I. — Séries asymptotiques

Tous les géomètres connaissent les curieuses propriétés de la série de Stirling. Cette série :

I /i\ RiRt

lop; r(x + i) = -logdTî) -H (a;4- -]\oex — x-\ ' :r4 -;

1 \ '■ / \ .i. X 3 . 4 Jî'

est toujours divergente. Cependant, on peut en faire légitimement usage pour les valeurs très grandes de x. En eflet, les ternies après avoir décru avec une très grande rapidité, croissent ensuite au delà de toute limite. Mais si l'on s'arrête au plus petit terme, l'erreur commise sur la valeur de logr(j; + 1) est très petite.

En d'autres termes, la série de Stirling représente asymptotiquement la fonction logr(a;+ i); c'est-à-dire que si S,j est la somme des premiers termes de cette série jusques et y compris le terme

in (in — I ) X"

l'expression

.c'>+i(logIV.r-Hi)-S„]

tendra vers zéro quand .r croîtra indéfiniment.

11 existe évidemment une infinité de séries dont les termes après avoir décru

SUR I»ES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES. agi

très rapidement croissent au delà de toute limite. Si, par exemple,

sont une série de nombres tous plus petits que i, mais ne tendant pas vers zéro,

la série

Al A, A„

sera divergente, et l'on y trouvera des termes aussi grands qu'on voudra. Mais cependant si x est très grand, les premiers termes décroissent très rapidement. Ainsi, si .r = n et que n soit très grand, le n'""'' terme

est extrêmement petit.

Je dirai qu'une série divergente

(l) AoH ■ -\ --!-.. .H "-i-...,

où la somme des (/j + i) premiers termes est S„, représente asymptotiquement une fonction J(x) si l'expression

tend vers zéro quand x croît indéfiniment. En effet, si x est suffisamment grand, on aura

e étant très petit ; l'erreur

commise sur la fonction J, en prenant les n + i premiers termes de la série, est alors extrêmement petite. De plus, elle est beaucoup plus petite que l'erreur commise en prenant seulement n termes, et qui est égale à

£ étant très petit et A„ fini.

Il résulte donc de là que la série (i) se comportera tout à fait comme la série de Stirling; que, si x est très grand, ses termes décroîtront d'abord rapidement pour croître ensuite au delà de toute limite, et que malgré sa divergence, il sera légitime de s'en servir dans le calcul de J. Je dirai aussi quelquefois pour abréger que la série (i) est une série asymptotique.

)9^ SUR LES INTEGRALES IRRÉGULIERES DES EQUATIONS LINÉAIRES.

On peul imiltiplier l'une par l'aulre ilciix séries asjmplotiques d'après les mêmes règles que les séries ordinaires. Soit en efiet, asjniploliquement,

J (jc) = Ao ■. . ,

en définissant S„ et S„ comme plus haut,

Les deux équations (2) signifient que

(3) lira a;«(J — S„) = lim a^"(J'— S;, ) = o.

Faisons le produit de nos deux séries d'après la même règle que si elles étaient convergentes ; soient

et Sn la somme de ses n premiers termes.

Comme S„, S|, et S„ sont simplement des polynômes en-, on aura évidemment

lim.r"(S„S;,— !.„) = o.

On a, de plus,

lim ^ = uni — = I, hm — = lim — - = i.

O/i Ofi A(j Aq

C'est une conséquence immédiate des équations (3). 11 vient alors

lim £ = lim e' = o,

d'où

S'„E-HS„£-t--