V. — Étude du groupe de l'équation (i

Cliaciin sait ce qu'on entend par ■groupe d'une cqiiation linéaire. Lorsque la variable indépendante décrit un contour fermé autour d'un point singulier, les intégrales de l'équation subissent une substitution linéaire et c'est la combinaison de ces substitutions qui engendre le groupe de l'équation.

On sait également qu'une subslitutlon linéaire est caractérisée principalement par ses multiplicateurs et que les multiplicateurs de la substitution relative à un point singulier s'obtiennent immédiatement, lorsque les intégrales sont régulières dans le voisinage de ce point. En efiet on les déduit aisément de l'équation déterminante relative à ce point.

Il n'en est plus de même quand le point singulier est irrégulier, c'est-à-dire quand les intégrales ne sont pas régulières dans le voisinage de ce point. On n'a alors pour le calcul des multiplicateurs que des méthodes d'approximation plus ou moins rapides.

C'est ce qui arrive pour l'un des points singuliers de l'équation (i), à savoir pour le point x = ao. Ce point sera en effet irrégulier en général. Pour qu'il fût régulier, il faudrait que, le polynôme P„ étant de degré />, le polynôme P„i fût de degré (p — i) au plus, le pohnome P,,2 de degré (p — 2) au plus, etc. Dans ce cas l'équation (?.) aurait toutes ses racines nulles. Si on laisse de côté ce cas très particulier, on n'a pas de méthode rapide pour trouver les multiplicateurs de la substitution S que subissent les intégrales de l'équation (1) quand le point x décrit un cercle de rayon très grand.

Le groupe de l'équation (.'>) est dérivé de n substitutions fondamentales correspondant aux différents points singuliers de cette équation, c'est-à-dire aux différentes racines de l'équation (2). Si ces racines sont simples, les points singuliers correspondants sont réguliers. On peut donc trouver aisément les multiplicateurs de ces subslilutions fondamentales, mais pour calculer les coefficients du groupe lui-même, il faut employer des méthodes d'approximation.

Il y a toutefois entre le groupe de l'équation (3) et la substitution S, un lien que je désirerais faire ressortir. Si nous supposons connu le groupe de l'équation (3), je dis que nous connaîtrons aussi la substitution S.

Voici sous quelle forme nous nous donnerons les coefficients du groupe de

l'équation (3). Considérons un point singulier quelconque a, de cette équation;

soient

26o SI II LES KOUATIONS I.INKAlKIiS VIA DIFI'ÉRKNTIKLLES ORDINAIRES, ETC.

les racines de sou oquulion délermiuiiiite el

les inlégrales correspoiidaiiles île telle façon que

»>//, = (-- -«/)'■-'•!'(;) (/v- = i, V, ...,/> -1), *;■,,= (z — ai)\>- <I'(3),

$(;) étant holoniorpiie dans le voisinage du point a,. Soit 6, un point très voisin du point rt/. Opérons de même pour chacun des points singuliers; joignons bih/] quand la variable :; ira de bi en bj en suivant la droite b,bj, les intégrales r/^ prendront certaines valeurs qui pourront s'exprimer linéairement à l'aide des intégrales cy.A.

En d'autres termes, il y aura une substitution linéaire S/y qui changera les intégrales i'n dans les intégrales e^v,, de telle façon qu'on puisse écrire avec la notation symbolique ordinairement employée :

1',/.= t'iA-S,;.

La connaissance des substitutions S,y suffit pour déterminer le groupe de l'équation (3). Ce sont en ellet les substitutions que j'ai appelées auxiliaires dans mon Mémoire sur les groupes des équations linéaires (Acta malhematica, t. 4, p. ao'j; i884) (')■ H est à remarquer que ces substitutions ne sont pas indépendantes les unes des autres.

On voit aisément que si l'on connaît (n — i) des substitutions S,y (convenabloment choisies) on connaîtra toutes les autres (^loc. cit.^ p. 207). Nous conserverons néanmoins, pour plus de symétrie dans les notations, les «(/i — ^ i) substitutions S,y et Sy/.

