ti a -I- <7 -f- i)A, ^1

Cetle limite est égale à zéro si f^r est positif et à — r(a-[-i)Ao si y est nul. Donc

25.( SUB LES ÉQUATIONS LINÉAIRKS Al'X DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, KTC.

si Ion niiiltipUe |)ar x^"^' chacun des m premiers termes du second membre de {2), le premier des produits ainsi obtenus aura pour limite — A(,r(a + i), et les autres zéro. Or, nous pourrons toujours prendre x assez grand pour que chacun de ces piodiiils difTèrc de sa limite d'une quaiilité moindre cjue

On aura alors d'où

lim .r"-"-' J = lima;"+' K = — Ao r(a ■+■ i). c. o- F. d.

Nous allons enfin considérer l'intégrale suivante :

prise le long d'un contour enveloppant le point zéro.

,Ie supposerai qu'à l'intérieur de ce contour la fonction v soit partout holomorphe excepté au point zéro, et que dans le voisinage de ce point cette même fonction puisse se mettre sous la forme (i). On peut remarquer que, dans cette expression ( i ), il n'est plus nécessaire de supposer y.^ — 1 , comme nous avions dû le faire dans l'exemple précédent.

Nous allons faire croître x indéfiniment par valeurs réelles positives. Nous pouvons donc supposer que le contour d'intégration est formé comme il suit :

1° Une portion de ligne droite AB venant de l'infini et se terminant à un certain point B.

2° Un arc de courbe quelconque BC allant du point B au point C ==: — /', /■ étant une quantité positive très petite. Ces deux premières portions du contour seront tout entières à gaucJie de l'axe des parties imaginaires.

3" Un cercle décrit du point zéro comme centre avec /• pour rayon, commençant au point C pour finir au point C.

4° et 5° L'arc CB et la droite BA parcourus en sens inverse.

Nous poserons alors

.1 = Il -I- K -H H',

H se rapportant à la portion ABC du contour, H' à la portion CI5A, et K au petit cercle de rayon r.

11 vient alors, d'après ce qui précède,

limx«+'J = lima;«+'K.

On a, d'autre part,

On peut toujours supposer que m est assez grand pour que a + m soit positif. . Dans ce cas rintéi;rale

piise le loni; du cercle de rayon /■, est égale à

'-'il Elle est donc plus petite en valeur absolue que

r(« + 1) ;ji(/-p/"+'

I gî'itac I

i—rp

et elle tend uniformément vers zéro quand m croît indéfiniment, et cela quel que soit x.

De même on a

lini x^+' I 3»+'/ €•■': f/i = o ( y > o),

linia;«+i / a« e^-^' rfs = — f i — e"ta) r(a -f- i).

On déduit de là, par le même raisonnement f|ue plus liaul,

lima-«+' J = lima;»-*-' K = ( e-'"*— i) A,, r(a + 1). c. Q. r. D.

Le second membre prend la forme illusoire o X «5 lorsque x est entier négatif. Mais dans ce cas il est aisé de voir que la fonction sous le signe / est méroiiKjrphe à l'intérieur du contour d'intégration. On a donc

Pour passer au cas où le point singulier enveloppé par le contour d'intégration n'est pas zéro, mais un point quelconque a, il suffit de changer z en z + a. l'our passer au cas où x croît indéfiniment, non plus par valeurs réelles positives, mais avec l'argument Xj il suffit de changer x en xe'^ en même temps que z en ze"'^. Les résultats se déduisent immédiatement de ceux qui ont été énoncés plus haut.

256 SUB LES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX niFFÉRENTIELLES ORniNAIRES, ETC.

Il est aisé devoir comment ce qui précède peut s'appliquer aux intét;rales de l'équation (i). Soient

les n racines de l'équalion délcrniinante relative au point singulier «, et c/ rintéï;rale qui peut se mettre sous la forme

{z — ai)\'-^i{z),

'!>/ étant holomorpiie dans le voisinajjc du point it;.

Nous allons faire tendre x vers oo avec l'argument A. Soit maintenant /, un chemin d'intégration dont les deux limites sont rejetées à l'infini et enveloppant le point singulier a;. Nous supposerons que quand ; tend vers l'infini le long de ce contour, son argument tend vers une limite "h! telle que

par exemple vers tî — A.

Soit enfin

iT , , , 3 7:

yt=Jvie-^dz,

l'intégrale étant prise le long du chemin /,.

