VII. — Des séries de polynômes
Les conclusions des paragraphes il et \ I sont susceptibles d'une application importante. Elles permettent en effet de résoudre le problème suivant.
Soient
P„(.r), \\(x), Ps(^), ..., P„(T), ...
nue inlinité de polynômes entiers en jr, liés entre eux par une relation de récurrence de la forme suivante :
n) Q/. P„+/.+ Q/,-1 P«+/.-i + . . .+ Q, P„+, + Qo P„ = o,
où les Q sont des polynômes entiers en n et en x. Formons maintenant la série
(2) aoPo+aiPt-+-----+-a«P/.+-- -,
OÙ les a sont des coefficients constants quelconques. Cette série sera convergente tant que le point x restera intérieur à une certaine région du plan, et divergera quand le point x sortira de cette région. On demande quelle est la courbe qui limite cette région de convergence.
J'avais donné une solution de ce problème dans une communication que j'ai faite là la Société mathématique de France en novembre 1882 et dans une Note que j'ai présentée à l'Académie des Sciences de Paris le 5 mars i883 (').
A'oiei quelle est la méthode que j'employais. .J'envisageais la série suivante :
(3) ^ = P„+sPj + ...+ 2''P„ + ...
qui représente une fonction de :; et de x. On voit aisément que cette fonction satisfait à une équation différentielle de la forme suivante :
où les coefficients R et le terme tout connu S sont des polynômes entiers en x
(' ) Cl' Tullir. p. 223,
27' SUR LES KQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENTIELLES ORDINAIRES, ETC.
et en ; ['). On ohliondrn les points singuliers des intégrales de cette équalion (en regardant un instant x comme une constante et ; comme la seule variable) en égalant à zéro le coefficient R^,. Soit
celle des racines de l'équation Rp = o (qui e>.l une équation algébrique en ;) dont le module est le plus petit. La condition nécessaire et suffisante pour que la série (3) converge (en laissant de côté certains cas exceptionnels) c'est que
mod z < mod a.
Or a est évidemment une fonction de x. Donc pour une valeur quelconque supposée donnée de z, la courbe qui limitera la région de convergence de la série (3) dans le plan des x aura pour équation
mod a = mod z.
On en conclut aisément que, si les coefficients de la série (2) sont tels que y/a„ tende vers une limite finie et déterminée quand n croît indéfiniment, la courbe qui limitera la région de convergence de la série (2) aura pour équation
mod a = const.
Cette méthode a, on le voit, l'inconvénient d'être sujette ;i objection lorsque ^/a„ ne tend pas vers une limite déterminée.
Depuis M. Pincherle a publié dans les Annali di Matematica un Mémoire où il traite par la même méthode des questions analogues. {Siii sistemi di functioni analitiche . . ., 2'' série, t. 12.)
jM. Pincherle envisage une fonction quelconque <I>(a;, z), la développe en série selon les puissances croissantes de :r et de ^; il ordonne ensuite cette série suivant les puissances de z de telle façon que l'on ait
(5) <I>fj-, ;) = *(, + <J)| 3 -t- <Iijj=-i-.. .+ <J>„i"-H.. .,
<l>o. 'l'i, 'Po, . . . étant des fonctions de x. Si l'on connaît les points singuliers de 'I>(x, c) considérée comme fonction de j, on trouvera aisément, comme nous \enons de le voir, les conditions de convergence de la série (5). Considérant ensuite la série plus générale
f5"^) «0 'l'o H- ai"!'! + ■.■-(- 2,,*,, + ...,
(') L'entier p est le degré le plus iHevé des Q, en n, le coefficient R est le produit de zv-' par un polynôme en z de degré k; la démonstration en sera donnée plus loin. (J.D.)
