SIR LES INTÉGRALES IRRÉGULIÈRES DES ÉQUATIONS LINÉAIRES

on «Tura as^mplotiquenient

les C étant des coefficients faciles à calculer; les premiers ont pour valeur

Nous avons dit jusqu'ici c(ue x croissait indéiinimeiit, sans dire de quelle manière; mais il a été sous-entendu que cette variable croissait par valeurs réelles positives. 11 est toutefois évident que la théorie n'est pas changée quand on suppose que x tend vers l'infini avec un art;uiiient déterminé différent de zéro.

Voici maintenant une remarque très importante pour ce qui va suivre : Une série divergente ne peut pas représenter une même fonction J quel que soit l'argument avec lequel x tend vers l'infini.

Je dis, en effet, que

ne peut pas tendre vers zéro pour tous les arguments de x (ou du moins ne peut pas tendre uniformément vers zéro), sans quoi J serait une fonction holo-

morphe de -> et la série serait convergente.

On peut se demander si, pour un même argument de j", une même série peut représenter asjmplotiquemenl plusieurs fonctions différentes. La réponse doit être affirmative.

11 suffit, pour s'en assurer, de vérifier qu'il j a des fonctions .1 qui sont représentées asymplotiquement par une série dont tous les termes sont nuls, c'est-à-dire des fonctions telles que

quel que soit «, quand x croît indéfiniment par valeurs positives. Tel est, en effet, le cas de la fonction

En revanche, pour un même argument de x . une même fonction ne peut être représentée asymplotiquement que par une seule série.

SUR LES INTEGRALES IRREGULIERES DES EQIATIONS LINÉAIRES 297