Nous achèverons de délinir les intégrales c,/, grâce à la convention suivante :

1" si /, := j9, ^{z) se réduit à 1 pour z = ai ;

2° si A<ip, î>(3) se réduit à i et ses (/; — 1 — A) premières dérivées s'annulent pour ; =: «,.

Cela posé, supposons d abord x réel positif et très grand. Supposons que les droites a/è; qui sont très petites soient parallèles à l'axe des parties réelles et de telle fanon que :

Soit D, une demi-droite |)arallèle à cet axe, parlant du point b; et s'étendant à l'infini du côté des parties réelles négatives. Soit C, un cercle décrit du

'') f^*:'inres, t. Il, p. 3oo.

SUIS Li:S liyUATIOXS LlNliviniîS AUX DIFFÉBIÎNTIELLES ORDINAIRES, ETC. ïOl

point Ui comme centre, avec a,bi pour rayon. Soit /, un contour formé de la droite D,-, du cercle Cj et de la droite D,- prise en sens contraire. Soit :

yi=j vt,,e--'^dz,

prise le long du contour /,.

Supposons maintenant un chemin quelconque E,; partant du point bi et sélendnnt à l'infini de toile façon que l'argument de z tende vers la limite -n. Soit T-., un contour formé du ciiemin E,, du cercle C, et du chemin E,- pris en sens contraire. Cherchons à évaluer l'intégrale

J = / i'i> e=<" dz,

le long du contour L,.

.le puis toujours supposer cjue le chemin E, ait été remplacé par un contour E'j équivalent, c'est-à-dire tel que l'on puisse transformer, par une déformation continue, E; en E^ sans franchir aucun point singulier. La valeur de l'intégrale .1 n'en sera pas changée.

Or on pourra toujours trouver un chemin E^ équivalent à E,; et formé de la façon suivante ; ce chemin se réduira à une liane brisée dont les sommets seront des points cj^ infiniment voisins de divers points singuliers aj. Le premier de ces sommets sera /',= c,. Le sommet suivant sera cy, infiniment voisin d'un point singulier aj. mais pouvant être différent de b j. Puis viendra C;, infiniment voisin d'un point singulier n^, et ainsi de suite. Enfin la ligne brisée E| se terminera par une demi-droite partant du dernier sommet, parallèle à l'axe des parties réelles et dirigée du côté des parties réelles négatives.

Nous pourrons supposer que le contour formé de la ligne brisée E'- et de la demi-droite D, ne contient pas à son intérieur d'autre point singulier que ceux qui sont infiniment voisins d'un des sommets de E^ . 11 est évidemment possiljle de déformer d'une manière continue ce contour, jusqu'à ce qu'il aille passer infiniment près de chacun des points singuliers qu'il contient à son intérieur (et cela sans lui faire franchir aucun point singulier).

Supposons maintenant que l'on étudie ce que devient l'intégrale c,-/, lorscjue la variable z partant du point bi décrit la ligne brisée E|. Au moment où nous arriverons en un sommet Cj de cette ligne brisée, infiniment voisin d'un point singulier ny, et que nous serons par conséquent dans le domaine de ce point singulier, l'intégrale Vip pourra s'exprimer linéairement à l'aide des p intégrales

■262 SLR LES ÉQUATIONS LINÉAIRES AIX 1)11 I ÉHKNTlELLIiS ORDINAIRES, ETC.

de telle façon ciu'oii aura

(4) ''/.,.= a;., (7,,+ A)..,i>/.j + ...-+- A^./,cy,,,.

Les coeflicienLs Ay , peuvent èlre regardés coinnie connus, car leur valeur découle immédialement de la connaissance des subsliuilions S,j, c'est-à-dire de la connaissance du groupe de l'équation (3).