SUR LES ÉgiUTlONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES OBDINAIRES, ETC. '."3
OÙ les a sont des coeflîcienls quelconques, M. Pinclierle en détermine les conditions de convergence en recherchant un nombre tel que
lim a„( R -t- £)-" = o, liniz„(R — ; )— " = x (pdiii- /i=x).
quelque petite que soit la quantité positive s. 11 est clair alors Cjue la série (5''") sera convergente ou divergente en même temps que
Cette méthode, employée presque simultanément par M. Hncherle et par moi, est sujette à l'inconvénient que j'ai signalé |>lus iiaut. C'est ce qui m'a décidé à l'abandonner et à employer de préférence les résultats des paragraphes Il et \l du présent Mémoire.
La relation de récurrence (i) est tout à i'ail analogue à l'équation (i) du paragraphe H. I>es polynômes P„ y jouent le même rôle que jouaient dans ce paragraphe les quantités inconnues ii „ et les coelTicienls Q sont des polynômes entiers en n, pourvu que nous regardions un^instant x comme une constante.
La lègle du paragrapiie cité nous peiincltra donc de déterminer la limite du rapport
y— (|)oiir n = x).
Supposons en effet que les polynômes Q soient d'ordre p en /?, et soit A, le coefficient de nP dans Q,-. Formons l'équation
.(6) A/,z''-h Ai-,z''~~'-i-. . .-H Al 3 -I- Ao= o.
Elle sera analogue à l'équation (2) du paragraplie 11.
Il est à remarquer qne les coefficients A sont des fonctions de x.
Imaginons que a soit celle des racines de l'équation (6) dont le module est le plus grand, a sera aussi une fonction de x et l'on aura, en général,
' Il
et, par conséquent,
(8) lim
Cela posé, quelles sont les conditions de convergence de la série (2)? Formons la série de puissances
(9) a^-ir ^it -\-Clif>'-ir .. .-^ ï„l" -{-. . ..
•174 SUR l.KS ÉOIATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES OllDlNAIRES, ETl,
Elle aura un certain rayon de convergence p, c'est-à-dire qu'elle convergera pourvu que
Je dis que, si nous laissons de côté certains cas exceptionnels, sur lesquels nous reviendrons plus loin, la condition nécessaire et suflisante pour que la série (2) converge s'écrira
En eflet considérons une valeur de X pour laquelle celte condition soit remplie. On trouvera toujours un nombre / tel que
|al<|n<p.
Pour celte valeur de t la série (9) convergera; de plus on auia, à partir d'un
certain rang,
Donc tous les termes de la série (2) seront plus petits en valeur adsolue que les termes correspondants d'une série convergente. Donc la série (2) convergera, c. g. F. n.
Supposons au contraire
Nous choisirons t de telle façon que
ia|>l'l>P-
Il en résultera que la série (9) sera divergente et qi|e la série (2), dont chaque terme est plus grand en valeur absolue que le terme correspondant de la série (9), divergera également. c. q. f. n.
11 résulte de là que les courbes de convergence des séries de la forme (2), c'est-à-dire les courbes qui limitent les régions du plan où les séries de cette forme convergent, ont pour équation générale
[ a j = consl.
Voici quelques exemples : .Soit d'abord
(«--M)P„-t.2 — ■in'-x\\,+i-v-(n-+ 3;-)\'„ = u
la relation de récurrence qui lie trois pol^jnomes 1' consécutifs. Foriuons l'équation (G), elle s'écrira
0' — asT -f- I = 1),
et aura pour solutions
z = X ± v/ar2 , ^
on en conclura que les courbes de convergence ont pour équations
' I X zt i^x- — I I = consi .
si l'on a soin de choisir le signe + ou le signe : — de telle façon que le premier membre soit aussi grand que possible. Posons
il viendra
— iO-r)"'
d'où
X ± \/x- — I = Ç ou -•
A chaque valeur de x correspondent deux valeurs de Ç dont le produit est égal à I . L'une d'elles aura donc son module plus grand que i , l'autre son module plus petit que i . JNous choisirons celle dont le module est plus grand que I. On aura alors
et par conséquent les courbes de convergence auront pour équation
111 = const.
