VI. — Généralisation des paragraphes I et II

Dans le paragraphe 11 nous avons considéré l'équation aux dillérences linies

(i) P/.((„+/,-H PA^iî<„4./,i-t-. . .+ P, ;/„+,+ Pu('„= 0,

OÙ les coefficients sont des polynômes d'ordre p en n. Nous avons vu que la limite du ra]iport

était en général celle des racines de l'équation

(2) A/.c*-+- A/,i ;:'•-' -H. . .h- Ai 3 + A» = o,

dont le module est le plus grand; A/ désignant le coefficient de ni' ilans 1'/. Nous avons piisé ensuite

d'où

B, = lim Q, (;i = X)

et nous avons vu qu'on peut remplacer les équations (1) et (a) par les suivantes

(l'"'») Un+k-i- Qt-I "«+/.— 1 -t- • . ■ + Qo «n = •'.

(2'"*) ^*-H Bi i 3''-' + ...-+- Bo = o.

Nous avons vu également que le résultat subsiste encore, lorsque (), au lieu d'être le quotient de deux polynômes entiers de degré /; en /(, est une fouclion quelconque de h, tendant vers la liiuile B, cpiand n croît indéfiniment.

Si lune des quantités B, est infinie, on en conclut que le rapport — ^^ croît indéfiniment avec n. C'est ce qui arrive en particulier quand le polynôme P* est de degré inférieur à celui des polynômes suivants P/.

Il est nécessaire alors d'employer l'artifice suivant :

Posons

[X étant une constante réelle positive qu'il s'agit de déterminer de telle façon nue -^^ tende vers une limite finie.

L'équation (i bis) devient

""+'-■ + (TTTTyi^ '" ^'•- + [(„-4-/o(«^A-.)]i^ ''"^''-' + ■••="' et il s'agit de déterminer [jl de telle façon que, pour n = ce, les expressions

[{n-hk)\]V-

soient toutes finies sans être toutes nulles. Pour cela, il suffit d'envisager le degré en n de chacune de ces expressions, c'est-à-dire l'exposant de la puissance de n par laquelle il faut la diviser pour que le quotient tende vers une limite finie quand n croit indéfiniment. Supposons que le coefficient Pi de l'équation (i) soit un polynôme entier de degré pi en n; Qj sera alors de degré {pi— p/,). Or

est un polynôme d'ordre /. — i en n. Donc le degré en n de l'expression (3) est

Pi — [H — [i.{k—i)- Il faut donc donner à jj. la plus j)etite valeur qui satisfasse aux inégalités

(4) Pk-i-['-/'LPi-^ i^i-

Si l'on cliolsil jiisleincnl pour ia cette plus petite valeur, toutes ces inégalités seront satisfaites, de telle sorte que toutes les expressions (3) tendront vers une limite finie et une d'elles au moins se réduira à une égalité, de telle sorte (jue toutes les expressions (3) ne tendront pas vers zéro.

On peut trouver graphiquement cette plus petite valeur de [x de la manière suivante; on marquera tous les points qui ont pour abscisse «et pour ordonnée pi; on construira le polygone convexe qui enveloppe tous ces points, et H. P. — I. 34

'6fi SI II l.KS KQUATIONS I.INKAIHIÎS AUX Kl I' I lillI.NI'l lil.l.lîS (II\|IINAII1I:.S, lîlO.

aiiLiiiiaiic doiiiir la valeur de u..

Soil alors (', la liiiiili' de l'expression (3) pour /; r z: -yj, ou loiuieia recjuaUou

( l.!'-') Zl'^ r,/,: 1 ;'.-!+...+ G, C -)- C„= O.

Soil 7. colle lies racines de celle cqiialion (pu a le module le plus j^iaiid, nous aurons

(/j+i) !'• = « ( pour /( = «).

Supposons iiiainleiiaiil (jiie Ions les H/ soleil! mils, le ia|i|)i)rl -^^ lendra vers zéro, l'oiir se rciidi-e eoiiiple de la façon donl ce iaj)port tend vers zéro, ou clicrcliera encore la plus |)elile valeur de [;. (pii satisfasse aux inéi;a!ilés {/\)\ celle valeur sera celte fois négative. On posera encore

Il I équation (i'"'^ deviendra

fin iDiiiieia re(jualion

yk^S: !(;,:'=:

c'ii appidant Ci, la limite piuir /< infini, du coidlicient de r„ , , dans I écpialion (i''' )• Si l'on désigne ensuite par a cidlc des racines de (2''') donl le module est

■Slîll IJiS ICylîATlONS LINIÎAIRKS AUX Din' KHKNTIKI.LISS OnDINAlHKS, ETC. ïfiy

Ir plus ^l'iiiul ou .'iiii'.'i

litn — ^';- (/( -H I )-!'• = oc I |)()Mi' /( = 05).

Ui,

r.;i iiK^nic niétliddc prul s'applliiuci- aux (''quations

(a) A„c''-4- A„, 3""' +...-4- Aij -H A„ =0,

ouvisagéos dans le |iaiaf;ia|)lii- II.

Supposons (pic (picl(|iics-uiis lies 15 (JcvK'UUcnl luliuis <iu (pu' Ions 1rs l> devienuriil nuls. Dans Ir premier cas In dcrivi'c l(if;aiilliuii(|u<' <li' )• tciidia vci's l'iiiliiil, dans le second cas vers zéro.