F'our achever de préciser le contour /,, nous le formerons : 1° de la droite a, +Re''"~^', r/,- + s e'''^~' , R et s étant des quantités, la première infiniment grande, la seconde infiniment petite ; 2" d'un cercle complet décrit du |)oint a, comme centre avec s pour rajon ; o" de la droite rt, + îe"""'', «j + Re"^""' parcourue en sens contraire. Ce contour pourra d'ailleurs être remplacé par tout autre contour équivalent.

Dans ces conditions, lorsque .x croîtra indéfiniment avec largunienl /,, l'intégrale )'; se comportera comme

c'est-à-dire que le rapport

tendra vcis line limite (inie et déterminée.

Tel est le résultat, plus complet que celui que nous avions obtenu au paragraphe I, que nous permet d'atteindre la transformation de Laplace.

On remarquera d'abord le rôle important que joue dans ce résultat l'argument A avec lequel a: croît indéfiniment. On en conclura que les intégrales de l'équation (l) ne se comportent pas de la même manière (|uelleqiie soit la taçon dont X tend vers l'infini.

Une autre conséquence imporlante, c'est que les n intégrales

Xi- Xi, •••- y,,

sont linéairement indépendantes.

Faisons croître, en cfl'et, x par valeurs réelles positives, et supposons que les ?i quantités

soient rangées par ordre de parties réelles croissantes. (On peut toujours supposer qu'il n'y a pas deux de ces quantités qui aient même partie réelle, sans quoi on ferait croître r indéfiniment avec un aii;ument différent de zéro.)

Soit

A, = lim e-''i-^xV-t+^ y-j (A, dilTcreut de zéro).

Supposons qu'il existe une identité linéaire entre nos n intégrales

Multiplions l'identité par

et faisons croître x indéfiniment. L'identité devient à la limite

C„A„ = o, d'où C„=o.

Effaçons le dernier terme de l'identité (3), multiplions-la par

et faisons x = x. II vient encore

C„, A„i = o. d'oi'i C„i = o.

En continuant de la soite, on démontrerait successivement que tous les coefficients G sont nuls, ce qui montre que nos n intégrales sont linéairement indépendantes. La transformation de Laplacc conduit donc à l'intégrale générale de l'équation (i).

Il est aisé d'étendre ce raisonnement au cas où l'équation (^a) a des racines multiples.

Dans le paragraphe 1, nous avons vu que si

il peut y avoir certaines intégrales particulières dont la dérivée logarillunique

tend non pas vers a„, comme cela a lieu pour l'intégrale générale, mais vers

«„,, vers a„2, ... ou vers a,. Toutefois les principes de ce premier para-

■ii& SIR LES liol'ATIONS I.INEÎAIIIKS AUX DIl'FEnF.NTIlîLLES ORDINAIRES, ETC.

graplu' ne nous pciinelluicnt ]);is diiflirmer (jiir ces Intégrales parùculières exislaiont réellement. Ce que nous vouons de dire démontre l'existence de ces intégrales particulières.

Comme applicalion de ce qui précède, posons-nous le problème suivant :

Reconnaître si r<'i/i/ii/io/i (i) ddiitet comme intégrale un polynôme en lier.

Pour cela il faut d'abord que l'une des racines de l'équation (2') soit nulle. Supposons qu'elle soit simple; soit par exemple :

Il faudra ensuite que la quantité que nous avons appelée [j., soit entière négative. Quand u, est entier, il n'existe pas en général d'intégrale de l'équation (3)

de la forme

car le j)oint singulier (// est en général un point singulier logarithmique. Si l'intégrale c contient des logarithmes, l'intégrale

e'-'' dz

prise le long d'un contour // en^eloppant le point zéro, ne peut se réduire à un polynôme entier.

Mais dans certains cas particuliers, le point sngulicr zéro n'est pas logarithmique, il existe une intégrale de la forme

<t/ étant holomorj)lio dans le voisinage du point zéro. La fonction re'-'' est alors méromorphe à l'intérieur du contour /,, d'où il résulte que l'intégrale yi se réduit à un polynôme entier.

Ainsi pour que l'équation (i) admette pour intégrale un polynôme entier, 11 faut et il suffit :

1° que l'équation (2) ail une racine nulle;

2" que l'une des racines de l'équation déterminante relative au point singulier correspondant de l'équation (3) soit entière négative ; 3" que ce point singulier ne soit pas logarithmique.

Cela peut d'ailleurs se vérifier directement.

SLR LES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. 2jg