Soit
I 5 I = <, ^ = te"i',
il viendra
X = - ( t -\ — ) ces* H — ( / )sln>I>.
Les coordonnées du point x auront pour expression
-(t-\ — ) ces il» et -it Isin*.
Pour avoir les courijes de convergence, il faudra donner à l une valeur constante et faire varier <I> de o à 2-. On obtiendra ainsi une ellipse ayant pour foyers les points dz i . Ce sont donc ces ellipses qui sont les courbes de convergence des séries de la forme
aoPo-l-aiPi-+- xsPo-t-...-!- a„P„ -(-
•7'î si'n i.i;s kquvtions linéaires aux I)Ifi'i:hentiei.les oiioinaires, etc.
Comme deuxième exemple, supposons que la relation de récurrence (i) s'écrive
L'équation (6) s'écrira
;- — iizx-hr- — 1 = 0, '
el aura pour racines
Si donc p est le rayon de convergence de la série S ;(„<", les conditions de convergence de la série Sa„P„ s'écriront
La région de convergence se composera donc de la partie commune à deux cercles décrits avec p pour rayon, des points -|- i et — t comme centres. Les courbes de convergence seront donc formées de deux arcs de cercle de même rayon, ayant pour centres ces deux points et limités en leurs points d'intersection sur l'axe des parties imaginaires.
Il est à remarquer que ces deux cercles ne se coupent que si leur rayon est plus grand que i . La série Sa^ P,, ne converge donc pour aucune valeur de x si la série 1-j.a n'est point convergente.
Passons maintenant aux cas d'exception dont j'ai parlé plus haut et que nous avions provisoirement laissés de côté. Le premier de ces cas se présente (juand l'équation ((i) a deux racines qui, sans être égales, ont même module et un module plus grand que celui de toutes les autres. Ce cas ne se présentera en général que pour des valeurs particulières de ,r, à moins que l'équation (6) ne
soit de la forme
[s — g(x)] fs — e'« 9(a^)J<I'(3, ;e) = o,
y. désignant une constante, o {x) une fonction de ;c et <I> un polynôme entier en z. 11 arrive alors que le cas exceptionnel dont nous parlons se présentera pour toutes les valeurs de x ou pour toute une région du plan. Mais on pourrait voir que les résultats qui ont été exposés dans ce paragraphe n'en subsistent pas moins. Nous n'avons donc pas à nous intjuiéter de ce premier cas exceptionnel. Le second cas est plus important. Nous avons vu dans le |)aragraphe II que si u„ est l'intégrale générale de récpiation ( i ) de ce paragraphe, et si a, p, ... , )> sont les racines de l'équation (2) rangées par ordre de module décroissant, on a en général
lim = a,
Un
mais que pour certaines intégrales particulières ou peut avoir
lui) ■ = p, 7, ... ou A.
Appliquons cela au cas qui nous occupe. Nous pouvons choisir arbitrairement nos Â- premiers polynômes P,,, P,,..., P,;|, les polynômes suivants P^, P/,+ i, . . . étant déterminés successivement par la relation de récurrence (i).
Soient a, jii, . . ., ). les racines de l'équation (6) rangées par ordre de module décroissant. On aura en général
c'est-à-dire que si l'iui choisit d'une manière ([uelconque les k premiers polynômes P, ce n'est que pour certains clioix particuliers que cette relation pourra cesser d'être vraie et qu'on pourra avoir
I ■ ^ nlim -jr-
Ainsi pour certains choix parli('ulicrs des premiers polynômes, il pourra y avoir exception. A quelle condition un pareil cas exceptionnel pourra-t-il se présenter?