Ou pourra loujoui's Irnuvo^r deux noiul)res (1, et 'i; tels (jiie

Uni ^, =1 I pciiir 3? = »).

Si [X/=:o, \\i=(\i\ si |Ji/>o, U/=v. ; si |X/<o. 1!/— o.

On considénra alors l'ilipialion

{■/.''■'■) z"-\- C„ -,a;l'-..-iî"-<-h. . .-1- CiT!'-.; -\- Cnxl'-'— o.

Si dans (■elle é(pialiiiii on pose z =^ tx' , elle di-vienl

e"-h y:(\,x\>-i-i'"-iu' = o.

On donnera à X une valeur telle que tous les exjiosants A/ — ),(// - /) soient tous nuls ou néf^alil's, sans être tous néf^atifs; et faisant ./'^rx dans l'éipiation précédente, il viendra

où

ù'l=(\l si |A/ =),(/( — /),

C/=o si |X/<X(« — (').

L'équation ( ^j//""''' ) en t aura alors toutes ses racines finies, sans (pi'eilos soient toutes nulles, .l'appellerai y. celle de ces racines dont la parlii' léelli! est la plus f;rande. .le dis qu'on aura en général

hm x->- — — = y., y ax

IVmr le démontrer, changeons de variable en posant p étant un exposant qu'il reste à déterminer; il viendra

les D étant des coefficients numériques.

L'équation (i'"') devient alors (i") i:Q*D,/,ar'P-*-^ =0.

Dans cette équation le coefficient de -rz^ s'écrit

Posons

2QA-D,Aa:''p-*

Remplaçons dans Rt la lettre x par sa valeur ^P, et l'équation ( i") deviendra

Quel est le degré du coefficient R,- en q? Le degré de Qa est égal à—;

vj. = — - H

Le degré de R, en ? sera la plus grande des (/; — ' + i ) quantités

vu- t — n ( X- = f , i' -n , (' -h 2, . . . , /) )•

Nous voulons que les degrés de tous les R, soient tous nuls ou négatifs sans être tous négatifs. Nous choisirons donc p de manière à satisfaire aux inégalités

nio (i = I, 2, ..., k).

Le degré de Ro est d'ailleurs égal à ^~ n. Donc les inégalités précédentes

peuvent se ramener aux suivantes :

■-= — \-k — nio (/>- = o, I, 2, . . ., « — ij

ou i>ien

SUR LES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. sGg

On prendra pour p la plus petite valeur qui satisfasse à ces inégalités. Comparons p à la quantité que nous avons appelée plus haut A. Ci41e-ci était définie par les inégalités

[JIA — X(/l — /i)î G

n — k On a donc

Si l'on donne à p cette valeur, les coefficients R, tendent vers des limites finies, quand x croît indéfiniment. Les conclusions du paragraphe II sont donc applicables à l'équation (i*"). Formons donc l'équation (2'"') qui joue par rapport à (i*") le même rôle (ju(t (2) par rapport à (i). Si nous posons

liraR,= E, (,c=x), cette équation s'écrira

(a'') SE,3'=o,

et si [3 est celle des racines de cette équation dont la partie réelle est la plus

grande, on aura en général

,. dv ,. x-'- dy r,

liin — -;- = lim — f- = p.

yd\ p y ax

Il reste à déterminer E,-.

Pour cela reprenons l'expression

" n II

Parmi les termes du second membre, il pourra y en avoir dont le degré en x est négatif et d'autres dont le degré en x est nul. Nous n'avons pas à tenir compte des premiers dont la limite est évidemment nulle pour x infini.

Or si k > i, les inégalités (5) montrent que le degré en x de

est toujours négatif. Il reste donc

E,= IimQ,ï^ ^u-HMp-i).

Or il est aisé de voir que

D„=p', il reste donc

E,= C,o'-", si |jt,= X(/(-0, et

E,= o, SI [Ji,< X(«— {■).

•170 Sl'R LES ÉQUATIONS I.INKAIBHS AUX DIFFERENTIELLES OHRINAIUKS. ETC.

Donc pour passci- de réqualion (2'"') à l^'qiuiticui (2'/"'"''), il siiffU do

poser

il vient donc

Umx—>- — — ■= a. c. Q. F. D.

y clx

On pout lircr de là une conclusion importanli'. Soit v un nomljre réel positif plus grand que la |)artie réelle de — - Je dis que

tendra vers zéro quand x croîtra indéfiniment par valeurs réelles positives. 11

viendra en efTet

di' dy ^

e dx y dx

d'où

V dx

,. . dv

Il m x~'' — T- = a — Yp

R(h) désignant toujours la partie réelle de u. Soit maintenant 5 lui nombre

positif tel que

R(a — Yp) < — S < o.

Donc, à partir d'une certaine valeur Xa de x, on aura

d ou

I •' l< I "0 I e ^ , Vf, désignant la valeur de v pour x = x^i et par suite . limc=:o. c. o- F- !'•

Celte proposition, comme le résultat analogue démontré à la lin du paragraphe I ne souflVe aucune exception.

Une dernière remarque : comme 0 est essentiellement réel positif, la méthode précédente se trouve en défaut quand on a pour tous les a^

SUR LliS EQUATIONS LINEAIRES AUX Dll'l' ERE.NTIELLKS ORDINAIRES, ET<:. '7I

Mais on n'a- pas à s'inquiéter de ce cas d'exception, car les intégrales de. l'équation (i) sont alors rcgiilières pour x très grand.