VIII. — Résumé

Dans ce travail je me suis proposé plusieurs buts, mais le premier et le plus important d'entre eux était de contribuer à l'étude des intégrales des é(|uations linéaires dans le voisinage d'un point donné. Si en ellet nos connaissances sont assez complètes à ce sujet lorsque le point donné est un point singulier à intégrales régulières, nous ne savons presque rien sur les intégrales irrégulières. J'ai cru qu'il ne serait pas inutile de montrer comment on peut trouver une fonction simple dont le rapport à l'intégrale étudiée tende vers l'unité quand on se rapproche du point singulier. C'ét;iit un premier pas dans l'étude de ces intégrales irrégulières.

Pour atteindre ce but, j'ai dû employer comme auxiliaire la transformation de Laplace, et j'ai été amené en passant, à compléter la théorie de cette transformation, comme nous le permettent les progrés récents de nos connaissances sur les variables imaginaires. J'ai rencontré ainsi deux théorèmes qui peuvent d'ailleurs se démontrer aisément sans l'aide de la transformation de Laplace.

En premier lieu, si une équation linéaire d'ordre n a pour coefficients des polynômes de degré p en x, elle admettra (« — p) intégrales indépendantes holomorphes dans tout le plan.

Le second théorème peut faciliter la recherche des cas où une équation linéaire admet comme intégrale un polynôme entier.

Les équations dilTérentielles linéaires présentent la plus étroite analogie avec les équations aux différences finies de forme linéaire, ou en d'autres termes, avec les relations linéaires de récurrence entre (/r-|-i) quantités consécutives

Cette analogie se poursuit dans les résultats, et la même méthode qui permet d'étudier les intégrales irrégulières des équations différentielles, nous donne,

dans le cas des relations de récurrence, la limite du rapport — ^^ pour n infini.

Ce résultat a une application immédiate dans la reciierche des courbes de convergence des séries ordonnées suivant des polynômes [récurrents], c'està-dire des séries de la forme

«0 Po + «1 Pi + . . . -1- a„ P„ + . . . ,

lorsque les P sont des polynômes entiers on x et qu'il y a une relation de récurrence entre k-\-\ polynômes consécutifs.

Ces considérations font comprendre comment j'ai été conduit à réunir dans un même travail des recherches en apparence très différentes et expliquent un défaut d'unité que je prie le lecteur de vouloir bien excuser.

Paris, 10 novcmljie 1S84.