Pour nous en rendre compte cherchons à former l'équation (4)- Ecrivons le coefficient Q/ de la relation (i) sous la forme suivante :
0,= A,.,,(/! -H f )/)-!- A, ./,,(« -H t,),,-i +. ..-H Ai.->(« + t,i2-t- A,.i(rt-t- Oi^- ^\-i>('> ■+- ')o, où les A sont des polynômes entiers en x et où
n,j= n(ii — \)...{ii — (7-1-1), /;, = «, «,,= 1.
il est aisé maintenant d'écrire l'équation (4). Soit en effet, avec
dzi '
le premier membre d'une équation de la forme (i). Substituons à la place de y la série — P„c" et obser\ons que ;'/ -rj^ =i/;,/:"P„, ce premier membre deviendra
V 3"+i- V [„,,c,,,,r„ + (n -^ .)7C,M-ii'"+i + . • • + (« + in.c^.orn+A-]-
n ff = 0
Nous devons nous arranger de telle sorte que tous les termes où l'exposant de z
Ï~S SUR LBS ÉQUATIONS LIMÉAIRES AUX DIFFÉRENTIKLLKS ORDINAIRES, KTO.
dépasse une certaine limite disparaissent. On remarquera que lu coellicicnt de «"+* ne dépend que de P„, . . . , Pn+A et peut s'écrire :
^ P«+,[(" -^- i)pCp,/,-,-\-(n-h i),,-iCp^t,,-,-h...-h{n ■+- f)()Go,*,].
Pour qu'il soit nul en vertu de la relation (i), et de l'expression des Qi, il suffira de prendre C^.*-,- = A,- y, <] variant de o à /) et / de a à /• ( ' ). Le premier membre de l'équation (4) s'écrit donc
7 = 0 ,ni = o
OU encore, en remplaçant l'indice ni par l'indice i^k — m, qui varie aussi entre o et k.
dz'i '
quant au second membre, on le trouvera aussi aisément |: Le polynôme P„
n'est défini que pour les valeurs positives de n ; convenons, par définition,
d'écrire
Quand, dans le premier membre de la relation (4), on calculera le coefficient de !;"+' pour /t = — i , — 2, . . . , — A", le résultat de ce calcul ne sera pas nul ; appelons H) , IIj, ...,11^ ces résultats.
On verra alors que le résultat de la substitution de J' = 2P„;" dans le pre-. mier membre de l'équation (4) s'écrit
Di a*-i + 11 , i''-^ -+- . . + n /,.
L'équation (4) s'écrira donc
Ainsi dans le premier des exemples cités plus haut, le premier membre (4) s'écrira
M) On a modiné légèrement ici l'exposition de H. Poincaié, qui avait iiitiodiiit sans nécessité le développement des A, suivant les puissances de x : A , = ï 15,- ., a;''. Le résultat est donc valable dans le cas où les A, ne sont plus des polynômes en x [et par suite les P„ non plus].
En général une équation de la forme
(les R el S étant des polynômes entiers en :;) présentera dans le voisinage du point ; =^ G (et par conséquent dans le voisinage d'un point z quelconque) au moins une intégrale particulière holoniorphe.
Il n'y aurait d'exception que si tous les polynômes R s'annulaient à ta fois pour 5 = 0, ou si le point s ^ o était un point singulier logarithmique, ou plus généralement un point singulier dont l'équation déterminante admet des racines entières.
Il résulte de là que si l'équation privée de second membre
admet p intégrales holomorphes linéairement indépendantes, l'équation à second membre en admettra (/J + i) (ou n'en admettra aucune, dans les cas exceptionnels dont il vient d'être question).
