SUR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

ce qui veut dire que l'on a, asjmptotiquement,

JJ = hioH 1 -+.... C. Q. F. D.

En particulier, il est permis d'élever une série asjmptolique au carré ou à une puissance quelconque. Soit maintenant

(4) F(z) = B„-t-Bi3+...+ B„i'' + ...

une fonction liolomorphe de ,: dans le voisinage de ; = o ; la série du second membre sera cette fois convergente. Soit

une série diveriicnte représentant asjmptoliquenieut une fonction J. Si l'on élève la série S — Aq à la puissance n d'après la même règle que si elle était convergente, on obtiendra une série (S — A^)" ordonnée suivant les puissances de - et représentant asjmptotiquement (J — Ao)". Formons ensuite la série divergente

B„+ Bi(S- A„)H-...-f-B„(S-A„)«H-...

et ordonnons-la suivant les puissances croissantes de -• Nous obtiendrons une

série divergente

dont la somme des (« 4- i) premiers termes sera 2„. Je dis qu'elle représentera asjmptotiquement la fonction F(J — Aq).

En effet S„ et

2!,= Bo-+-B,(S„-Ao)-hB2(S„-Ao)'^-h...+ B„(S„-A„)''

sont deux poljnonies entiers en - dont les termes de degré inférieur à (« + i) ne diffèrent pas. On aura donc

Umx"i ï:-— ï' » = I

X= oo

Je dis maintenant que

X= ùO

lim^"[F(J-Ao)-l'„] = o.

En eflfet, on aura évidemment

limar«[B4-( J — Ao)"— B/t(S„- A„)"] = o,

2()4 SUR LES INTÉGRALES IRHÉGULIÈRES DES ÉQl'ATIONS LINÉAIRES.

puisque (S — Aq)* représente asymploliquemenl (J — Ao)*. Posons

T„ = li„+ 13, (.1 - A„) -H. . .-H B„(J - A„)«,

il viendra

lin, r''(T„-S;,) = o.

11 reste à démontrer que

lini ar''(F — T„) = o.

Or, il vient

F-T„= IWi(.l -A„)"+'+B„+2(J-A„)''+2 + .,

ou, puisque la série (4) est convergente,

I F - T„ |< M 1 J - A„ 1''+' <M\x{i-Xo) 1"+' ^ .

M étant une constante positive assignable. Or, on a

limar(J — Aj) = A], \\mx"—^^=o,

d'où

lim œ"\F — T„ 1=0. G. Q. F. D.

Ainsi, il est permis de substituer une série asymptolique dans le développement d'une fonction holomorphe comme s'il s'agissait d'une série convergente. Soit, par exemple,

une série représentant asjmjilotiquement une fonction J. Elevons-la au carré, au cube, etc., et appelons S^, S', ... les séries divergentes ainsi obtenues.

Formons la série

et ordonnons-la suivant les puissances croissantes de -• Nous obtiendrons ainsi

une série S qui représentera asjmptotiquement la fonction

Cela montre que l'on peut diviser l'une par l'autre deux séries asymptoliques pourvu que le premier terme Aq de la série diviseur ne soit pas nul. En effet, si l'on a par exemple