Cela posé, nous pouvons décomposer le conlour L, de la manière suivante : soit A,- le conlour formé de la ligne brisée E]- cl de la demi-droite D,. Nous remplacerons L, par le conlour A,, par le conlour /, cl par le conlour C, pris en sens contraire. I>c contour lolal ainsi obtenu est évidemmeni écpiivalenl à L,.

L'intégrale

prise le long de /,, n'est autre que i/.

Si l'on appelle K la même intégrale prise le buig de /.,, on aura

Maintenant si le conlour ),, contient un certain nombre de points singuliers

aj, aj', cij-, ...,

on pourra le ieni|)lacer par les contours correspondants

L'intégrale

prise le long de /y, se réduit, en vertu de la relation (4), à

il vient donc enfin

( 5 ) J = ( I - e^'Tta. ; v/ A/,^, j.^. + J-,-.

On voil que si a,- est entier négatif et si le ])oint rt, n'est |)as logaiilliiiilf[ue, il reste

quel que soit le chemin L,.

Cela posé, voyons ce que deviendra l'intégrale j) , lorsque .r, partant d'une valeur réelle positive très grande, reviendra à cette valeur après avoir décrit un cercle de rajon très grand. Pendant que x variera de la sorte, nous serons obligés de déformer le conlour /, le long duquel est prise l'intégrale jj',-; car si

SLR Li;S lioi'ATIO.NS I.INKA1BIÎS AUX DIK|-KHENTlELr.ES OIIDINAIRES, ETC. 9.63

l'on ne cliaiigeait pas ce contour, quand l'argument de x serait devenu plus

grand que-^, l'intégrale aurait cessé d'être finie car la valeur absolue de e"

aurait pu devenir jilus grande que toute quantité donnée.

Voici maintenant comment il faut déformer le contour /,; nous conser\erons le cercle C, mais nous remplacerons la demi-droite Dj parcourue deux fois en sens inverse, par une ligne quelconque E, qui partira du point // et s'étendra à l'infini et qui devra être également parcourue deux fois en sens contraire.

Dt

Nous nous arrangerons toujours pour que l'argument de x soit à chaque instant égal à - moins l'argument que prend ; en s'éloignant indéfiniment sur la ligne E,. De plui il faudra que la ligne E, dérive de la demi-droite D/ par déformation continue et cela sans jamais franchir aucun point singulier.

Quand l'argument de x sera revenu à la valeur zéro, après un cercle complet, la ligne E, (que d'ailleurs on peut toujours, comme nous l'avons vu, supposer réduite à une ligne brisée E]) prendra une forme définitive F, et l'argument de s à l'infini sur Fj sera égal à -.

Ainsi dans la figure i , on a supposé 5 points singuliers «, b. c, cl, e et l'on a figuré le cercle C/, la droite D, et la ligne F,.

L'intégrale prise le long du contour formé de la ligne F,, du cercle C/ et de la ligne F; prise en sens inverse, peut se calculer par le procédé que nous avons exposé un peu plus haut; elle aura pour valeur

en conservant les mêmes notations qu'au commencement de ce paragraphe.

at>;i SIR I.KS K^l'ATlONS I.INKAIIIRS AUX nilM'KIlE.NTIiai.ES OIIDINAIBES, ETC.

Mais cette intégrale n'est aiilrc rliosc que ee que devient r, quand x a déerit un cercle très grand.

Nous avons donc la valeur finale de y, exprimée linéaiieiiienl à l'aide des

valeurs initiales des n intégrales Vt, Js J«- En d'autres termes, quand

nous connaissons le groupe de l'équation (.'5), nous connaissons aussi la substitution linéaire que subissent les intégrales de l'équation (i). lorscpie la variable r déerit un cercle de rajon 1res grand. c. q. f. n.

Ou peut d'ailleurs faire la remarque suivante. Si |ji, est entier négatif et que le point a, ne soit pas logarithmique, la valeur finale de )', ne dillere pas de la valeur initiale; cette intégrale n'est pas altérée par la substitution linéaire que nous envisageons. On devait le prévoir puisque nous avons vu que cette intégrale se réduit alors à un polynôme entier.