Ainsi, si nous revenons à l'équation (4) qui nous occupe ici, le point 5 = 0 est pour l'équation sans second membre un point singulier ordinaire dont l'équation déterminante n'a pas en général de racines entières. Donc en général, l'équation à second membre admettra une intégrale holoniorphe el une seule, c'est l'intégrale
Égalons maintenant à zéro le coefficient de -777» ce qui donne
et, considérant dans cette équation x comme une constante, envisageons les diverses valeurs de z qui annulent le premier membre ('). Soit a celle de ces valeurs dont le module est le plus petit (à part 3 =: o, bien entendu). Dans le voisinage du point .; = a [si a est une racine simple de l'équation (9)], l'équation à second membre (4) admettra en général p intégrales holomorphes linéairement indépendantes y',, y'j, ..., jp el une (/>-+- 1)"""" non holoniorphe y^o+i dont il sera aisé de trouver le développement.
Ces développements seront valables à l'intérieur d'un certain cercle ayant le
(') Celle équalion (9) seréthiil à (G) quand on remplace -3 par -• (J. t>.) •
aSO Sl'n LES KO'ATIONS linéaires \V\ niFFRRENTIEI.I.lS OBniNAIRES, ETC.
[loiiil y. pour ceatre, el c'est ce cercle que l'ou pcul iippeler le doiiKtiiie du piiiul :>:, de uième (|ue le cercle (|ui a le j)()inl zéro couiitie ccuire el | a | comme ra^'on, el à l'inléricur duquel la série il',,;" est certainemenl converj;enle, s'appellera le domaine du point zéro.
Ces deux domaines ont une partie couimunc. Si dans cette partie commune, SP„;" s'exprime linéairement à l'aide deyi, /j, . . . , y'^, la série ^l\z" sera convergente pc|,ur des modules de ; supérieurs à | ^ | et l'on aura
lini
Mais cela n'arrivera pas en général.
Je n'en dirai pas plus long sur ce second cas exceptionnel, qui demanderait une élude plus approfondie, et je passerai à un troisième cas exceptionnel non moins important que les deux premiers.
Reprenons la relation de récurrence (i) et supposons que dans celte relation les coefficients Q,, regardés comme des polynômes entiers en /(, soient tous de degré inférieur au premier d'entre eux Q/,, ou bien que l'un des coefficients Q, soit de degré supérieur à Qt. 11 arrivera alors que l'équation (6) aura toutes ses racines nulles, ou bien aura une racine infinie. Nous avons appelé a celle des racines de cette équation ((j) dont le module est le plus grand.
Nous aurons ici
|.x I = o ou bien x
et, par conséquent,
lim
= o ou bien ».
La méthode exposée plus haut pour trouver les courbes de convergence des séries 2a„ P„ se trouve donc en défaut, et c'est le cas d'appliquer les principes du paragraphe VI. Posons
Les séries £a„P„ deviennent
et sont ordonnées suivant les polynômes P'„ au lieu de l'être suivant les polynômes P„. Les courbes de convergence des séries de la forme -a„ l''„ seront donc les mêmes que celles des séries de la forme Sz„P„. La relation de récurrence
devient
SUR LES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. sBi
Nous avons vu dans le paragraphe \1 qu'on peut toujours trouver une valeur de u positive ou négative, telle qu'aucune des fonctions Q- (considérées comme fonctions de n) ne soit d'ordre supérieur à Q,, et qu'une d'elles au moins ne soit pas d'ordre inférieur.
Soit alors q le degré de Q^^ de telle sorte que
et soit
lim -^ = A!- (« = 3c).
Nous formerons l'équation
(6'"---) ia;;'" = o
dont les racines seront toutes finies sans être toutes nulles. Nous appellerons x celle d'entre elles dont le module est le plus grand; | a' | sera en général une fonction de s, et les courbes de convergence cherchées auront pour équation
générale
j 3t' I = const.
Je prendrai pour exemple les polynômes de Legendre (') qui sont liés entre eux par la relation de récurrence bien connue,
(i) P„+j— •2a"(-2«-(- 3)P„-|.i+ 4(" -l-iPP„ = o.
