partie réelle de (y -t- -lix^i) > o

En conséquence les conditions de convergence de la série

s écriront

(partie imaginaire de .cj'< ôTo-

Les régions de convergence sont donc limitées par deux droites parallèles à l'axe des quantités réelles et situées, de part et d'autre, à égale distance de cet axe. L'ensemble de deux de ces droites forme une courbe de convergence.

De même, en supposant que les coefficients de la relation (i) soient des polynômes entiers en «, auquel cas la difficulté précédente serait écartée, la méthode exposée plus haut serait encore en défaut, si F'(i) était nul. Voin comment il faudrait opérer dans ce cas :

1" Supposons que F'(i) soit nul sans que SB,- le soit. On posera Supposons, pour fixer les idées, ^ = 2 ; la relation (1) s'écrira

Il vient en ordonnant suivant les puissances décroissantes de n et en posant

Q, = A,/i''-H Bin/'-i-h. ..,

nP( A2 + A, -H Ao ) — p /" ' ( 2 A.2 -I- A, ) + /i/--' ( l^i + B, + B„ )

Soit d'oi'i

-+- Aara''-'^^-!- /i''-i(ïn-t-i A..2+ Tu A.,-)- y„A, )+...= o. lim Y„= Y, lim(Y„-nA2-+- Y«A, -+- YnA,) = y F'(') i

■iSS SIH I.KS ÉQUATIONS LINKAIRES AUX UH'KÉIlliNTIKLLES OnOlNAinES, ETC.

il viendra, en tenant compte de

F (i) = A.2+ A,+ A„= o, F(i) = 2Aj+ A| = o,

et en divisant par nP~'

A,|3»+B.,+ B,+ B„-hH =o,

H représentant des termes qui s'annulent avec - • On tire donc de là

A, Les courbes de convergence ont pour équation générale

paiiie réelle de [3 = const.

2" Supposons maintenant que F'(i) et SB/ soient nuls à la fois; dans ce cas le point 5 = 1 est un point singulier pour l'équation (/j) dans le voisinage duquel les intégrales sont régulières. (Elles sont irrégulières lorsque F'(i) est nul sans que SBj le soit). Les racines de l'équation dèleruiinante seront

o, I, 2, 3, ..., p — 3, p' et a". Si l'on pose

lim [3„= |Ji + I, a étant celle des racines a' et iji." dont la partie réelle est la plus petite.