Dans ce cas l'équation (6) s'écrit
et l'on voit aisément alors qu'elle a deux racines infinies cl que, par conséquent,
ons alors
la méthode générale est en défaut. Posons alors
[^a relation (1) deviendra
p;,+..,(" -^■i)v-{n -i- i}v-—-ix(iii -+-S)(ii -i-i)!^p;,+i-i- i(." + u-'';, = »
et si l'on prend ijl = 1 , elle s'écrira
(l'"-'J {n■--h'^ll + 2)P'„+5 — 2j:(iii -h 3)(/i -(-i)P;,+ , -h i{ii -{-i)-V'„= o,
(') H l'oincaré adopte ici la iléfinilion . Pn = —, — (x'— i)", c'est-à-dire P„ = 3"h!X„ ou.X,,
ax" est la désignation courante. (J. D.)
28» SL'll LES ÉQUATIONS LINÉAIRKS AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC.
d'où l'on déduit l'équation
Cette équation ayant pour- racines
-z = xzt v/.i-î — I ,
on en déduit commo plus haut que les courbes de convergence sont des ellipses a^ant les points ±: i pour fojers, ce qui est un résultai bien connu.
Un autre cas exceptionnel, que M. Courier a bien voulu me signaler, est celui où les racines de l'équation (6) ou de l'équation (6 bis) sont indépendantes de X.
Prenons pour exemple les polynômes P„ définis par la relation
et liés entre eux par la loi de récurrence
(l) P«+2-t- 23-P„+i-|- -il /(. -(- I)P„= O.
L'équation
ayant ses racines infinies, nous poserons
!>„= !"„(«! )?, d où résulteront les équations
(1*") ^{ri-^-\){n-^i)P'„y^-'r-xx ^n -+- 1 P;,+, •+ i(n -+- i)P'„ = o,
Les racines de l'équation (6'"') sont rh y — 2 et sont par conséquent indépendantes de X, de soite que les régies précédentes se trouvent encore en défaut.
Pour traiter ce cas exceptionnel, imaginons d'abord une relation de récurrence
où les coefficients Q, sont des polynômes entiers en n et en a; [ce qui, comme on le voit, n'est pas le cas de la relation (i'''^)j et formons les équations (4)
SUR LES ÉOrATIONS LINÉAIRES Al'X DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. 283
et (6) correspondantes
(6) SA,2'=o.
Soit a celle des racines de (6) dont le module est le plus grand; supposons que cette racine soit indépendante de x.
Que dire alors de la série 2a„P„? Si le rayon de convergence de la série Sa„<" est plus grand que ja|, la série Sa^P« est toujours convergente; si ce rajon est plus petit que |a|, la série Sa,, P„ n'est jamais convergente; enfin si ce rayon est égal à | a |, nous ne pouvons rien dire, ou plutôt le critérium fondé sur la limite du rapport -^^^ se trouve en défaut. On doit donc recourir à d'autres critères de convergence des séries; par exemple à celui-ci.
On pose
et l'on cherche la limite de [i,, pour « = oo. Si cette limite a sa partie réelle plus grande que i , la série est convergente ; si elle a sa partie réelle plus petite que i , la série est divergente.
Appliquons ce principe au problème qui nous occupe.
Ecrivons la relation (i) sous la forme suivante, en ordonnant selon les puissances décroissantes de /; :
les A, et les B, étant des polynômes en x indépendants de n. Nous savons que l'équation
(6) SA,<;' = o
a une racine indépendante de x. Nous pouvons supposer que cette racine est égale à i , car si elle était égale à a, nous poserions
et nous remplacerions les polynômes P„ par les polynômes Pj, , ce qui ne changerait pas les courbes de convergence.
On aura donc
SA, = o.
J'appelle F(3) le premier membre de l'équation (6), on aura
aS'l SIR LES KOIATIONS I.INKAIRKS AUX DIFFÉRKNTIELLES ORDINAIRES, ETC.
Soit donc
Ecrivons maintenant la relation de récurrence (i) en remplaçant les P par ces valeurs et en ordonnant suivant les puissances décroissantes de /(. Nous aurons en divisant par P„
/i/'lA, — ni' ' 1 A/Yjj.i-h rtP-'i: B,-t- des lennes en «''-', nf-'^, . . . = o. Dans cette t'orniule, on a posé
Si lini^„= [3, on aura
Si l\>n remarque que SA;=(), on verra que le terme en «/'""' qui est le
. .• premier terme s'écrit
ni' '(i:B,— SA,Y«,).
A la limite ce ternie doit s'annuler, ce qui donne
|3i;A,= i;B, ou
^ il A,- F'u)' Considérons alors une série
— ■*'(' ni OÙ
= 1— " > oiii Y« = Y-
La condition de convergence s'écrira
Il résulte de là (|ue les eouiljcs de convergence ont pour équation générale
R([J) = const.
R 7T — I = cons [h (i)J
Ce résultat peut se rattacher à l'élude de l'équation (4) de la manière suivante. Pour cette équation le point ;= est un point singulier, mais nous avons miintié plus liaut comment on peut toujours supposer a = i. Le point singulier que nous avons à considérer est donc z ^ \ . On a alors
m:r les i';qiiatioxs mxkaires aux différentielles ordinaires, etc. 285
et la série SP„;" qui est une intégrale de l'équation (4) est convergente dans
le cercle de rayon i . Nous supposerons que le point : = i est une racine
simple de l'équation (6), alors les racines de l'équation déterminante corres-
ponilanle seront
Cherchons la valeur de p.. Le premier membre de l'équation (j) s'écrit, en reprenant des notations employées un peu plus haut.
Or si l'on remarque que ces notations donnent
on verra que les deux premiers termes 'du premier membre de l'équalion (4) seront
dP V dl'~^ V
1 dzf-^ dzP-^
pour; =: 1 , le coefficient de -jf^ s'annule et si l'on divise par ; — i, le quotient
• df — ^ V
se réduit à — t (•)> quanl au coefficient de ,^ ^ j^ il se réduit à
L'équation déterminante s'écrit alors
On lire de lA
F'(i) ou
Il est aisé d'apercevoir le défaut de ce raisonnement. Il suppose l'existence de la limite fl ; je crois qu'il n'y aurait pas de difficulté à démontrer cette existence mais cela m'entraînerait trop loin.
Parlons maintenant des cas où la méthode précédente ne s'applique pas, et d'abord revenons sur l'exemple dont nous avons parlé plus haut et considérons
les polynômes
L'équation (i''") ordonnée suivant les puissances décroissantes de n s'écrira
n(P'„+, -H îP;,) + v/n.2xP'„+, -^ (.^ P',,+2 ■+- P'„+, )+...= o.
La présence du terme en \//( empêche que la méthode précédente puisse s'appliquer. De plus une autre difficulté, spéciale également au cas qui nous occupe, vient encore s'ajouter à la première. En efl'et, l'équation
a deux racines de même module. On en conclut que l'on peut poser
Q„ et R„ étant des fonctions de x telles que
tandis qu'en général -^^ ne tend vers aucune limite.
De plus Q„ et R„ satisfont à la même relation de récurrence que 1*^. l'osons alors
n II
il viendra
d'/'"""-) n(— R'„+2-t- R'„) — v^2n.2«:cR'„+,H-. . . = o.
Posons ensuite
La relation (i''') ordonnée suivant les puissances décroissantes de n s'écrira
/n(Pn-l- '^,l+^)-^^/^^n 2ixQ'„+,-4-. . . = o,
d'où
liiiip„ = — ix\/'i, pour (/i = k).
Si de même on pose
KU, = R;i.- ^
on trouvera
liiii'P), = 2J.r /a.
SUR LKS ÉQUATIONS LINKAIllES AUX DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES, ETC. 287
Soit maintenant la série
et
= 1 7=) lini Yn = Y = T')-^- 'ïi-
La condition de convergence sera
